Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 26
Текст из файла (страница 26)
е. б)ш (кег (А — М)) ~ 1. (5.31) Поскольку, согласно теореме 5.1, йщ ((ш (А — М)) + д(ш (Иег (А — М)) = и, е 33 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫВ ВЕКТОРЫ 121 то из этого равенства и неравенства (5.31) получаем б)ш(пп(А — М)) ~ и — 1. (5.32) По определению б(гп (1ш (А — М)) равняется рангу оператора А — М, Поэтому из неравенства (5.32) следует ганя(А — Ал) (и. (5.33) Таким образом, если Х вЂ” собственное значение, то ранг матрицы А — Х! оператора А — М меньше и, т. е.
бе1 (А — М) = О и, следовательно, Х вЂ” корень характеристического уравнения. Пусть теперь Х вЂ” корень характеристического уравнения (5.29). Тогда справедливо неравенство (5.32), а следовательно, и неравенство (5.31), из которого вытекает существование для числа А такого ненулевого вектора х, что (А — М) х = й. Последнее соотношение эквивалентно соотношению (5.50).
Поэтому А— собственное значение. Теорема доказана. Следствие. Каждый линейный оператор имеет собственное значение. Действительно, характеристическое уравнение всегда имеет корень (в силу основной теоремы алгебры). Справедлива следуюшая теорема: Теорема О.У. Для того чтобы матрица А линейного оператора А в данном базисе»е„» была диагональной е), необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы ев были сол тленными вектораии этого оператора. Д о к а з а т ел ь с т в о.
Пусть базисные векторы е„являются собственными векторами оператора А. Тогда Ае,=Х„е„, (5.34) н поэтому матрица А оператора А имеет вид (см. соотношения (5.13) и понятие матрицы линейного оператора) (5.35) т. е. является диагональной. Пусть матрица А линейного оператора А в данном базисе »еэ» диагональна, т. е. имеет вид (5.35). Тогда соотношения (5,13) примут вид (5.34), а это означает, что ев — собственные нектары оператора А. Теорема доказана. Докажем еше одно свойство собственных векторов. ') Напомним, что мэтрипа ивэыввется хивгоивльиой, если все ее элементы, расположеииые ие иа главной диэгоиали, равны нулю.
ЛННЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1гл. з Теорема Ю.уд. Пусть собапвенные значения Лт, Л„..„Л„оператора А различны. Тогда отвечающие им собственные векторы е„е„..., е„линейно независимы. Д о к а за т е л ь с т в о. Применим индукцию. Так как е,— ненулевой вектор, то для одного вектора (р = 1) утверждение справедливо (один ненулевой вектор является линейно независимым). Пусть утверждение теоремы доказано для т векторов е,, е„..., е . Присоединим к этим векторам вектор е „и допустим, что имеет место равенство т+! Е а,еА=О.
(5.36) Тогда, используя свойства линейного оператора, получим ~ а,Ае„=О. А=! (5.37) Так как еь — собственные векторы, то Аеч = Льеч, и поэтому равенство (5.37) можно переписать следующим образом: т+ ! ~; а„Л,е,=О. А=! (5.38) А!+! Согласно (5.36) ~ Л „акеь = О. Вычитав зто равенство иэ А ! равенства (5.38), найдем ~ (˄— Л „) а,е, = О. А=! (5.39) По условию все Л„различны, т. е.
˄— Л „чь О. Поэтому нз (5.39) и предположения о линейной независимости векторов е„е„..., е следует, что а, = а, = ... = а„= О. Отсюда н из (5.36), а также из условия, что е „вЂ” собственный вектор (е „„-ь 0), вытекает, что а „= О. Таким образом, нз равенства (5.36) мы получаем, что а, = а, = ...
= а „= О. Это означает, что векторы е„е„..., е „линейно независимы. Индукция проведена, и доказательство теоремы завершено. Следствие. Если характеристический многочлен оператора А имеет и различных корней, то в некотором базисе матрица оператора А имеет диагональный вид. Действительно, в рассматриваемом случае, согласно только что доказанной теореме собственные векторы линейно независимы и поэтому могут быть выбраны в качествебазисных.
Но тогда яо теореме 5.9 в этом базисе матрица оператора А будет диагональной, ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУТОРАЛИНЕИНЫЕ ФОРМЫ $4. Линейные и полуторалинейные формы в евклндозом пространстве 1. Специальное представление линейной формы в евклидовом пространстве. Пусть т' — евклидово пространство, а С вЂ” комплексная плоскость (одномерное комплексное линейное пространство). В и.
1 р 1 этой главы мы ввели понятие л н н е й н о й фа р м ы — линейного оператора, действующего из У'в С. В этом пункте мы получим специальное представление произвольной линейной формы 1 из Е (У, С). Лемма. Пусть ~ — линейная форма из Е (11, С). Тоеда существует единственный элемент й из у' такой, что 1(х)=(х, й). (5.40) Д о к аз а тел ь с т в о. Для доказательства существования элемента Ь выберем в У' ортонормированный базис е„Е„..., е„. Рассмотрим элемент Ь, координаты !1» которого в выбранном базисе определяются соотношениями *) Ь» =1(е„).
(5.41) Таким образом„й = Е Ь»е». » 1 и Пусть х= ~ х'е„— произвольный элемент пространства У. Используя свойства линейной формы 1 и равенство (5.41), получим а а 1(х) = ~ х»1(е») = Я х»Б». » 1 »-1 (5.42) ') Черта над 1 (е») означает, что беретсн комплексно сонрнженное значение етого выражение. Так как в ортонормнрованном базисе (а»1 скалярное произвел а а дение (х, Ь) векторов х= ~~ ~х»е» и й = ~ Ь'Е» равно Д х»й», » 1 » 1 »=1 то из (5.42) получаем 1(х) = (», й). Существование вектора Ь доказано. Докажем единственность этого вектора. Пусть Ь1 и й, — два вектора таких, что с помощью этих векторов форма 1(х) может быть представлена в виде (5.40).
Очевидно, для любого х справа!~- лнво соотношение (х, й1) = (х, Ь,), из которого следует равенство линенныв опвэктоэы [гл. э 124 (х, й, — й,) = О. Полагая в этом равенстве х = й, — й, н используя определение нормы элемента в евклидовом пространстве, найдем ~й, — й,~( = О. Итак, й, = й,. Лемма доказана. 3 а м е ч а н и е, Очевидно, лемма справедлива н в случае, если У вЂ” вещественное евклидова пространство, а ( ~ 1. (У, гс), где Н вЂ” вещественная прямая. 2.
Полуторалинейные формы в евклидозом пространстве. Специальное представление таких форм. Введем понятие и о л у т ар а л и н е й н о й ф о р м ы в линейном пространстве Олределенпе. Числовая функция В (», у), аргументами которой являются всевозможные векторы х и у линейного пространства 1., называется полуторалинейной формой, если для любых векторов х, у и я из 1. и любого комплексного числа Л выполняются соотношения В(х+у, я) =В(х, л)+В(у, в), В(х, у+в)=В(х, у)+В(х, в), В(Л», у) ЛВ(х, у), В (х, Лу) = ЛВ (х, у).
(5.43) (5.44) В(х, у)=(х, Ау). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть у — любой фиксированный элемент пространства У. Тогда В (х, у) представляет собой линейную форму аргумента х. Поэтому по лемме предыдущего пункта можно указать такой однозначно определенный элемент й пространства 1', что (5.45) В(х, у)=(х, й). Иными словами, полуторалинейная форма В (х, у) представляет собой числовую функцию двух векторных аргументов х, у, апре.
деленную на всевозможных векторах х и у линейного пространства 1., линейную по первому аргументу х и антнлинейную по второму аргументу у 3 а м е ч а н и е Е Если линейное пространство Ь является вещественным, то полуторалинейные формы переходят в так называемые билинейные формы, т. е. формы, линейные по каждому из аргументов (четвертое нз соотношений (5.43) в силу вещественности Л будет характеризовать линейность и по второму аргументу). Билинейные формы изучаются в главе 7. Обратимся к полуторалинейной форме, заданной з евклндовом пространстве У, Справедлива следующая теорема о специальном представлении такой формы. Теорема Я.11.
Пусть В (х, у) — полуторалинейная форма в евклиоовом пространстве У. Тогда существует единственный линейный оператор А из 1. (У, У) такой, что линепныв и полэтовалннвиныа во»мы Итак, каждому у из У по правилу (5.45) ставится в соответствие единственный элемент й нз У.
Таким образом, определен оператор А такой, что Ь = Ау. Линейность этого оператора элементарно следует из свойств (5.43) полуторалинейной формы и из свойств скалярного произведения. Докажем единственность оператора А. Пусть А, и А, — два оператора таких, что с помощью этих операторов форма В (х,у) может быть представлена в виде (5.44). Очевидно, для любых х и у справедливо соотношение (х, А,у) = = (х, А,у), из которого следует равенство (х, А»у — А!у) = О, Полагая в этом равенстве х = А,у — А,у и используя определение нормы элемента, найдем 1А»у — А!у1= О.
Таким образом, для любого у нз У имеет место равенство А,у = А,у, т. е. А, = А,. Теорема доказана. Следствие. Пусть В (х, у) — пояуторалинейная форма в евклидовом пространстве У. Тогда существует единственный линейный оператор А из Ь (У, У) такой, что В(х, у) =(Ах, у). (5А6) Справедливость следствия вытекает из следующих рассуждений. Во-первых, форма В, (у, х) = В (х, у) является полутора- линейной (это следует из того, что В (х, у) — полуторалинейная форма и из определения такой формы).
Далее, по теореме 5.1! получаем для В, (у, х) представление в виде (5.47) В,(у, х) =(у, Ах). Так как сопряженное значение от В,(х, у) равно В, (х, у), то, беря сопряженное значение левой и правой частей (5.47) и учитывая равенство В, (у, х) = В (х, у), получим (5.48) В(х, у) =(у, Ах). Но (у, Ах) = (Ах, у) (см. гл. 4, $3, п, 1). Поэтому из (5.48) получаем равенство (5.40).
Следствие доказано. 3 а м е ч а н и е 2. Теорема 5.11 и следствие из этой теоремы справедливы и для случая вещественного евк. адова пространства, В этом случае в формулировке теоремы и следствия термин «полуторалинейная форма» надо заменить термином «бил.!нейная форма». См. также замечание 1. Введем понятие матрицы полуторалинейной формы в данном базисе 1е«) « « Пу„ь х, у принадлежат ! 1 «! жеиия х и у по базису (еь).
Из определения полуторалинейной линеинык опав»тоны [гл. а формы следуют соотношения л л л ь В(х, у) = В ~ ~, к!еь ~„у»е»~ = Е ~„лгу»В(ея е„). (5.49) »=! р=!»=! Полагая Ь!»=В(ел е„), (5.50) запишем выражение (5.49) для В (х, у) в следующей форме: ю В(х, у)= ~ Ь,»х!й». у,» ! Матрица В = (Ь!») называетсям а т р и ц е й п ол у т о р ал и н е й и о й ф о р м ы В (х, у) в базисе (е»'1. Справедливо следующее утверждение: Пусть полуторолинейная форма В (х, у) представлена в виде (5.46) В(х, у) =(Ах, у). (5.46) Пусть долее элементы матрицы А оператора А в данном ортонормированном базисе равны а!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
