Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(4.42) Так как множество «Хо«ограничено, то в силу теоремы Больцано — Вейерштрасса из последовательности «Х""«можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Чтобы не менять едовательность «Х~") обозначений, будем считать, что вся посл сходится к некоторому столбцу Х' = , то есть~Х " — Хо~ -ьО при и-о оо. Еще раз учитывая, что АХ' = В, и снова пользуясь неравенством треугольника и соотношениями (4.28) и (4.29), получил», что «В вЂ” АХ'«(~ ««В — В«+««АХо АХо(«» 6-«-6.«Ло«(4 39) [ГЛ. А ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Убедимся в том, что ЦАХ"л — АХ~Ц О при л оо, (4.43) В самом деле, пользуясь неравенством треугольника, оценками (4.28), (4.29), (4.3б) и (4.40) и соотношением (4.3)л), получим Ц АХ "— АХ'Ц с Ц АХ"л — АХ лЦ+ЦАХ"" — ВТЦ+ЦВ2 — АХ~Ц ~ ~ б„ЦХ"лЦ+ Г л(Х л А Вй)+Сблл„блЯХ"л)1+С)+ + )~'ала (б„) С + а„Ц Х' Ц'-э- О при п -л оо.
Из неравенства (4.43) вытекает, что АХ' = АХ', т. е. Предельный злемент Х' является решением системы (4.26), удовлетворяющим в силу соотношения (4.4)) неравенству ЦХАЦ ~ ~ ЦХАЦ. Так как по определению для нормального решения Х' справедливо обратное неравенство ЦХ'Ц ~ ЦХАЦ, то ЦХ'Ц = ЦХ'Ц, т.
е. Х' = Х', а зто противоречит неравенству (4.42), справедли» вому для любого номера л. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. ГЛАВА 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В этой главе исследуются так называемые л и н е й н ы е ото б р аж е н и я линейных и евклидовых пространств, т, е. такие отображения, при которых образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произведения элемента на число равен произведению этого числа на образ элемента. При этом мы будем рассматривать к ом п л е к с н ы е линейные и евклидовы пространства. Результаты, относящиеся к вещественным пространствам, будут оговорены специально.
$ 1. Понятие линейного оператора. Основные свойства 1. Определение линейного оператора. Пусть У и Иà — линейные пространства, размерности которых равны соответственно и и т. Мы будем называть оператором А, действующ и м и з У в Иг, отображение вида А: У -+ В", сопоставляющее каждому элементу х пространства У некоторый элемент у пространства Иг. При этом будем использовать обозначение у = А (х) или у = Ах. Определение. Оператор А, действующий из У в Иу„называется линейным, если для любых элементов х, и хэ пространства У и любого комплексного числа Х выполнякипсл соотношения: 1'.
А (хт + х,) = Ах, + Ах, (свойство аддитивности оператора). 2'. А (Хх) = ХАх (свойство однородности оператора). 3 а м е ч а н и е ! . Если пространство Я7 представляет собой комплексную плоскость, то линейный оператор А, действующий из 1'в ИГ, называетсялинейной формой или линейным функционалом. 3 а м е ч а н и е 2. Если пространство Иг совпадает с пространством У, то линейный оператор, действующий в этом случае из У в У, называют также линейным преобразованием пространства У.
2. Действия над лииейиымн операторамн. Пространство линейных операторов. В множестве всех линейных операторов, действующих из У в В', определим операции с у м м ы таких операторов и ум пожени я оператора на скаляр. линвиныв опволтоэы англ. Б (А + В) х Ах+ Вх.
(5 1) П р о и з в еде н и ем линейного оператора А на скаляр Х назовем линейный оператор ХА, определяемый равенством (ХА) х = Х (Ах). (5.2) Назовем и у л е в ы м оператор, обозначаемый символом О и отображающий все алементы пространства Р в нулевой элемент пространства В". Инымн словами, оператор О действует по правилу Ох= й. Для каждого оператора А определим п р о т и в о и о л о жн ы й о п е р а т о р — А посредством соотношения — А =( — 1)А.
Легко проверить справедливость следующего утверждения. Множество А (У, Щ всех линейных операторов, действующих из Р в 37, с указанными выим операциями суммы и имножения на скаляр и выбранными нулевым оператором и противоположным оператором образует линейное пространство. 3. Свойства множества л. (К, К) линейных операторов. Исследуем подробнее линейные операторы, действующие нз У в т. е. изучим подробнее множество С (У, 1'). Назовем тождественным (или един ич ны м) оператором линейный оператор Е, действующий по правилу /х = х (здесь х — любой элемент к').
Введем понятие п р о и з в ед е н и я линейных операторов нз множества Ь (У, У). П р о и э в е д е н и е м операторов А и В из Е (У, 1') называется оператор АВ, действующий по правилу (АВ) х = А (Вх). (5 3) Отметим, что, вообще говоря, АВ чь ВА. Справедливы следующие свойства линейных операторов яз ь(р, у); 1'. Х (АВ) = (ХА) В.
2'. (А + В) С = АС + ВС. 3'. А(В+С) АВ+ АС 4'. (АВ) С = А (ВС). (5.4) Пусть А и  — два линейных оператора, действующих нз У в Ф, Сумма й этих операторов назовем линейный оператор А+ В, определяемый равенством з и понятии линейного опвехтогл. основныв своиствл 1вй Первое из свойств (5.4) следует из определения произведения линейного оператора на скаляр (см.
(5.2)) и определения произведения операторов (см. (5.3)). Перейдем к обоснованию свойства 2'. Имеем, согласно (5.1), (5 2) и (5 3), ((А + В) С) х = (А + В) (Сх) = А (Сх) + В (Сх) = = (АС) х + (ВС) х = (АС + ВС) х, Сравнивая левую и правую части последних соотношений„ мы получаем равенство (А + В) С = АС + ВС. Свойство 2' установлено. Совершенно аналогично доказывается свойство 3'. Свойство 4' справедливо, поскольку, согласно определению (см (5.3)), произведение линейных операторов заключается в их последовательном действии, и поэтому линейные операторы (АВ) С и А (ВС) совпадают н, следовательно, тождественны. 3 а и е ч а н и е 1.
Свойство 4 позволяет определить произведение АВ . С любого конечного числа операторов из Е (У, У) и, в частности, п-ю степень оператора А с помощью формулы Ал АА А и сом нож нтелез Очевидно, справедливо соотношение А"+ = А "А"'. Нам понадобится понятие о б р а т н о г о о п е р а т о р а для данного оператора А из (. (У, У). Определение 1. Линейный оператоа В из 1, (У, У) называется о б р а т н ы м для оператора А из Е (1', У), если выполняется соотношение АВ = ВА =! Обратный оператор для оператора А обычно обозначается символом А '. Из определения обратного оператора А ' следует, что для любого х Е У справедливо соотношение А 'Ах = х. Таким образом, если А 'Ах= О, то х = О, т. е. если оператор А имеет обратный, то из условия Ах = О следует, что х =О.
Мы будем говорить, что линейный оператор А действуег взаимно однозначно из У в У, если любым двум различным элементам х, и х, отвечают различные элементы у, = Ах, и у, = Ах, Если оператор А действует взаимно однозначно из У в У, то отображение А: У- У представляет собой отображение У на У.
т. е. каждый элемент у Е У представляет собой образ некоторого элемента х Е У: Чтобы убедиться в этом, достаточно, очевидно, доказать, что л линейно независимых элементов х» х„..., х„пространства У 1гл. з ЛННЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ по отображаются посредством оператора А в л линейно независимых элементов Ах„Ах„..., Ах„этого же пространства. Итак, пусть х„х„..., х„— линейно независимые элементы У. Если линейная комбинация а,Ах, + а,Ах, + ...
+ П,Ах„представляет собой нулевой элемент пространства У: а, Ах, + ачАх, + ° ° ° + а„Ах„= О, то из определения линейного оператора (см. п. 1 этого параграфа) следует, что А(а,х,+а,х,+ ° +а„х„)=О. Так как оператор А действует из У в У взаимно однозначно, то из последнего соотношения вытекает, что а,х, + а,х, + ... ...+ а„х„=О. Но элементы х,, х„..., х„линейно независимы. Поэтому а, = а, ... = сс„= О, Следовательно, элементы Ах„Ах„..., Ах„также линейно независимы. Отметим следующее у т в е р ж д е н и е. Для того чтобы линейный оператор А из Е (У, У) имел обратный, необходимо и доспиппочно, апобы этот оператор действовал взаимно однозначно из У в У. Убедимся, что сформулированное условие необходимо.
Пусть оператор А имеет обратный, ио не действует взаимно однозначно из У в У. Это означает, что некоторым различным элементам х, и х„х, — х, Ф О из У отвечает один н тот же элемент у = =Ах, = Ах,. Но тогда А (х, — х1) = О, н поскольку А имеет обратный, х, — х, = О. Но выше было отмечено, что х,— х, чь О, Полученное противоречие доказывает необходимость условия утверждения. Докажем достаточность этого условия. Допустим, что оператор А действует взаимно однозначно из У в У, Тогда каждому элементу у ~ У отвечает элемент х Е такой, что у =Ах, Поэтому имеется оператор А ', обладающий тем свойством; что А 'у =А ' (Ах) = х.
Легко убедиться, что оператор А ' линейный. По определению А ' — обратный опера- тор для оператора А. Достаточность условия утверждения также доказана, Введем понятия я д р а и о б р а з а линейного оператора. Определение 2. Ядром линейного оператора А назьиается множество всех тех элементов х пространства У, для которых Ах= О. Ядро линейного оператора А обозначается символом Кег А. Если Кег А = О, то оператор А действует взаимно однозначно из У в У.
Действительно, в этом случае из условия Ах = О выте- кает х = О, а это означает, что различным х, н х, отвечают различ- ные у, = Ах, и у, = Ах, (если бы у, = у„то А (х, — х ) = О, т. е. х, = х, и элементы х, н х, не были бы различны). Таким образом, согласно доказанному выше утверждению условие 1сег А = О является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обршпный. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 111 Определение 3. Обр азам линейного оператора А называется множество всех элементов у пространства У, представимых в виде у=А,«. Образ линейного оператора А обозначается символом (гп Ае), 3 а м е ч а и и е 2. Отметим, что если (гег А = О, то !Гп А = У, и наоборот. Поэтому наряду с отмеченным выше условием )сег А = О условие !гп А = У также является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный. 3 а м е ч а н н е 3. Очевидно, ядро (сег А и образ !гп А— линейные подпространства пространства У. Поэтому можно рассматривать размерности йгп ((сег А) и й(ш (нп А) этих подпространств. Справедлива следующая теорема.
Теорема о.з. Пусть размерность йгп У пространства равна и, и пусть А — линейный оператор из Е (У, У). Тогда г((ш (нп А) + йгп ()сег А) = и. Д о к а з а т ел ь с тв о. Так как )гег А представляет собой подпространство 1', то можно указать такое подпространство У, пространства У, что У будет представлять собой прямую сумму У, н 1сег А *"). Согласно теореме 2.10 дип У, + йгп ()гег А) = и. Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться, что йгп У, = йгп (пп А). Пусть йш У, = р, йш (пп А) = а и у„у„..., у, — базис в 1гп А. Так как линейный оператор А действует взаимно однозначно из У, в !п1 А '" ), то каждому элементу у из 1ш А можно поставить в соответствие единственный элемент х ~ У, такой, что Ах = у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
