Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Очевидно, получим равенства (Ах, у)=а(х, у) — р(у, у), (х, Ау) = а(х, у) + р (х, х). (5.1 ! 8) Так как оператор А самосопряженный, то (Ах. у) = (х, Ау). Поэтому путем вычитания соотношений (5.118) получим равенство р((х, х)+(у, у)1=0. Но (х,х)+(у,у)~0 (еслн (х,х)+(у,у)=0, то хд — — О н уд —— О„й = 1, 2, ..., и; следовательно, решение $д — — ха+ !уд было бы нулевым, тогда как по построению это решение ненулевое).
Поэтому р = О, а так, как р — мнимая часть корня д, = = а + ф характеристического уравнения (5.115), то, очевидно, х — вещественное число. Теорема доказана. е) Наномннм, что не все ата чвсла равны нулю. где Х = а + 4. Так как определитель системы (5.116) равен де1 (А — Хг) (напомним, что определитель матрицы линейного преобразования не зависит от выбора базиса и, согласно (5.115), этот определитель равен нулю), то система (5.116) однородных линейных уравнений имеет ненулевое решение $д = ха + !уд, й = 1, 2, ..., п. Подставляя это решение в правую н левую части системы (5,116), учнтывая при этом, что Х = а + др и отделяя затем вещественную и мнимую части полученных соотношений, найдем, что наборы (х,, х„..., х„) и (у,, у„..., у„) вещественных чисел ') удовлетворяют следующей системе уравнений: 156 линкиных опкэлтовы Как и в комплексном случае, для самосопряженного оператора справедливо утверждение о существовании ортонормированного базиса, состоящего из собственных векторов этого оператора (аналог теоремы 5.21).
Докажем это утверждение. Теорема б.ЗБ. У каждого самосопряжгнного линейного оператора А, действующего в и-мерном вещественном евклидовом пространстве У, существует ортонормированный базис иэ собспмвннык векторов, До к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ц вЂ” вещественное собственное значение оператора А, а е, — единичный собственный вектор, отвечающий этому собственному значению Це,~ = 1). Обозначим через У, (и — 1)-мерное подпространство про. странства 1', ортогональное к е,. Очевидно, У, — инвариантное надпространство пространства У (т. е. если хЕ У,, то Ах ~ У,).
Действительно, пусть х~ У,; тогда (х, е,) = О. Поскольку оператор А самосопряженный и Մ— собственное значение А, получим (Ах, е,) = (х, Ае,) = Х, (х, е,) = О. Следовательно, Ах Е У„и поэтому У, — инвариантное подпространство оператора А. Поэтому, мы можем рассматривать оператор А в подпространстве У,.
Ясно, что в 1', оператор А будет самосопряженным По теореме 5.34 у оператора А, действующего в Ут, имеется вещественное собственное значение Х„которому отвечает собственный вектор е, Е У, оператора А, удовлетворяющий условию 1е,~ = 1. Обращаясь далее к (и — 2)-мерному подпространству У„ ортогональному векторам е, и е, и повторяя только что описанные рассуждения, мы построим собственный вектор е, оператора А, ортогональный векторам е, и е, и удовлетворяющий условию [е,)) = 1.
Рассуждая и дальше таким же образом, мы в результате найдем и взаимно ортогональных собственных векторов е„е„... ..., е„оператора А, удовлетворяющих условию )е„~ = 1, й = = 1, 2, ..., и. Очевидно, векторы (ев) образуют базис в У, Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Пусть е,, е„ ..., е„ вЂ” ортонормированный базис в и-мерном евклидовом пространстве У, состоящий нз собственных векторов самосопряжениого оператора А, т, е. Аев = Х„ед.
Тогда матрица оператора А в базисе (еь) является диагональной, причем диагональные элементы имеют вид аг = Ц. Отметим, что если (е~) — произвольный ортонормированный базис в вещественном евклидовом пространстве 1', то матрица самосопряженного оператора А будет симметричной, т. е. А' = = А. Верно и обратное утверждение„ т.
е. если в некотором ортонормированном базисе (е„) матрица оператора является симметричной, то оператор А -самосопряженный, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Этим вещественный случай отличается от комплексного, поскольку в комплексном случае оператор А является самосопряженным тогда н только тогда, когда матрица А этого оператора в ортонормированном базисе является эрмитовой, т. е. элементы матрицы А удовлетворяют условию аь = а", (черта означает комплексное сопряжение). Указанное утверждение непосредственно следует из того, что если (аь) — матрица оператора А, то матрица сопряженного оператора в вещественном случае равна (а",), а в комплексном случае — (а,), что легко проверяется прямым вычислением.
2. Ортогональиые операторы. В комплексном евклидовом пространстве важную роль играют унитарные операторы, введенные в 9 7. Аналогом унитарных операторов в вещественном евклндовом пространстве являются ортогональиые операторы. Определение 1. Линейный оператор Р, действующий в вещественном евклидовом пространстве г', называется о р т оганн а л ь н ым, если для любых х и у из г' выполняется равенство (5.119) (Рх, Ру)=(х, у). Таким образом, ортогональиый оператор сохраняет скалярное произведение. Отсюда непосредственно следует, что если в„е„..., е„— ортонормированный базис евклидова пространства 1~, то Рв„Рв„..., Ре„также является отроиормированным базисом.
В дальнейшем условие (5.119) будем называть условием ортогональности оператора Р. Справедливо следующее утверждение. Теорема 8.86. Для того чтобы линейный оператор Р был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы существовал оператор Р 1 и было выполнено равенство /,'м Р-1 (5.120) где Рь — оператор, сопряасенный к Р, а Р-1 — оператор, обратный к Р.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть Р— ортогоиальный оператор, т, е. выполняется условие (5.1!9). Применяя сопряжеииый оператор Р*, это условие можно записать в виде (Р'Рх, у) = (х, у). Таким образом, для любых х и у выполняется равенство ((Р*Р— 1) х, у) = О. Фиксируя в этом равенстве любой элемент х, считая у произвольным, получим, что линейный оператор Р*Р— ! действует по правилу (Р*Р— 1) х = О.
Следовательно, Р'Р = 1; совершенно аналогично можно убедиться, что РР* = 1. Таким образом, операторы Р' и Р взаимно обратны, т. е. условие (5.120) выполнено. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. ь 2) До с та т о ч но с т ь. Пусть выполнено условие (5.120). Тогда, очевидно, РР' = Р*Р =!. Обращаясь к определению сопряженного оператора и исполь- зуя только что написанные соотношения, получим для любых х и у равенства (Рх, Ру) = (х, Р* Ру) = (х, /у) = (х, у). Мы видим, что условие (5.119) выполнено, следовательно, оператор Р ортогональный. Теорема доказана. Введем теперь понятие ортогональной матрицы Р. Олределение 3. Матрица Р называется ортогональной, если Р'Р = РР' = /, (5.121) где Р' — транспонированная матрица, а / — единичная ма- трица.
Если е„е„..., е„— ортонормированный базис в евклидо- вом пространстве У, то оператор Р является ортогональным тогда н только тогда, когда его матрица в базисе (еь) ортогональна. Непосредственно из равенства (5.121) следует, что если мат- рица Р = (р~) является ортогональной, то 11 при й — 1, В комплексном евклидовом пространстве аналогом ортого- нальной матрицы является унитарная матрица. Именно, матри- ца (/ называется унилшрной, если выполняется соотношение (/ (/= (/и* =/, (5.122) в котором [/» — зрмитово сопряженная матрица, т. е.
(/» = (/', где штрих означает транспонирование, а черта — комплексное соп яжение. етрудно показать, что в ортонормированиом базисе матрица линейного оператора // является унитарной тогда н только тогда, когда оператор // является унитарным. В заключение рассмотрим для примера ортогональные преоб- разования в одномерном и двумерном пространствах. В одномерном случае каждый вектор х имеет вид х = ае, где и — вещественное число, и е — вектор, порождающий данное пространство. Тогда Ре = Хе, и так как (Ре, Ре) = У (е, е) = =(е,е), тоХ = ~1.
Таким образом, в одномерном случае существуют два орто- гональных преобразования: Р,х = х и Р х = — х. В двумерном случае каждое ортогональное преобразование определяется в произвольном ортонормированном базисе орто/в Ь1 гональной матрицей порядка 2, т. е. матрицей Р=( ~. Из ус=~с е/. ловия РР' = Р'Р=! следует а' + Ь' = 1, а' = [[», Ь' = с', ас + а'Ь = О, аЬ + са = О. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 109 5 $1 Полагая а = соз $р, Ь = — 51п Ч1, получаем, что каждая ортогональная матрица порядка 2 имеет вид Р ( сове — в1п р1 ~~510 ф ~ сов ~р / ' причем во второй строке в обоих случаях следует брать либо знак +, либо знак —.
Отметим, что пе1 Р.$ = ~1. Ортогональная матрица Р, называется собственной, а ортогональная матрица Р— несобственной. Оператор Р+ с матрицей Р+ в ортоиормироваииом базисе е„ е, осуществляет поворот в плоскости е„е, на угол ~р Для того чтобы выяснить, как действует оператор Р с мат- /! О'1 рицей Р, введем матрицу сс = ~о 1/, совпадающую с Р при ~р = О, н заметим, что Р = ЯР . Матрице Яотвечает отражение плоскости относительно оси е„следовательно, действие оператотора Р заключается в повороте нв угол е и последующем отражении, Заметим, что векторы Р+е„Р,е, образуют в силу ортогоиальности Р, ортонормированный базис и в этом базисе матрица оператора Р совпадает с Я, т. е. является диагональной.
В общем случае, когда ортогональиый оператор Р действует в а-мерном евклидовом пространстве, существует ортонормированный базис е„е„..., е„, в котором матрица оператора Р имеет вид 0 -1 сов р,— $1пев вш ~рв — сов ~рв Сов рв $10 0$ $1п ВА севов В этой матрице все элементы, кроме выписанных, равны нулю. Таким образом, в некотором ортонормироваином базисе действие ортогонального оператора сводится к последовательным поворотам и отражениям относительно координатных осей. ГЛАВА 6 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ И ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В настоящей главе изучаются различные методы решения системы линейных уравнений с вещественнымн коэффициентами относительно неизвестных, также принимающих вещественные значения. Все используемые на практике методы решения систем линейных уравнений можно разделить на две большие группы: точные методы н нтерацнонные методы, Под т о ч н ы м методом решения понимается метод, теоретически позволяющий получить точные значения неизвестных в результате проведения к о н е ч н о г о числа арифметических операций.
Примером точного метода может служить изложенный в главе 3 метод, основанный на применении формул Крамера '). И те р а ц н о н н ы е методы позволяют получить искомое решение лишь в виде предела последовательности векторов, построение которых производится с помощью единообразного процесса, называемого процессом итераций (последовательных приближений). Итерационные методы весьма удобны для нспользовання современной вычислительной техннкн. Изложению наиболее употребительных итерационных методов решения линейных систем посвящен 9 1 настоящей главы. Итерационные методы находят широкое применение н прн решении другой важной вычислительной задачи линейной алгебры — так называемой полной проблемы собс т в е н н ы х з н а ч е н н й (так называют проблему отыскания всех собственных значений н отвечающих нм собственных векторов заданной матрицы*')).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
