Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Поэтому в У, определены элементы х„х„..., х такие, что Ахз =- уь, й =- 1, 2, ..., а. Элементы х„х„..., х, линейно независимы, ибо если а,х, + а,х, + ... + а,х = О, то А (а,хз + а,х, + ... + а хе) = азу, + а„у, + ... + а уз = О, ') Символ пп следуетотличзть от символа 1ш, используемого для обозначения мнимой части комплексного числа. ") Чтобы убедиться в этом, выберем в У такой бзэис е„ ез, ..., ен, что первые т векторов е,, в„ „, е, обрзэуют базис в )сег А, тогда лииеййвя оболочка векторов е„~,, ..., е„ предстзвляет собой У, (см. подробнее главу 4). "') По аналогии с линейными оперзторзми, действующими взаимно однознзчно из У в У, можно ввести понятие линейного оператора А, действующего взаимно однозначно из линейного пространства У в линейное пространство йг.
Зти оперзторы яарзктериэуются тем, что рззлнчным злементзм х, н х прострзнствз У отвечают рзэличные элементы у, = Ах, и у, = Ахз пространства йт, Таким свойством обладает рассматриваемый оператор А, действующий нз прострзнствз Уы в пространство пп А. )(ействительно, если хз Ч Ун .кз б Уд, хз — кэ ~ О, то хэ — хэ Ч Ун н поэтому Аязчь Ах, (Ахт ч оп А, Ах, е !щ А), нбо если бы Ак, = Ак,„то А(хз — к,) = О, т. е.
х, — хэ Р 1сег А, что противоречило бы прннздлежности к,— к, б У, и условию хз — хг ч" О (У, и (сег А состзвляют прямую сумму н поэтому имеют общим лишь нулевой элемент). [гл. з линаиныв опаьлтоэы а так как элементы у„у„..., у, линейно независимы, то а, = = а, = ., = ар — — О, т, е. н х„х„..., хе линейно независимы. Таким образом, в У, имеется д линейно независимых элементов. Следовательно, р ~ у (напомним, что р = й!гп У,). Предположим, что р > д. Добавим к линейно независимым элементам х„х„..., х, элементы х,+„х,+„..., х так, что х,, х„..., хг, образуют базис в У,.
Так как р > д и д = йш (пп А), то элементы Ах,, Ах„..., Ахр, принадлежащие !гп А, линейно зависимы, и поэтому существуют не все равные нулю числа Л„ Л„..., Л, такие, что Л,Ах, + Л,Ах, + ... + Л,Ах„= О. Отсюда следует, что А (Л,х, + Л,х, + ... + Лгхр) = О. Так как А действует из Уг в ггп А взаимно однозначно, то из последнего равенства получаем Л,х,+Л,х,+ ° ° +Л х =О. Но х„х„...
х„— базис в У,. Поэтому Л, = Л, = ... = Л„= О. Выше указывалось, что не все Л„, Л„.„, Лр равны нулю. Следовательно, предположение р >д ведет к йротнворечию. Таким образом, р = д. Теорема доказана. Имеет место также следующая теорема, в определенном отношении обратная теореме 5.1, Теорема 5.2. Пусть 1', и 1', — два таких надпространства и-мерного пространства У, что йш 1', + йпп 1', = йпг У, Тогда суи!ествует такой линейный оператор А из Е (У, У), что У, = = пп А и 1', = (гег А. Доказательство.
Пусть б!ш1',=р, йт У,=д. Выберем в пространстве У базис е,, е„..., е„так„чтобы элементы ер,г, еь+м ..., е„принадлежали У,. Далее в пространстве 1', вйберем некоторый базис а„й„.„, о,. Определим теперь значения линейного оператора А на базисных векторах е„е„..., е„пространства У следующим образом: Ае,=йп Ае,=й„..., Ае,=й,, Ае„,=О, Ае „=О, ..., Ае„=О.
Далее, если х = х,е, + х,е, + ... + х ер + хь,гены + ... + х„е„, то Ах = х,йг + х,й', +... + хрйр. Очевидно, оператор А линейный и обладает требуемыми свойствами. Теорема доказана. Введем понятие р а н г а линейного оператора А. Назовем р а н г о м линейного оператора А число, обозначаемое символом гани А и равное гапцА =йш(ппА). Отметим следующее очевидное следствие из теоремы 5.! и из замечания 2 этого пункта. Следствие аз теоремы о.!. Для того чтобы оператор А из Ь (У, У) имел обратный А г, необходимо и достаточно, чтобы гапд А = б!ш У = и. Пусть А и  — линейные операторы из Е (У, У).
Справедлива следующая теорема. понятна линеииого опвндтонд, осиовныв своиствл ИЗ ТеОрема Л.З. Иммот место следующие соотношения: гани АВ ~ гапц А, гапц АВ «гапд В. Д о к а з а т е л ь с т в о, Докажем сначала первое из отмеченных соотношений. Очевидно, пп АВ ы ип А"). Поэтому г()ш (пп АВ) - с1ип (ип А), т. е. гапд АВ ~ гапд А, Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующим очевидным включением "): 1сег В ы 1сег АВ.
Из этого включения следует, что г()гп (кег В) с б)ш (кег АВ), Из последнего неравенства в свою очередь следует неравенство 6)ш У вЂ” г))пз (кег АВ) «г(1ш У вЂ” йш ()сег В), а нз него, согласно теореме 5.1, получаем дпп ()ш АВ) ~ 61ш (пп В), т. е. гапд АВ к гапй В. Теорема доказана. Докажем еще одну теорему о рангах линейных операторов, Теорема 5.4. Луста А и  — линейные операторы из с (У, У) и и — размерность У. Тогда гани АВ ~ гапд А + гани  — и. Доказательство.
Согласно теореме 5.1 йш(1ш АВ)+ Лип(кег АВ) = и. Так как гани АВ = дпп (пп АВ), то из (5.5) получаем гани АВ = и — г)1 ш (1сег АВ). Поскольку, согласно теореме 5.1, (5.5) (5,6) йш (йег А) -1- йш (кег В) = 2п — (гани А + гапд В), (5.7) то для доказательства теоремы достаточно установить неравенство йгп (кег АВ) ~ 61ш ()гег А) + г))ш ()гег В). (5.8) Действительно, нз этого неравенства и из соотношения (5.6) следует неравенство гани АВ ~ п — (8 1ш ()сег А) + 61 щ ()гег В)), из которого, согласно (5,7), сразу же вытекает справедливость утверждения теоремы. Итак, перейдем к обоснованию неравенства (5.8). ') Символ яг здесь и в дальнейшем обозначает включение, т. е.
запись А ~: — В обозначает, что А является подмножеством В. ") Так как АВ и ВА различные, вообще говоря, операторы, то включение !ш АВ и ~а В может не иметь места, н поэтому для доказательства второго соотношения тапи АВ «тапа В требуются сиецвальные рассуждения.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !Гл з 114 Пусть б1 ш (Кег В) = о. (5.9) Согласно теореме 5.3 б1гп (Кег АВ)» !!. Поэтому справедливо соотношение б!гп(Кег АВ) = р+ !), где р» О, (5 10) ф 2. Матричная запись линейных операторов !. Матрицы линейных операторов в заданном базисе линейного пространства У.
Фиксируем в линейном пространстве У базис е„е„..., е„. Пусть х — произвольный элемент У и х= ~; к"е, ь=! (5 1 !) разложение х по данному базису. Пусть А — линейный оператор из Е (У, У). Тогда нз (5 11) получаем Ах = ~„'к'Ае„. (5.12) ь=! Полагая Аеь —— е а!ел ю / г=! (5. ! 3) Так как Кег В ~ Кег АВ, то в подпростраистве Кег АВ можно выбрать базис х,, х„..., х„„так, что элементы х „, ..., х,+ образуют базис в Кег В. При таком выборе х„х„..., хр„злементй Вх„Вх„..., Вхр линейно независимы (если линейная комбинация ~„Х„Вхь — — О, то В ~~~ Хьхь~ =О, т е.
~ Льхь Е Кег В, а это ь=! А=! ь=! может быть, в силу выбора х„х„..., хр, лишь при Х„= О, й = 1, 2, ..., р). Поэтому элементы Вх,, Вх„..., Вхр принадлежат Кег А, т. е. р с б)ш (Кег А). Из этого неравенства и соотношений (5,9) и (5.10) вытекает требуемое неравенства (5 3), Теорема доказана. Следствие из теорем б.З и б.4. Если гане А = и (и— размерность У), то гапй АВ = гапй ВА = гапд В Указанное следствие вытекает из неравенств гане АВ ~ гана В (георема 5 3), гапйАВ» гапяВ (теорема 5 4 при гане А =и).
Из этих неравенств получим, что гане АВ = гаппВ. Аналогично доказывается соотношение гана ВА = гане В. е з1 МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ !1З перепишем (5.12) в следующей форме: л л л / л А -Е ' Ь'ле,= Е (Е ',*')е,. А-1 /-1 /-1 Таким образом, если у = Ах и элемент у имеет координаты у1 = ~ а(х', 1 = 1, 2, ..., и.
*=1 Рассмотрим квадратную матрицу А с элементами ал. 1, (5 14) А = (аь). Эта матрица называется ма т р и ц ей линейного оператора в заданном базисе е„е„...,е„. Наряду с ранее указанным способом записи линейного оператора используется при заданном базисе е„е„..., е„матричная форма записи: у = Ах, причем, если .и = (х', х', ..., х"), то у = = (у', у', ..., у"), где у1, 1 = 1, 2, ..., и, определяются с помощью соотношений (5.14), а элементы а1 матрицы А вычисляются по формулам (5,13). 3 а м е ч а н и е 1. Если оператор А нулевой, то все элементы матрицы А этого оператора равны нулю в любом базисе, т, е.
А — нулевая матрица. 3 а м е ч а н и е 2. Если оператор А единичный, т. е. А = Т, то матрица этого оператора будет единичной в любом базисе. Иными словами в этом случае А = Е, где Š— единичная матрица. В дальнейшем единичную матрицу мы будем обозначать также символом /.
1'(ы выяснили, что каждому линейному оператору А из Е (У, У) при заданном базисе линейного пространства У отвечаег матрица А этого оператора. Естественно возникает обратный вопрос— каждой ли данной матрице А при заданном базисе в У можно поставить в соответствие линейный оператор А, матрицей которого будет данная матрица. Важно также выяснить вопрос о единственности матрицы линейного оператора в заданном базисе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
