Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Тогда в этом базисе Ь,» = а». Для доказательства обратимся к выражению (5.50) для коэффй. циентов Ь,» полуторалинейной формы. Преобразуем правую часть (5.50) с помощью (5.46). Получим, согласно (5.13), 1 л и Ь„= В (е,„е») = (Ае„е») = ~ ~; а,'е,, е»~ = ~ а,'(е, е»). е=! д=! Так как базис (е») ортонормированный. то (е,, е») = О, если д Ф я н (еы е„) = 1. Поэтому из всех слагаемых последней суммы отличным от нуля будет лишь то, которое получается прн о = я. Таким образом, Ь,» = а». Утверждение доказано. Э а м е ч а н и е 3. Если полуторалинейная форма представлена в виде В (х, у) = (х, Ау) н элементы матрицы А оператора А в данном ортонормированном базисе равны а',, то в этом базисе Ь/» —— а!.
9 5. Линейные самосопряженные операторы в евклидовом пространстве !. Понятие сопряженного оператора. Мы будем рассматривать линейные операторы в конечномерном евклидовом пространстве У. Определение !. Оператор А» из Е (У, У) называется со и р я яс си и ы м к линейному оператору А, если для любых х и у из У выполняется соотношение (Ах, у)=(х, А'у). (5.5Ц ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ !27 Легко убедиться в том, что оператор А*, сопряженный к линейному оператору А, сам является линейным оператором.
Это вытекает из очевидного соотношения (Ах, иу,+~у,) а(Ах, у,)+й(Ах, у,)= =- а !х, А'у,) + й (х, А»3!,) = (х, А' (ссу, + ру,)), справедливого для любых элементовх, у„у, и любых комплексных чисел и и р. Докажем следующую теорему. Теорема б.И. Каждый линейный оператор А имеет единстеенный сопряженный. Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, скалярное произведение (Ах, у) представляет собой полуторалинейную форму (см. гл, 4, $ 3, п. 1 и определение полуторалинейной формы).
По теореме 5.11 существует единственный линейный оператор А» такой, что эта форма может быть представлена в виде (х, А»у). Таким образом, (Ах, у) = (х, А'у). Следовательно, оператор А' — сопряженный к оператору А. Единственность оператора А' следует из единственности представления полуторалинейного оператора в виде (5.44). Теорема доказана. В дальнейшем символ А' будет обозначать оператор, сопряженный оператору А.
Отметим следующие свойства сопряженных операторов: 1.!» =Т. 4'. (А»)» = А. 2'. (А + В)' = А' + В'. 5'. (АВ)' = В'А». 3', (ХА)» = ЛА». Доказательства свойств 1' — 4' элементарны, и мы предоставляем их читателю. Приведем доказательство свойства 5. Согласно определению произведения операторов справедливо соотношение (АВ) х = А (Вх). С помощью этого равенства и определения сопряженного оператора получаем следующую цепочку соотношений: ((А В) х, у) = (А (Вх), у) = (Вх, А»у) = (х, В»(А»у)) =(х, (В»А»)у).
Таким образом, ((АВ) х, у) = (х, (В'А') у). Иными словами, Оператор В*А' является сопряженным к оператору АВ. Справедливость свойства 5' установлена. 3 а м е ч а н и е. Понятие сопряженного оператора для вещественного пространства вводится совершенно аналогично. Выводы этого пункта и свойства сопряженных операторов справедливы и для этого случая (при этом свойство 3 формулируется так: (ХА)» = ХА»). [Гл. з ЛИНЕЙНЪ|Е ОПЕРАТОРЫ |28 2. Самосопряженные операторы. Основные свойства.
Определение 2. Линейный оператор А из 1. (У, У) называется с ам оса и р я ж е н н ы м, если справедливо равенство А'=А Самосопряженный оператор в вещественном пространстве определяется аналогично. Простейшим примером самосопряженного оператора является тождественный оператор 1(см. свойство 1' сопряженных операторов в предыдущем пункте). С помощью самосопряженных операторов можно получить специальное представление произвольных линейных операторов. Именно, справедливо следующее утверждение. Теорема 5.13. Пусть А — линейный оператор, действующий в комплексном евклидовом пространстве У.
Тогда справедливо представление А = Ая + |А„где Ая и А, — самосопряженные операторы, называемые соответственно действительной и мнимой частью оператора А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно свойствам 2, 3 и 4 сопряженных операторов (см. предыдущий пункт этого параграфа) операторы А„= (А + А')/2 и А, = (А — А')/2| самосопряженные. Очевидно, А = Ал + |А,. Теорема доказана.
В следующей теореме выясняются условия самосопряжениости произведения самосопряженных операторов. Мы будем говорить, что операторы А и В коммутируют, если АВ = ВА. Теорема 5.14. Для того чтобы произведение АВ самосопрязкенных операторов А и В было самосопрязкенным оператором, необходимо и достаточно, чтобы они коммутировали. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как А и  — самосопряженные операторы, то, согласно свойству 5 сопряженных операторов (см. и. 1 этого параграфа), справедливы соотношения (АВ|" —— ВЕА' = ВА (5.52) Следовательно, если АВ = ВА, то (АВ)' = АВ, т. е. оператор АВ самосопряженный. Если же А — самосопряженный оператор, то АВ = (АВ)*, и тогда на основании (5 52) АВ = = ВА. Теорема доказана.
В дальнейших теоремах устанавливается ряд важных свойств самосопряженных операторов. Теорема о.1о. Если оператор А самосопрязкенный, то для любого х Е У скалярное произведение (Ах, х) — вещественное число. Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость утверждения теоремы вытекает из следующего свойства скалярного произведения з зэ линвиныв самосопряжанныя опараторы 129 в комплексном евклидовом пространстве (Ах, х) = (х, Ах) и определения самосопряженного оператора (Ах, х) = (х, Ах) '). Теорема б.16.
Собственные значения самосапрязсенного оператора веи)ественны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Х вЂ” собственное значение са. мосопряженного оператора А. По определению собственного значения оператора А (см. определение 2 $ 3 этой главы) существует ненулевой вектор х такой, что Ах = Хх.
Из этого соотношения следует, что вещественное (в силу теоремы 5А5) скалярное про. изведение (Ах, х) может быть представлено в виде (Ах, х) = Х(х, х)= Х)х)'зз). Так как ) х) и (Ах, х) вещественны, то, очевидно, и з, — вещественное число, Теорема доказана. В следующей теореме выясняется свойство ортогональности собственных векторов самосопряженного оператора.
Теорема 5.17. Если А — самосопряженный оператор, та собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям етого оператора, ортогональны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Х, и Хз — различные собственные значения (Х, -и Хз) самосопряженного оператора А, а х, и х, — соответственно отвечающие им собственные векторы. Тогда имеют место соотношения Ах, = Х,х„Ахз = азха, Поэтому скалярные произведения (Ах„хз) и (х„Ах,) соответственно равны следующим выражениям (Ах„х,) =Х,(х„х,), (х„Ах,) =Ха(хы х,)ез'). Так как оператор А самосопряженный, то скалярные произведения (Ах„х,) и (х,, Ах,) равны, и поэтому из последних соотношений путем вычитания получаем равенство Р,— ),)(хы хз)=О. Поскольку Хз ~ Х„то из последнего равенства следует равенство нулю скалярного произведения (х„х,), т.
е. ортогональность собственных векторов х, н х,. Теорема доказана. 3, Норма линейного оператора. Пусть А — линейный оператор, отображающий евклидово пространство У в это же пространство. Введем понятие нормы оператора А. ') Напомним, чтоесли комплексное число равно своему сопряженному, то ато число — вещественное. е') Напомним, что символ ) х) обозначает норму злемеита х зеч) Так как собственные значения самосопряженното оператора веществекны, то (хз, Ахз) Зе (хз хз) = Хз (хь хз) 'зал 4>з ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (гл.
а Определение 3. гг' о р м о й !! А ~ линейного оператора А называется число, определяемое соотношением ") '(А(= зпр (Ах((. г х ~/=1 Из определения нормы линейного оператора вытекает следующее очевндное неравенство: (Ах) а(А()х) (5.54) (для доказательства достаточно воспользоваться соотношением Ах= (А х ) )х)). Из соотношения (5.54) следует, что если ~(х1! г ~А( = О, то оператор А является нулевым.
Норму самосопряженного оператора А можно определить н другим способом. Именно, справедливо утверждение: Если А — самосопряженный оператор, то введенная выше норма А ( оператора А равна зпр ( (Ах, х) ~: !!ха ! зпр )(Ах, х)1=)А((. (5.55) аха-1 Доказательство. Для любого х нз и' справедливо неравенство Коши — Буняковского (см. и. 2, $ 3, гл.
4) ((Ах, х) ( ~ 3 Ах) )(х(!. Из него н нз неравенства (5.54) получаем следующее неравенство: (Ах, х)) к: ~А()х)а. Поэтому чнсло р = зпр ~(Ах, х)) (5.56) ~~ха ! удовлетворяет соотношен ню (а < (А!. (5.57) Отметим, что нз равенства (Ая, а) =(А е, е '1) я (а, П~П' Пай/ я~О, н определения числа р (см. (5.56)) вытекает следующее неравенство: 3(А.,.!! ~йяГ. (5.58) Обратимся теперь к следующему очевидному тождеству: 4 гсе (Ах„у) = (А (х+ у), х+ у) — (А (х — у), х — у) ') Напомним, что ) Ахф = 'г'(Ах,лх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
