Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 15
Текст из файла (страница 15)
з 3. Условне совместности общей линейной системы. Установнм теперь необходимое н достаточное условие совместности общей (вообще говоря, неоднородной) системы вида (3.1). С этой снстемой связаны две матрицы: матрица А, определяемая соотношением (3.2), которую принято называть о с н о в н о й м а т р нц е й с н с т е м ы (3.1) (она составлена нз коэффнцнентов прн неизвестных), н матрица ам ам °, . а1и Ь! ам ам ° .. о«и Ь« которую принято называть р асш н реп ной м атр н цей с н стем ы (3.1) (она получается нз основной матрицы путем добавления к этой матрице столбца (3.5) свободных членов). Справедлива следующая основная теорема. Теорема 3.2 ~теорема Кронепера — Капелл п *).
Для того чтобы линейная система (3.1) являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы втой системы был равен рангу ее основной матрицы. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть система (3. !) совместна, т. е. существуют такие числа с,, с„..., с„, что справедлнвы равенства амс, + а,ась +... + акаси = Ь,, амс, + а„с, +... + аа„с„= Ь,, (3.9) а,с, + а„,ась+... + а„„с„= Ь Обозначим через г ранг о с н о в,н о й матрицы системы (3.!) н рассмотрим линейную оболочку Ь г базисных столбцов этой матрицы.
В силу теоремы 1.6 о базисном миноре любой столбец основной матрицы принадлежит указанной линейной оболочке Ь. Иными словами, любой столбец расширенной матрицы (3.8), кроме последнего ее столбца, принадлежит указанной линейной оболочке Ь. Из равенств (3.9) следует, что н последний столбец расширен. ной матрицы (3.8) принадлежит линейной оболочке Ь (нбо этот последний столбец в силу равенств (3.9) линейно выражается через все столбцы основной матрицы н поэтому линейно выражается через ее базисные столбцы).
Таким образом, все столбцы расширенной матрицы (3.8) принадлежат указанной линейной оболочке Ь. В и. 2 9 3 гл. 2 мы уже установили, что размерность указанной линейной оболочки Ь равна г. Это означает, что любые г + 1 столбцов расширенной «) Леопольд Кроиекер (1823 — 1891) — немецкий математик, Альфред Каоеллн (1855 — 1910) — итальянский математик. е э1 отыскания рвшвннн линнннон системы 69 й 2. Отыскание решений линейной системы Теорема Кронекера — Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности линейной системы, но не дает способа нахождения решений втой системы, В этом параграфе мы займемся отысканием решений линейной системы (3.1).
Сначала мы рассмотрим простейший случай квадратной системы линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы, а затем перейдем к отысканию совокупности всех решений общей линейной системы вида (3.1). 1. Квадратная система линейных уравнений с определителем основной матрицы, отличным от нуля. Пусть дана квадратная система линейных уравнений а„х, + а„х, +... + а„,х„= 8„ азэхх+азехэ+... + аэвх„бэ, (3.10) а„,х,+а„,х,+... +а„„х„= Ьи с отличным от нуля определителем Ь основной матрицы аы аы . ° ° аэл аы аээ ° ° ° ав а,а низ ° .. ази (3.1!) ') Ибо указанные г базисных столбцов линейно независимы, а болзшехо чем г висла линейно независимых столбцов расширениав матрица не имеет. ее) Не изменив линейной комбинации г базисных столбцов> мы можем хо.
бавнть к кей все небаэнсиые столбцы с множнтелвмн, рзвиымн нулю. матрицы (3.8) линейно зависимы, т. е. ранг расширенной матрицы (равный максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы) также равен числу г. Необходимость доказана. 2) До с т а то ч но ст ь. Пусть ранги основной и расширенной матриц совпадают. Тогда г базисных столбцов основной матрицы будут являться базнсными столбцами н расширенной матрицы (3.8) '). По теореме 1.6 о базисном миноре последний столбец расширенной матрицы (3.8) представляет собой некоторую линейную комбинацию указанных г базисных столбцов. Стало быть, последний столбец расширенной матрицы (3.8) представляет собой некоторую линейную комбинацию и всех столбцов основной матрицы (3.2) '*), т. е.
сущесгвуют числа с„с„..., с„ такие, что справедливы равенства (3.9). Последние равенства означают, что числа с„с„..., сз представляют собой решение системы (3.1), т. е. эта система является совместной. Теорема полностью доказана, системы линейных уравнений (гл.
э 70 Докажем, что такая система имеет и притом единственное решение, инайдемэто решение. Сначала докажем, что система (3.10) может иметь только одно решение (т. е. докажем единственность решения системы (3.10) в предположении его существования). Предположим, что существуют какие-либо и чисел х„х„..., х„ такие, что при подстановкеэтих чисел в систему (3.10) все уравнения этой системы обращаются в тождества (т.
е. существует некоторое решение системы (3.10) х„х„..., х„). Тогда, умножая тождества (3.10) соответственно на алгебраические дополнения Атт, Аэм ..., А„! элементов 7-го столбца определителя Ь матрицы (3.11) и складывая затем получающиеся при этом тождества, мы получим (для любого номера 1, равного 1, 2, ..., п) Е х! (ат!Ац+ а!эАэ) + ° .. + ав!Аэ!) = РэА!) + Ь,Аэт+... + Ь„А„Р ! 1 Учитывая, что сумма произведений элементов э-го столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов )'-го столбца равна нулю при 1 чм 1' и равна определителю Ь матрицы (3.11) при ! = 1'), мы получим из последнего равенства х)Ь (!эА!)+ (!«Ат~+ ° .. + ЬэАэр (3.12) Обозначим символом Ьт(й!) (или более кратко символом Ь)) определитель, получающийся из определителя Ь основной матрицы (3.11) заменой его 1-го столбца столбцом из свободных членов (э„ Ь„..., Ь„(с сохранением без изменения всех остальных столбцов Ь), Заметим, что в правой части (3.12) стоит именно определитель Ь! (о!) "), и это равенство принимает вид х)Ь = Ь! () = 1, 2, ..., п).
(3.13) Поскольку определитель Ь матрицы (3.11) отличен от нуля, равенства (3.13) эквивалентны соотношениям хт= — ! (.!=1, 2, ..., и). (3.14) Итак, мы доказали, что если решение х„х„..., х„системы (3.10) с определителем Ь основной матрицы (З.П), отличным от нуля, существует, то вто решение однозначно определяется формулами (3.14). Формулы (3.14) называются ф о р м у л а м и К р а м ера е"). ') См. свойство 4«нэ и. 4 4 2 гл. (. «*) Чтобы убелнтьсв в этом, достэточно вэовсэтэ ревлон!енне онределнтелв а! (Ь!) ло элементвм ((-го столбца.
«««) Гвбрнель Крэмер ()704 — )Тбэ) — в!вейцэрсввй мэтемэтвв. йя) ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ 71 Еще раз подчеркнем, что формулы Крамера пока получены нами в предположении существования решения и доказывают его единственность. Остается доказать существование решения системы (3.10), Для этого в силу теоремы Кронекера — Капелли достаточно доказать, что ранг основной матрицы (3.11) равен рангу расширенной матрицы ') ац ада .
° ° ада Ьд адд ааа ° ° ° аач Ьа (3.15) но это очевидно, ибо в силу соотношения дд ~ О, ранг основной матрицы равен и, а ранг содержащей и строк расширенной матрицы (3.15) больше числа и быть не может и потому равен рангу основной матрицы. Тем самым полностью доказано, что квадратная система линейных уравнений (3.10) с определителем основной матрицы, отличным от нуля, имеет и притом единственное решение, определяемое формулами Крамера (3.14).
Доказанное нами утверждение еще проще устанавливается матричным способом. Для того чтобы сделать это, заменим (как и в и. 1 $1) систему (3.10) эквивалентным ей матричным уравнением АХ = В, (3.15) где А — основная матрица системы (3.11), а Х и  — столбцы Кд В= Ьч первый из которых подлежит определению, а второй задан.
Так как определитель Л матрицы А отличен от нуля, то существует обратная матрица А ' (см. и. 7 $2 гл. 1), Предположим, что существует решение системы (3.10), т. е. существует столбец Х, обращающий в тождество матричное уравнение (3.16). Помножая указанное тождество слева на обратную матрицу А ', будем иметь А ' (АХ) = А 'В. (3.17) Учтем теперь, что в силу сочетательного свойства произведения трех матриц (см. п. 2 $! гл.
1) и в силу соотношения А 'А = Е, ') Существует и другой способ доказательства существования решения системы (3.10), ааключающнйся в проверке того, что числа кд, ха, ..., к„, апреаеляемые формулами Крамера (3.14), обращают в тождества все уравнения скстемы (3.10). системы линвнных уравнвнин 1гл. з х, + 2х, + Зх, + 4хе = 30, — х, + 2х, — Зх, + 4х, = 1О, х,— х,+ Х,=З, Хг+ ха+ ха+ х4= 10 с отличным от нуля определителем основной матрицы 1 2 3 4 — 1 2 — 3 4 0 ! — 1 1 1 1 1 1 Поскольку 1 30 3 4 — ! 10 — 3 4 О 3 — 1 1 1 10 ! 1 1 2 3 30 — 1 2 — 3 10 0 1 — 1 3 1 1 1 1О 2 3 4 2 — 3 4 1 — 1 1 1 1 1 2 30 4 2 10 4 1 3 1 1 1О 1 30 1О 3 1О = — 4, й,= = — 8 У = — 16, = — 12, ч) см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
