Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Таким образом, пространство А" со скалярным произведением, определяемым равенством (4.5), при условии симметричности матрицы (4.3) и положительной определенности порождае. мой ею квадратичной формы, является евклидовым простран. ством. Если в качестве матрицы (4.3) взять единичную матрицу, то соотношение (4.4) перейдет в (4.2), и мы получим евклидово пространство Е", рассмотренное в примере 3.
2. Простейшие свойства произвольного евклидова пространства. Устанавливаемые в этом пункте свойства справедливы для совершенно произвольного евклидова пространства как конечной, так и бесконечной размерности. Теорема 4.1. Для любых двух элементов х и у произвольного евклидова пространства справедливо неравенство (х, у)' ~ (х, х) (у, у), (4.6) называемое неравенством Коши — Буняковского. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого вещественного числа Х, в силу аксиомы 4' скалярного произведения, справедливо неравенство (Хх — у, Хх — у) ~ О. В силу аксиом 1' — 3' последнее неравенство можно переписать в виде У(х, х) — 2Х(х, у)+ (у, у) ) О. Потребуем, чтобы матрица (4.3) удовлетворяла двум условиям: 1'. Порождала положительно определенную квадратичную форму (4.4).
2'. Была симметричной (относительно главной диагонали), т. е. удовлетворяла условию а,д = ад, для всех 1 = 1, 2, „., и и всех й=1,2, ..., п. С помощью матрицы (4.3), удовлетворяющей условиям 1 и 2', определим скалярное произведение двух любых элементов х = (х,, х„..., х„) и у = (ум у„..„у„) пространства А" соот- ношением евклидовы пространства 1ГЛ. 4 ве Необходимым и достаточным условием неотрицательиости последнего квадратного трехчлеиа является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство *) (х, у)э — (х, х) (у, у) кО. (4.7) Из (4.7) сразу же вытекает неравенство (4.6).
Теорема доказана. Наша очередная задача — ввести в произвольном евклидовом пространстве понятие н о р м ы (илн д л и н ы) каждого элемента. Для этого введем понятие линейного нормированного пространства. Определение. Линейное пространство Р называетсян о р м ир о в а н и ы м, если выполнены следующие два требования: 1. Имеется правило, посредством которого каждому элементу х пространства Р ставится в соответствие вещественное число, называемое н о р м о й (или д л и и о й) указанного элемента и обовиачаемое символом 1х ~. И.
Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам; !'. 1х~)О, если х — ненулевой элемент; 1х~=О, если х — нулевой элемент. 2'. $ах)=)Х)$х1 длялюбого элемента х и любого вещественного числа Х. 3', Для любых двух элементов х и у справедливо следуюи(ее неравенство: 1х+У1 к~х1+1У1. (4.8) назыеаемое неравенством треугольника (или неравенством Минковского). Теорема я.2. Всякое евклидова пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента х определить равенством '1х1=1/(х, х).
(4.9) Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что для ноепмы, определенной соотношением (4.9), справедливы аксиомы 1 — 3' из определения нормированного пространства. Справедливость для нормы аксиомы 1' сразу вытекает из аксиомы 4' скалярного произведения. Справедливость для нормы аксиомы 2' почти непосредственно вытекает из аксиом 1' и 3' скалярного произведения.
Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3', т. е. неравенства (4.8). Будем опираться иа неравенство Коши— Буняковского (4.6), которое перепишем в виде 1(х, у)~ к ~Г(х, х) рУ(у, у) . (4.7') ') В случае (х, х) = О квадратный треачлен вырождается а линейную функнню, но а этом случае элемент х является нулевым, так что (х, у) О н неравенство (4.7) также справедливо. е 13 ввществвннов ввклидово пэоствлнство 87 С помощью последнего неравенства, аксиом 1' — 4' скалярного произведения и определения нормы получим ))«.~.у(1-«7_#_Фу «.~-у!= («, «)+2~«. у)«-ь, у)« с )/(х, х) + ьГ(х х) ь«(у, у)+(у, у) =~~ ~т'(х, х) +т'(у, у)1е=~'(х, х) +ф ~,у) )~х~(+~(у(), Теорема доказана.
Следствие. Во всяком евклидовом пространстве с нормой элементов, определяемой соотношением (4.9), для любых двух элементов х и у справедливо неравенство треугольника (4.8). Заметим далее, что в любом в е щ е с т в е н н о м евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произ. вольными элементами х и у этого пространства. В полной аналогии с векторной алгеброй, мы назовем у г л о м у между элементами х и у тот (изменяющнйся в пределах от О до и) угол, косинус которого определяется соотношением соз Данное нами определение угла корректно, ибо в силу неравенства Коши — Буняковского (4.7') дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по модулю не превосходит единицы. Далее договоримся называть два произвольных элемента х и у евклидова пространства Е о р т о г о н а л ь и ы м и, если скалярное произведение этих элементов (х, у) равно нулю (в этом случае косинус угла у между элементами х и у будет равен нулю).
Снова апеллируя к векторной алгебре, назовем сумму х+ у двух о р т о г о н а л ь н ы х э л е м е н т о в х и у г и п о т ен у з о й прямоугольного треугольника, построенного на элементах х и у. Заметим, что во всяком евклидовом пространстве справедлива т ео р е м а П и фа го р а: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В самом деле, поскольку х и у ортогональиы и (х, у) = О, то в силу аксиом и определения нормы () х + у )~ = (х + у, х + у! = =(х, х)+2(х, у)+(у, у)=(х, х)+(у, у) )(х('+ау)', Этот результат обобщается я на и попарно ортогональных элементов х„х„..„х„: если х = х, + х, + ... + х„, то л Г = (х, + х, -(- " ° + х„, х, + х, + ° ° ° + х„) = (х, х,)+(х„хд+ ° ° ° +(х„, х„) =)х,~'+~~Щ'+ "° +~х„~'.
В заключение запишем норму, неравенство Коши — Буняковского и неравенство треугольника в каждом нз конкретных евклидовых пространств, рассмотренных в предыдущем пункте. ВВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА !Гл. ! В евклндовом пространстве всех свободных векторов с обычным определением скалярного пронзведення норма вектора 22 совпадает с его длиной )а), неравенство Коши — Буняковского приводится к виду (а, ь)' к )22)2)ь)2 '), а неравенство треугольника — к виду (а + Ь| ~ )а~ + )Ь( "). В евклндовом пространстве С (а, Ь] всех непрерывных на сегменте а ~ ! ~ Ь функций х = х (!) со скалярным пронзведегггг р -*ггр )гггаг)а. а равенства Коши — Буняковского н треугольника имеют внд с ь 12 Ь ь ) х (г) у (1) (г~ ~ ) «2 (г) г(() Уз (1) (г, а а а ь ь 1 ха(!)Ф + ' 1У'(() ( а а Оба этн неравенства играют важную роль в разлнчных разделах математического аналнза.
В евклндовом пространстве Е" упорядоченных совокупностей п вещественных чисел со скалярным пронзведеннем (4.2) норма любого злемента х = (х„х„..., х„) равна а неравенства Коши — Буняковского н треугольника имеют внд («!У! + Х2Уг + ° е ' + ХаУа) ~ < («2 + х2 + ° ° + х„) (у + Уз + ... + У„), (х, + уг)2+ (х, + у,)' + ° ° ° + (х„+ у„)2 ~ Наконец, в евклидовом пространстве упорядоченных совокупностей п вещественных чисел со скалярным произведением (4.5) норма любого злемента х = (х„х„..., х„) равна '*') и а !!Х!! Е Е а, х,хь, ! !з 1 ') Лля скалярного произведения векторов (и, а) ) и ) ( В ) соз чг зто неравенство тривиально иытекает из того, что соззгр а- !.
") Если сложить векторы а н В по правилу треугольника, то зто нерввенство тривиально сводится к тому, что одна сторона треугольника не превосходит суммы двух другнк его сторон. ' ') Напоминаем, что при атом матрица (4.3) симметрична н порождает положительно определенную квадратичную форму (4.4). овтоногмиговлнныя влзис авклндовл пеостглнствл (6 а неравенства Коши — Буняковского и треугольника имеют вид (Е Е *;».) ~(Е Е ~я»*.) (ЕЕ ~а») » л .г ° ° ~ ~ ад„х,хд + ~/ ~л~ ~э~ аыу,уь. «=~»-~ 1»=! й 2. Ортонормироаанный базис конечномерного евклидова пространства В этом параграфе будут изучаться евклидовы пространства к о н е ч н о й размерности и.
Распространение изучаемых здесь результатов на бесконечномерные евклидовы пространства выходит за рамки этой книги и является предметом специального изучения. (Такие пространства изучаются в главах 1О и 11 выпуска «Основы математического анализа, часть 2»,) 1. Понятие ортонормнрованного базиса н его существование. В главе 2 было введено понятие базиса и-мерного линейного пространства. В линейном пространстве все базисы являлись равноправными, и у нас не было оснований предпочитать один базис другому. В евклидовом пространстве существуют специальные, особо удобные базисы, называемые ор тон ор ми рован н ыми базисами.
Эти базисы играют ту же роль, что и декартов прямоугольный базис в аналитической геометрии. Перейдем к определению ортонормированного базиса. Определение. Будем говорить, что и элементов е„е«, ..., е„ и-мерного евклидова пространства Е образуют о р т о н о р'м ар о в а и и ы й б аз и с этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна единиие, т. е. если 11 при !=А, (" е")=)О ~ О при 1чь й. (4.
10) Для того чтобы установить корректность сформулированного определения, следует доказать, что входящие в это определение элементы е„е„..., е„образуют один из базисов рассматриваемого и-мерного пространства Е, а для этого в силу теоремы 2.5 достаточно доказать, что эти элементы е„е„..., е„линейно независимы, т. е. что равенство а,е,+а,е,+ "° +а,е„=й (4.11) возможно, лишь когда а« = а« = " = аь = О. ввклндовы пространства 1гл.
е Докажем зто. Пусть й — л ю б о й из номеров 1, 2, ..., л. Умножая равенство (4.11) скалярно на элемент еь и пользуясь аксиомами скалярною произведения и соотношениями (4.10), мы получим, что аь О. Докажем теперь следующую основную теорему. Теорема в,8. Во всяком и-мерном ввклидовом пространстве Е существует ортонормированный базис. Д о к а з а т ел ьс т в о.
Согласно определению размерности в пространстве Е найдется и линейно независимых элементов Т"„ Ь -, Хп. Докажем, что можно построить и элементов ек, е,, ..., е„, линейно выражающихся через Т"„,Г"„...,,Гс, и образующих орто. нормированный базис (т. е, удовлетворяющих соотношениям (4.10)). Проведем доказательство возможности построения таких эле. ментов е,, е„ ..., е„ методом математической индукции. Если имеется только один элемент Т",, то для построения элемента е, с нормой, равной единице, достаточно нормировать элемент 1',, т. е. Умножить этот элемент на число Ь'(7„,,)гк)1 обратное его норме '), Мы получим прн этом элемент е, = [у (У, Т",)] ' Т, с нормой, равной единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
