Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Отсюда следует„что )Ах) прелстаалиег севов непрерывную функцию х, катерка на аамннутом множестве (х( 1 достигает конечного наибольшего аначенаа. 9 з) ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 131 (в этом тождестве символ йе (Ах, у) обозначает действительную часть комплексного числа (Ах, у); само тождество легко вытекает из свойств скалярного произведения, см. и. 1 $ 3 гл. 4). Беря левую и правую части этого тождества по модулю, используя свойство модуля суммы и неравенство (5.58), получим следукицие соотношения ').
4$йе(Ах, у)( ~ р!х+у!з+)А!х — у!з=2р(!х!з+!у!з). Отсюда при !х"! = '!у$ = ! получаем неравенство !Ве(Ах, у) ~ < р, Полагая в этом неравенстве у =Ах/!Ах~ (очевидно, !у~ = 1) и учитывая, что число (Ах, Ах) = !'Ах)з является вещественным (поэтому Ке (Ах, Ах) = (Ах, Ах)= /(Ах~), получим /)Ах~ ~ р, !х! = 1. Отсюда, согласно неравенству (5.53), найдем !А~ ~ р. Для завершения доказательства остается сравнить полученное неравенство с неравенством (5.57) и воспользоваться определением числа )з (см.
(5.56)). 4. Дальнейшие свойства самосопряженных операторов. В этом пункте мы докажем ряд важных свойств линейных операторов, связанных с понятием нормы. Сначала мы установим необходимое и достаточное условие самосопряженности оператора. Докажем следующую теорему. Теорема б..!В.
Для того чтобы линейный Оператор А был саносопряженным, необходимо и достаточно, чтобы 1ш (Ах, х) = О е*). До к а з а т ел ь с т в о. По теореме 5.13 произвольный линейный оператор А может быть представлен в виде А = Ал+ (АО где Ал и А, — самосопряженные операторы. Поэтому (Ах, х) =(Алх, х)+1(Агх, х), причем, согласно теореме 5.!5, для любого х числа (А„х, х) и (А,х,х) — вещественные. Следовательно, эти числа соответственно равны действительной и мнимой частям комплексного числа (Ах, х): зсе(Ах, х)=(Алх, х), 1ш(Ах, х)=(А,х, х).
Допустим, что А — самосопряженный оператор. ') Мы испольэовали прн этом определение нормы элемента в комплексном евклиловом пространстве. *') Символ 1щ (Ах, х) обозначает мнимую часп комплексного числа (Ах, х). Равенство 1гп (Ах, х) = О означает, что число (Ах, х) является вещественным. Ггл. ь линеЙные опеэатоэы По теореме 5.15 в этом случае (Ах, х) — вещественное число, н поэтому !т (Ах, х) = О. Необходимость условия теоремы доказана.
Докажем достаточность условия теоремы. Пусть 1ш (Ах, х) = (А,х, х) О, Отсюда следует, что 1А, ! = О, т. е. А, = О. Поэтому А = Ая, где Ая — самосопряженный оператор. Теорема доказана. В следующих утверждениях выясняются некоторые свойства собственных значений самосопряженных операторов. Лемма. Любое собственное значение Л произвольного линейного самосопряженного оператора А в евклидовом пространстве равно скалярному произведению (Ах, х), где х — некоторый вектор, удовлетворяющий условию 1х) = 1: (5.59) Л=(Ах, х), )х1=!.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как Л вЂ” собственное значение оператора А, то существует такой ненулевой вектор л, что Ав = Л,в. (5.60) Полагая х = в!1л) (очевидно, !х$ = !), перепишем (5.60) следующим образом: Ах= Лх, 1х) = 1. Отсюда получаем соотношения (Ах, х) = Л (х, х) = Л(х(ь = Л, т. е. (5.59) Имеет место. Лемма доказана. Следствие, Пусть А — самосопрлженный оператор и любое собственное значение етого оператора. Пусть далее (5.6!) и= 1п( (Ах, х), М зпр (Ах, х), мз-1 ' ' ~ьт=| Справедливы следующие неравенспюа; т «Лч;М. (5.62) 3 а м е ч а н и е 1.
Так как скалярное произведение (Ах,х) представляет собой непрерывную функцию от х, то на замкнутом множестве 1х1 = 1 эта функция ограничена н достигает своих точных граней гп и М. 3 а м е ч а н и е 2. Согласно теореме 5.16 собственные значення самосопряженного оператора вещественны. Поэтому неравенства (5.62) имеют смысл. Д о к а з а т е л ь с т в о с л е д с т в и я. Так как любое собственное аначение Л удовлетворяет соотношению (5.59), то, очевидно, каждое собственное значение заключено между точными гранями т и М скалярного пронзведення (Ах, х), Поэтому неравенства (5.62) справедливы. ф з) линеЙные сАмосопРяженные ОпеРАТОРы 1ЗЗ Мы докажем, что числа т и М, определенные соотношениями (5.61) являются соответственно н а и м е н ь ш н м н н а и- б о л ь ш и м собственными значениями самосопряженного опе- ратора А Предварительно убедимся в справедливости следующего утверждеияя.
Теорема Б.19. Пусть А — самосопрлженный оператор и, кро- ме того, (Ах, х) ~ О для любого х. Тогда ~ А )! равна наиболыиему собственному значению зтого оператора "), Д о к а з а т е л ь с т в о Мы уже отмечали (см. утверждение предыдущего пункта), что)А~ = зпр ) (Ах.х) ). Так как(Ах,х) ~ з ь=! гь О, то 1А)) = зпр (Ах, х).
Согласно замечанию 1 этого пункта мз=! для некоторого х„1'Щ= 1, (Ахо, х,) = ~! А 3 = Л. Обращаясь к определению нормы и используя только что написанные равенства, получим соотношения *') ~~(А — ЛТ)хД=(АхоР~ — 2Л(Ах,, хо)+Лз~хо))з= =1А)з — 2~А~ ))А$+)(А$'! =О. Таким образом, (А — Л() х, = О, или иначе Ах, = Лх„т. е. Л = 1А) — собственное значение оператора А. То, что Л— наибольшее собственное значение, вытекает из только что установленного следствия из леммы этого пункта.
Теорема доказана. Докажем теперь, что числа т и М (см, (5 61)) являются наименьшим и наибольшим собственными значениями самосопряженного оператора А. Теорема Б.20. Пусть А — самосопряженный оператор, а т и М вЂ” точные грани (Ах, х) на множестве ))х~ = 1. Эти числа представляют собой наименьшее и наибольшее собственные значения оператора А. Д о к а з а тел ь с т в о.
Очевидно, достаточно доказать, что числа т и М вЂ” собственные значения оператора А. Тогда из неравенств (5.62) сразу же следует, что т и М являются соответственно наименыпим н наибольшим собственными значениями. Докажем сначала, что М вЂ” собственное значение. Для этого рассмотрим самосопряженный оператор В = А — т1. Так как (Вх, х) =(Ах, х) — т(х, х) ~ О, то оператор В удовлетворяет условиям теоремы 5.19 и поэтому ') Тзк кзк собственных зизчеииа конечное число и оии веществеиим, то из иих можно указать наибольшее '*) Мы также восиользовзлись равенством 1Ахо)о = 1А 1о, которое следует из соотношеииа 1А1= (Ах„хо) <1Ахе1 в1А1** зоР 1Ах1.
озо ! линаиныв опвраторы 134 норма 1В~ этого оператора равна наибольшему собственному значению. С другой стороны ~ В ~ = зи р (Вх, х) = вор (Ах, х) — т = М вЂ” т. ье-1 $Ф-! Таким образом, (М вЂ” т) — наибольшее собственное значение оператора В. Следовательно, существует такой ненулевой вектор х„что Вх, = (М вЂ” т) хе. (6.63) Так как В = А — т1, то Вх, = Ах, — т1х, = Ах, — тх,. Подставляя это выражение Вх, в левую часть равенства (5.63), получим после несложных преобразований соотношение Ах, = = Мх,. Таким образом, М вЂ” собственное значение оператора А.
Убедимся теперь, что число т также является собственным значением оператора А. Рассмотрим самосопряженный оператор В = — А. Очевидно, — т = зор (Вх,х). Согласно только что проведенному дока- ) в )=! зательству число — т представляет собой собственное значение оператора В. Так как В = — А, то т будет являться собственным значением оператора А. Теорема доказана. В следующей теореме выясняется важное свойство собственных векторов самосопряженного оператора. Теорема д.21.
У каждого самосопряженного линейного оператора А, действующего в и-мерном евклидовом пространстве У существует и линейно независимых попарно ортогональных и единичных собственных векторов. Д о к а з а тел ь с т в о. Пусть Л, — максимальное собственное значение оператора А (Х, = анр (Ах, х)). Обозначим через в, ) к ~1 собственный вектор, отвечающий Х, и удовлетворяющий условию 1е,1= 1 (возможность его выбора следует нз доказательства леммы этого пункта).
Обозначим через У, (и — 1)-мерное подпространство пространства У, ортогональное к е,. Очевидно, У, — инвариантное подпространство оператора А (т. е. если х Е У„ то и Ах Е 1',). Действительно, пусть хЕ У, (т. е. (х, в,) = О). Тогда ') (Ах, е,)=(х, Ав,)=Х,(х, е,)=0. Следовательно, Ах — элемент У„н поэтому У, — инвариантное подпространство оператора А. Это дает нам право рассматривать оператор А в подпространстве У,. В этом подпространстве А будет представлять собой самосопряженный оператор. Следова- ') Мы яспояьеовелв свойство самссопряжеппоспе операторе (Я», ее) = = (», Ае,) я то обстоятельство, ето ве — совствеявмА вектор операторе: Ав1 Х,е,. 5 51 ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1ЗЬ тельно, имеется максимальное собственное значение Л, этого оператора, которое можно найти с помощью соотношенияь) Л,=шах(Ах, х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
