Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

(2.8) В силу линейной независимости базисных элементов в„ в„ ... ..., в„, соотношение(2.8) прнводитк равенствам хг — х1 = О, х,— хя О» ° хч х» О нли х~ х!> хя хя> ° х>> х>> Единственность разложения по базису доказана. Значение базиса заключается также н в том, что операции сложения элементов и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами — координатами этих элементов. Именно справедливо следующее утверждение. ') Возможность почвенного вычитания равенств (2.6) н (2.7) м пронкводнмой группировки членов вытекает вв аксном 1'-6.

з а] ЗАВИС И РАЗМЕРНОсть линеЙнОГО ПРОСТРАНСТВА 49 Теорема 2,4. При сложении двух любых элементов линейного пространства )т их координаты (относительно любого базиса пространства Я) складываются; при умножении произвольного элемента на любое число Х все координаты этого элемента умножаются на Х. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть е„е„..., е„— произвольный базис пространства !т, х = хтет + х,е, + ... + х„е„и у = = утет + у,е, + ... + у„е„— любые два элемента этого пространства. Тогда в силу аксиом 1' — 8' х + у = (х, + ут) е, + (х, + у,) е, +...

+ (х„+ у„! е„, Хх=(Хх,)е,+(Хх,)е,+... +(Хх„) е„. В силу единственности разложения по базису теорема доказана. Приведем примеры базисов конкретных линейных пространств. Из аналитической геометрии известно, что любые трн некомпланарных вектора образуют базис в линейном пространстве Ва всех свободных векторов (это пространство рассмотрено в примере 1 п. 1 $1). Заметим далее, что совокупность и элементов (2.5), рассмотренных в конце п. 1, образует базис в линейном пространстве А„, введенном в примере 3 п. 1 $ !.

В самом деле, в конце предыдущего пункта доказано, что элементы (2.5) линейно независимы и что любой элемент х = = (х,,х„ ...,х„) пространства А" представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.5). Убедимся, наконец, что базис линейного пространства (х), введенного в примере 2 п. 1 9 1, состоит из одного элемента, в качестве которого можно взять любой н е и у л е в о й элемент этого пространства (т. е. любое положительное вещественное число х„не равное 1).

Достаточно доказать, что для любого положительйого вещественного числа х найдется вещественное число Х такое, что х хе '). Но это очевидно: достаточно взять Х = 1оп,,х. 3. размерность линейного пространства. Как и выше, будем рассматривать произвольное вещественное линейное пространство Я. Определение 1. Линейное пространство !т называется п-м е р н ым, если в нем существует и линейно независимых элементов, а любые (и + !) элементов уже являются линейно зависимыми.

При этом число и называется р а з ме р н о от ь ю пространства 1с. '! Напомним, что пропаведеппе влемепта л, па ввело Х определяется как аде [Гл. 2 линеинын пространства 50 Размерность пространства )с обычно обозначают символом й)т 11. Определение л. Линейное пространство 1[ называется б е ск о н е ч н о м е р н ы м, если в нем существует любое числа линейно независимых элементов '). В настоящей книге мы будем изучать в основном пространства конечной размерности и. Бесконечномерные пространства составляют предмет специального изучения. (Они изучаются в гл.

10 н 11 выпуска «Основы математического анализаз, часть 11.) Выясним связь между понятием размерности пространстиа и введенным в предыдущем пункте понятием базиса. Теорема л.б. Если !с — линейное пространство размерности и, то любые п линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис. Доказательство. Пусть е„е„...,е,— любая система и линейно независимых элементов пространства )с (существование хотя бы одной такой системы вытекает из определения 1).

Если х — л ю б о й элемент гт, то, согласно определению 1, система (и+ 1) элементов х, е„е„..., е, линейно зависима, т. е. найдутся не все равные нулю числа а,, а,, а„..., а„такие, что справедливо равенство аех+ а,е, + а,е, +... + а„е„= О. (2.9) Заметим, что число а, заведомо отлично от нуля (ибо в противном случае из равенства (2.9) вытекала бы линейная зависимость элементов е,, е,...„е„). Но тогдз, поделив равенство (2.9) на а, ссс сс, ав и положив х = — —, х,= — — ..., х = — — мы пои' а '"' в а о « з лучим из (2.9) (2.10) х=х,е, +х е, +... +х„е,, Так как х — произвольный элемент )с, то равенство (2.10) доказывает, что система элементов еы е„..., е„является базисом пространства )с.

Теорема доказана. Теорема 9.6. Если линейное пространство )с имеет базис, состоящий иэ и элементов, то размерность асс равна и. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть система и элементов е,, е„... ..., е„является базисом пространства г1. Достаточно доказать, что л ю б ы е (и + 1) элементов этого пространства х„х„..., х„„ линейно зависимы '*).

Разложив каждый из этих элементов по «) Длн обознзченнн того, что пространство й нвлнетса бесконечномерным, используют слелующую снмволнку: б[т [с = ео. ") Ибо базисные влементы е„ез, ..., е„образуют «а«тему а линейно аеззвнснмыа элементов пространства й. а 11 БАзис и РАзмерность линейнОГО пРОстРАнстВА б1 базису, будем иметь х,=а„е,+а„е,+...+а,„е„, х,=а„е,+а„ее+...+а,„е„ Ха+1 — — а, „„„Е, + а,„„„Е, +... + а„„, „Е„, ГДЕ а11~ а12в ° .

э а(пе11 л НЕКОТОРЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛВ. Очевидно, линейная зависимость элементов х„х„..., х„„, эквивалентна линейной зависимости строк матрицы А ан аег лет аее а1о аеа а1О Е Д1 1 а1а е И Е ° ° ° а1а+ И а ') См, теорему 1.б ал и. 2 4 3 гл. 1. Но строки указанной матрицы заведомо линейно зависимы, ибо порядок базисного минора втой матрицы (содержащей (и + 1) строк и и столбцов) не превосходит и, и хотя бы одна из (и + 1) ее строк не является базисной и по теореме о базисном миноре ") представляет собой линейную комбинацию базисных (а стало быть, и всех остальных) строк.

Теорема доказана. Обращаясь к примерам, рассмотренным в конце предыдущего пункта, мы теперь можем сказать, что размерность пространства В, всех свободных векторов равна трем, размерность пространства А" равна и, а размерность пространства (х) равна единице. Примером бесконечномерного пространства может служить линейное пространство С 1а, Ь) всех функций х = х (1), определенных и непрерывных на сегменте а ~ 1 ~ Ь (см. пример 4 из п.1 $1).

В самом деле, для любого номера л система (и + 1) элементов этого пространства 1„1, Ге, ..., 1" является линейно независимой (ибо в противном случае некоторый многочлен С, + С,1+ Сеге + + ... +С„Г", не все коэффициенты С„С,, ..., С„которого равны нулю, оказался бы тождественно равным нулю на сегменте а ~ 1.ч. 'Ь). 4. Понятие изоморфизма линейных пространств. В этом пункте мы покажем, что различные линейные пространства одной и той же размерности и в смысле свойств, связанных со введенными в этих пространствах операциями, по существу не отличаются друг от друга.

Так как в линейных пространствах введены лишь операции сложения элементов и умножения элементов на числа> то естественно сформулировать следующее определение. линейные простРАнствА 52 Определение. Два произвольных вещественных линейных про. странства Р и Р' называются ивом ар фн ым и, если между элементами втих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие *) так, что если элементам х и у пространства Р отвечают соответственно элементы х' и у пространства Р', то элементу х + у отвечпет элемент х + у', а элементу ХХ при любом вещественном Х отвечает элемент Хх'. Заметим, что если линейные пространства Р и Р изоморфны, то нулевому элементу Р отвечает нулевой элемент Р' и наоборот.

(В самом деле, пусть элементу х пространства Р отвечает некоторый элемент х' пространства Р'. Тогда элементу О хпространства Р отвечает элемент О х' пространства Р'.) Отсюда следует, что если в случае изоморфизма влементам х, у, ..., х пространства Р отвечают соответственно элементы х', у', ..., х' пространства Р', то линейная комбинзция ах + + ру + ... + ух является нулевым элементом пространства Р тогда и только тогда, когда линейная комбинапия ах' + + ))у' + ...

+ ух' является нулевым элементом пространства Р'. Йо это означает, что если пространства Р и Р' изоморфны, то максимальное число линейно независимых элементов в каждом из этих пространств одно и пю же. Иными словами, два изоморфных пространства обязаны иметь одинаковую размерность. Стало быть, пространства разной размерности не могут быть изоморфны. Докажем теперь следующее утверждение. Теорема 2.7. Любые два и-мерных вещественных линейных пространства Р и Р' изоморфны. Д о к а з а те л ь с т в о.

Выберем в Р какой-либо базис е„ ем ..., е„, а в Р' — какой-либо базис е), ес, ..., е„'. Поставим в соответствие каждому элементу х = х,е, + хьеь+ .. + х„е„ пространства Р элемент х' = х~е~ + х2еэ+ ... + х.е. пространства Р' (т. е. мы берем в качестве х' тот элемент Р', который имеет относительно базиса е(, е), ..., е„те же самые координаты, что и элемент х относительно базиса е„ е„ ..., е„). Убедимся в том, что установленное соответствие является взаимно однозначным. В самом деле, каждому элементу х пространства Р однозначно соответствуют координаты х„ х„ ...,х„, которые в свою очередь определяют единственный элемент х' пространства Р'.

Характеристики

Список файлов книги