Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ш ! ««ч Кроме того, можно указать такой вектор ви е«) ео 1(в,1( = 1, что Ае, = Л,в,. Обращаясь далее к (л — 2)-мерному подпространству ортогональному векторам е, и е, и повторяя проведенные выше рассуждения, мы построим собственный вектор ез, 1(ез! = 1, ортогональный и, и и,. Рассуждая и далее таким же образом, мы последовательно найдем л взаимно ортогональных собственных векторов е„е„.... и„, удовлетворяющих условию ~~е,() = 1, 3 з м е ч а н н е !. Договоримся в дальнейшем нумеровать собственные значения самосопряжениого оператора в порядке убывания с учетом повторяющихся, т.
е. кратных собственных значений. При этом Л, ~ Л, ~ ... ~ Л„и отвечающие им собствен- ные векторы в„в„..., в„можно считать взаимно ортогональными и удовлетворяющими условию !в~~ = 1. Таким образом, 1! прн 5=1, ~ О прн 1~(('. 3 з м е ч а н и е 2. Из рассуждений в доказательстве теоремы 5.21 следует соотношение Л„„= гаах ' . Это соотно(Ах, х) (Х, Х) еь шение можно также записать в виде Л„+,— — шах (Ах, «) '"+ , (х, х) где й — линейная оболочка векторов и„ в„ ..., и .
Справедливость замечания вытекает из того, что (х, х) = ~',х(~, и поэтому Л„„ппп шах (Ах, х) 55(е «хе (5.64) «) Символ взхез обозначает ОРтогональность неиторои ез и ез. причем норма элемента х~(х!( равна 1. Пусть В' — множество всех т-мерных подпространств пространства ч'. Справедливо следующее важное м и и и м а к с и о е свойство собственных значении. Теорема 6.22, Пусть А — самосопрязкенный оператор и Лз, ..., ˄— его собственные значения, занумерованные в порядке, указанном е замечании 1. Тоада линвпныв опвэатоэы 1гл.
з Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Š— линейная оболочка собственных векторов с„е„..., е оператора А (см. замечание 1). В силу замечания 2 (Ах, х) шах — '= Л„„. (х, «) Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться в справедливости соотношения шах ' -= шах ' =Л+, (Ах, х) (Ах. х) х х),6в (х х) (5.65) для любого Е Е е> Перейдем к доказательству соотношения (5.65). Обозначим сямволом Е» ортогональное дополнение подпространства Е (см.
и. 3 $2 гл. 4). Из теоремы 2.10 следует, что размерность Е» равна и — т. Следовательно, Йтп Е» + б) ш Е„„= (и — т) + (т+ 1) = и + 1 ) и. >»+ ! »>+ ! Имеем далее Ах=А ~ с»с» ~ с»Ас». Поскольку с» — соб- »=! » ! ственные векторы оператора А, то из последних соотношений »>+! получаем Ах= ~ с»Л»в». Отсюда и из ортонормированности с» »-! следует справедливость соотношения >'»>+! »>+! !»>+! (Ах, х)= ~~ с»Л»е», ~ с,е,) = ~ ~)с»').Л». (5.67) » ! Мы занумеровали собственные значения в порядке убывания с учетом возможной их кратности, Поэтому Л„, в» Л», й = 1, 2> ..., т. Отсюда и из соотношений (5.67) и (5.66) получаем »>+ ! »>+! (Ак, х) = ~ (с»!>Л»„- Л, ~ (с»~! Л »=! »-! Это означает, в силу теоремы 2.9, что пересечение подпространств Е» и Е, содержит ненулевой элемент.
Итак, существует »+! элемент х такой, что х 1 Е, ~~х) = 1, х е Е „т. е. х= ~ с»е». » ! Так как 1х~ 1 и базис е„е>, ..., е „ортонормированный, то в силу теоремы Пифагора (см. п. 2 Э 1 гл. 4) »+! )х'1! ~ '1 с» '1! = 1. (5.66) »-! ф $] линвяныв слмосопияженные опеяхтоэы )Зт Замечая, что для любого х ~ 0 норма элемента х/1»1 равна 1 и Цх1 = 1, а также учитывая, что х .1 Е, получим шах ' =шах~А —, — )=-(Ах, х)~Л +,. (Ал х) г х х (л х) а~ ЦхЦ ' Цх)1 1 Итак, соотношения (5.65) установлены.
Теорема доказана. 5. Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теорема Гамильтона — Кали. Рассмотрим самосопряжениый оператор А и собственные значения Л, =» Л, ~ ... ~ Л„этого оператора. При этом еп а„..., е„— ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов, отвечающих (Л,). Пусть х Е У. Тогда х= ~ (х, е,)вь (5.68) 1=! (см. п. 3 ф 2 гл, 4), а так как Ая„= Л„е„, то с помощью (5.68) получаем Ах= ~ Ль(х, е„)е„. А=~ Оператор Рд, определяемый соотношением Р,х=(х, е,)е„, (5.69) (5.70) называется и р о е к т о р о м на одномерное надпространство, порожденное вектором гм Из свойств скалярного произведения сразу же следует, что Рд — самосопряженный линейный оператор.
Отметим следующие важные свойства проекторов: 1'. Р~ — — Рь (отсюда следует, что Р, = Р», где ж — натуральное). 2'. Р,Р, = О, где й Ф 1. Доказательство этих свойств следует из соотношений (Р,Р,) х = Р, (Р;х) = Р, (х, е,) е, = ((х, е„)е„при й=), (» ")(" '")" =~ о прн й чь). Заметим также, что непосредственно нз определения (5.70) следует, что Р„коммутирует с каждым оператором, который коммутирует с А. Из соотношений (5.68), (5.69) и (5.70) получаем следующие выражения для х и Ах: л «=~'„Р», (5.71) Ф 1 л Ах= ~ ЛьРьх. (5.72) а ! [гл. з ЛННЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1за Из равенства (5.7!) следует, что оператор Е Р„является А=! тождественным: л У=ЕР,. (5.73) л=! Из равенства (5.72) получаем так называемое с и е к т р а л ьное разложение самосопряженного оператора: л А = Я "кАР„.
(5,74) А=! Из свойств 1' и 2 проекторов и нз соотношения (5.74) вытекает следующее выраженне для А'. л А'= ~~ 'ААРЫ Очевидно, вообще для любого целого положительного з А'= Е ЛлРЫ (5.75) л=! Рассмотрим произвольный полипом р())= ~~ с,Ха. По опре- а ! делению считают р(А) = Е сАА'. Обращаясь к соотношению Ф.= ! (5.75), легко получить следующее выражение для р (А): р(А) = Е рР,)Р,. (5.76) Дслажем сгедующуо теорему, Те'рема 6.23 (теорема Гамильтона — Кали) Если А— самос, аряженный оператор и р (1) = ае! (А — АГ) — характера! .ическии многочлен етого оператора, то р (А) = О.
Д к а з а г е л ь с т в о. Действительно, если А — самосопряменный оператор и Х, — собственные значения этого опера. тора,; л, согласно теореме 5.8, Х, является корнем характернстическог уравнения, т. е р (Х,) = О. Отсюда н из соотношения (5.76) следует, что р (А) =- О. Теорема доказана, 6. Положнтельные операторы. Корня пг-й степенн нз оператора. Самосопряженный оператор А называется п о л о ж н т е л ьн ы м, если для любого х из )г справедливо соотношение (Ах, х)~О. (5.77) 6 6! линейные сАНОсОпРяженные ОпеРАТОРЫ 1З9 Если оператор А — положительный и из условия (Ах, х) = О следует, что х= О, то А называется положительно о п р е дел е н ны м о п е р а тор ам. Положительные и положительно определенные операторы соответственно обозначаются символами А» О и А > О.
Отметим следующее простое уи!верждение. Каждое собственное значение иоложшпельного (положительно определенного) оператора неотрицательно (положительно). Это утверждение следует из простых рассуждений. Пусть Л вЂ” собственное значение оператора А. Тогда, согласно лемме и. 4 этого параграфа, можно указать такой элемент х, »»х)» = 1, что Л (Ах. х). Отсюда и из соотношения (5.77) получаем, что Л»О для положительных операторов и Л > О для положительно определенных операторов, Утверждение доказано.
Введем понятие ко р н я т-й степ е н и (т — натуральное число) нз оператора. Определение. Корнем т-й стеиени из оператора А называется оиератор В такой, что В'" = А. Корень т-й степени из оператора А обозначается символом А!/т. Естественно выделить какой-либо класс операторов, для которых имела бы смысл операпия нахождения корня т-й степени. Определенный ответ на этот вопрос дается следующей теоремой. Теорема о.34. Пусть А — положительный самосопряженный оператор, А» О.
Тогда для любого натурального т существует иолозсительный самосопряженный оператор А !1"', А н"' » О. До к а з а тел ь ство. Обозначим через Ла — собственные значения оператора А, и пусть»е໠— ортонормированный базис из собственных векторов. Обозначим далее через Рд — проектор на одномерное подпространство, порожденное вектором в,. Согласно предыдущему пункту имеет место спектральное разложение (5.?4) самосопряженного оператора А: л А* Я ЛАРА. (5.74) а ! Так как Л, » О (см. только что доказанное утверждение), то можно ввести следующий самосопряженный оператор В: В = ~", ЛАА'-Ра.
(5.78) а-! Согласно (5.70) справедливо соотношение (Рах, х)»0, из которого следует положительность операторов Р„и положительность оператора В (см. (5.78)). игл. з линвяиыв опавлтоэы Из свойств 1' и 2' проекторов Р„ (см. п. 5 этого параграфа) л вытекает, что В"'= ~~~ )ьР». Сравнивая это выражение для В'" ь=! с выражением (5.74) для А, получим В~ = А. Выше была установлена положительность оператора В. Теорема доказана, 3 а м е ч а н и е 1. Отметим без доказательства, что существует единственный положительный оператор Ап"'.
3 а м е ч а н н е 2. В ортонормированном базисе «еь) собственных векторов оператора А матрица оператора Ап имеет следующий вид: х,'~ о ... о о хп'" ... о о о ... хп" й б. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов В этом параграфе мы изучим вопрос о выборе такого базиса, в котором квадратичная форма (ннвариантная квадратичная функция координат вектора; точно это понятие определяется ниже) имеет наиболее простой вид. Квадратичные формы подробно изучаются в главе 7.
Там будут, в частности, рассмотрены различные способы приведения таких форм к сумме квадратов. Введем понятие так называемых э р м н то вы х фо р м. Определение. Полуторалинейная форма В (х, у) называется э р м и т о в о й, если для любых х и у справедливо соотношение (5.79) В(,х, у) =В(х, у). Согласно следствию нз теоремы 5Л! любая полуторалинейная форма В (х, у) (в том числе и эрмитова) может быть единственным образом представлена в виде В(х, у)=(Ах, у), (5. 80) где А — линейный оператор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
