Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Иными словами, У, — совокупность всех х, удовлетворяющих условию (х, в,) =- О. Докажем, что если х принадлежит У„то Ах и А*х принадлежат У,. Действительно, если (х, е1) = О, то (Ах, в,)=(х, А од=(х, Л,е,)=Л,(х, е,)=О, т. е. Ах Е У,. Аналогично, если (х, в,) = О, то (А*х, е,) = (х, Ав,) = (х, Л,е1) = Л, (х, в,) = О, т.е, А»хб У,. Таким образом, У, — инвариантное подпространство операторов А н А*. Поэтому по только что доказанной лемме в подпространстве У, существует общий собственный элемент в, операторов А и А' такой, что 1в,1 = 1, Ае, = Л,е„А'е, = Л,е,. Далее мы обозначим через У, ортогональное дополнение элемента е, до У,.
Рассуждая так же, как и выше, мы докажем, что в У, есть общий собственный элемент е, операторов А и А* такой„что 1в,~ = 1. Продолжая аналогичные рассуждения, мы, очевидно, построим в пространстве У ортонормнрованный базис (еь), состоящий из собственных элементов операторов А и А*. Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть А — нормальный оператор Существует базис (еь), в котором А имеет диагональную матрицу. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1гл. в 146 Действительно, по только что доказанной теореме существует базис (е») нз собственных векторов оператора А. Согласно теореме 5 9 в этом базисе матрица оператора А диагональна, Следствие 2. Унитарный оператор имеет полную ортонормированную систему собственных векторов. Следующая теорема является обратной для теоремы 5.30. Теорема 5.31. Если у действуюи1его в и-мерном евклидовом пространстве У оператора А имеется п попарно ортогональных собственных элементов е,, е„..., е„, то оператор А нормальный. Д о к а э а т е л ь с т в О. Пусть (е») — попарно ортогональные собственные векторы оператора А.
Тогда Ае» = Х»е», н, согласно (569), имеет место следующее представленне оператора А"). Ах= ~ Л»(х, е,)е». »=! Докажем, что сопряженный оператор А* действует по правилу А'у = ~ 1!»(у, е,)е». (5.93) Достаточно доказать, что для операторов А н А*, определяемых соотношениями (5.69) н (5.93), справедливо равенство (х, А*у) =(Ах, у). (5 94) Подставляя в левую часть этого равенства выражение А*у по формуле (5.93), получим после несложных преобразований а и (х, А*у) = 2,.' (х, 1!» (у, е») е») = Е Х»(у, е»)(х, е») = = ~ Х»(х, е»)(е», у) =(Ах, у). Таким образом, равенство (5.94) доказано. н поэтому оператор А*, действующий по правилу (5.93), является сопряженным к оператору А. Чтобы завершить доказательство теоремы, нужно убедиться в справедливости равенства (5.92)! А'А = АА'. Имеем, согласно (5.93) «е), л АА*х= Е а,»(х, е,)Ае» вЂ”вЂ” »=! л л = ~ Х» Х» (х, е») е» вЂ” — ~ 1!»Х» (х, е») е» вЂ” — А'Ах.
»=! »=! ') Представление 16 69) справедливо для любого оператора, имеющего л попарно ортогоиальиык собствеииык векторов. ") Мы воспользовались так все соотношениями Ае» Х»е», 4 В1 КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 147 Итак, для операторов А и А* справедливо равенство (592), и, следовательно, оператор А является нормальным. Теорема доказана. $8. Канонический вид линейных операторов В этом параграфе рассматривается вопрос о выборе для заданного линейного оператора специального базиса, в котором матрица этого оператора имеет простейший вид, называемый скордановой формой матрицы.
Введем понятие присоединенного элемента оператора А. Определение. Элемент х называется и р и саед и и е ни ы м э л ем е н т ам оператора А, отвечающим собственному значению»,, если для некоторого целого т 1 выполняются соотношения (А — М) хчьО, (А — М) +'х= О. При этом число т называется порядком ар и саед иненного элемента х. Иными словами, если х — присоединенный элемент порядка т, то элемент (А — »л) х является собственным вектором оператора А.
В этом параграфе мы докажем следующую основную теорему. Теорема б.дл. Пусть А — линейный оператор, действующий в и-мерном евклидовом пространстве У. Существует базис (еД, й 1, 2, ..., 1; т= 1, 2, ..., и»,' п, + и, + ° + и, и, (5,95) образованный из собственных и присоединенных векторов оператора А, в котором действие оператора А описывается следующими соотношениями: Ае»=Х»е», я=1, 2, ..., 1; Ае» вЂ” — А»е»+е» ~, я=1.
2, ..., 1; т=2, 3, ..., пм (5.96) Прежде чем перейти к доказательству, сделаем ряд замечаний. Замечание 1. Очевидно, векторы е» (й 1,2, ..., ») базиса (5.95) являются собственными векторами оператора А, отвечающими собственным значениям А». Из определения присоединенных векторов и соотношений (5.96) следует, что векторы е» (й = 1, 2, ..., 1; т = 2, 3, ..., и») являются присоединенными векторами порядка т, отвечающими собственным значениям Ц соответственно.
линвяныв операторы ггл. э Э а меч а н и е 2. Обращаясь к формулам (5.13) н (5.12), мы видим, что соотношения (5.96) действительно определяют действие оператора А в пространстве»7 при заданном базисе»еэт». 3 а м е ч а н н е 3. Матрица А линейного оператора А в базисе»не» имеет следующий «клеточныйэ вид: Л1 О л, (5.97) о где клетка Ла представляет собой следующую матрицу: Ха 1 О ... О О Х, 1 ... О (5.98) Л„= о о о о о о ...
х, 3 а м е ч а н н е 4. Форма (5.97) матрицы А линейного оператора А называется ж о р д а н о в о й ф о р м о й м а тр н цы этого оператора. При этом клетка Ла обычно называется жордановой клеткой матрицы А. Отметим, что теорему 5.32 о приведении матрицы оператора к простейшему виду (5.97) называют теоремой о приведении матрицы оператора к жордановой форме. 3 а м е ч а н и е 5. Жорданова форма матрицы (5.97) определена с точностью до порядка расположения клеток Ла по диагонали матрицы. Этот порядок зависит от порядка нумерации собственных значений )а.
Мы дадим доказательство теоремы 5.32, предложенное А. Ф. Филипповым е). Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е и ы 5.32. Для доказательства теоремы применим метод индукции. Прн л = 1 утверждение теоремы очевидно. Пусть и > 1 н теорема верна для пространств размерности меньше л. Докажем, что при этом предложеннн она верна н для пространств размерности и. Этим н будет завершено доказательство теоремы. Пусть Х вЂ” собственное значение оператора А. Согласно теореме 5.8 это число является корнем характеристического уравнения де1(А — ХЕ) О. Следовательно, ранг г линейного оператора ее) (5.99) В =А — )Л меньше л, т.
е. г < л. е) А. Ф. Ф на н п нов. Кратное доказательство теоремы о прнведенин матрицы к жордановоа форме. — Вестник Московского уинверситета, 1Э71, № 2. ° е) Напомннм, «та ранг г линейного оператора В равен раамерностн 1тВ; согласно теореме 6.6 ранг г равен рангу матрицы этого оператора. В а1 КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОН 1»9 Линейный оператор В отображает пространство У на подпространство нп В. Поэтому оператор В отображает подпространство 1ю В размерности г (и в это же подпространство. По предположению индукции в пп В есть базис (Ь»! й=1 2, ..., р; т=1, 2, ..., г», г!+ге+ ° ° ° +г,=г, (5.
100) в котором действие оператора В из нп В в пп Вдается следующими соотношениями: Вй»=р»й», и=1, 2, ..., р, Вй» р»й» +й» й=1, 2... „р; т=2, 3,..., г»./ т-! (5.101) Таким образом, в этом базисе матрица В оператора В, действующего из нп В в нп В '), имеет следующий клеточный вид: М! Ма О 0 р»! О ... О О р» ! ... О где М„= ........... (5.102) О О О ... ! Мр о о о ...И» (5.103) '1 Символом В ыы будем абозначвть оператор В, действу»апай нз 1гп В в 1!нВ. ««1 Ранг матрицы В равен бип ии В.
Согласно теореме З.1 йа ии В + + йгпйегВ г. Следовательно, йп! 1сег В л!и Пусть лишь первые лт! (т! ~ 0) собственных значений оператора В равны нулю. Так как ранг каждой клетки М„ (см.(5.102)), для которой р» = О, равен 㻠— 1, а ранг клетки, для которой р» Ф О, равен г„, и то, согласно (5,100), ранг матрицы В равен Я г» вЂ” и!! = г — гл!. »! Поэтому размерность подпространства кег В равна л!! "') и 1сегВ представляет собой линейную оболочку векторов Ь~!, Вз, ... ..., й'',. Эти векторы в силу линейной независимости образуют базис в (сег В.
Очевидно, кег В с=. 'Кег В. Дополним базис й~!, Вз, ... ..., й', в (сег В до базиса в 1сег В векторами Аг», н = 1, 2, ..., т„ гие = и — г — т! (размерность нег В по теореме 5.1 равна и — !11п! Пп В, т. е. равна и — г). Так как В» ~ 'кегВ, то вй;-о. ЛИНЕЯНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1гл. 3 150 »» Обратимся теперь к векторам Ь»', й = 1, 2, ..., Пт!. Поскольку эти векторы принадлежат пп В, то существуют такие векторы .г» ~ )г, что В,Г» =7»»», й=1, 2...., п»!.
(5.104) Докажем теперь, что векторы Ь» (й=1, 2, ..., р; т=1, 2, ..., г»), В»(й ° 1, 2, ..., л»а), Л(й=1, 2, ..., е»2) (5.105) линейно независимы. Рассмотрим следующую равную нулю линейную комбинацию Г'этих векторов: Р '» У= Х Е с»»тй» + Е ))»д»+ ~~ 7»,Г»=0. (5.106) Рассмотрим действие оператора В иа этот элемент у. Получим согласно (5.101), (5.103) н (5.104), следующее выражение Р » Ъ ~» ~ В.у= ~ !(»»й» + 2, 2, . (р»й» + й.
') + 2' .7 й;" = о. »=! »=! !» 2 » ! (5.107) В=ЕЬ»а.= — Е Е й», » ! »-!»! (5.108) из которых следует, что вектор »т, представляющий собой линейную комбинацию векторов )у»), принадлежит кег В (напомним, что векторы (й») составляют часть базиса в кег В). С другой стороны, из (5.108) вытекает, что и представляет собой линейную комбинацию векторов й», т. е. принадлежит ппВ. Следовательно, д принадлежит кег 3 (напомним, что кегВ УИ ~ есть пересечение 1ш М и йег В), и поэтому В ° Е б»й»!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
