Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 32
Текст из файла (страница 32)
ь=! Соотношение (5.107) представляет собой равную нулю линейную комбинацию базисных векторов (7»» ); поэтому коэффициенты прн этих векторах в указанной линейной комбинации равны нулю. Поскольку р„= 0 при я ~ т„то из (5.107) следует, что '» коэффициенты при 7»»» в точности равны 7», и поэтому у» —— О. Отсюда и из соотношения (5.106) получаем равенства ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ф 91 Так как линейные оболочки наборов векторов (й' 1 и )л!) имеют общим лишь нулевой элемент (эти наборы вместе образуют базис в )»егВ) и, как мы установили, й принадлежит каждой из упомянутых линейных оболочек, то й' = О. Но тогда из (5.108) следует, что5»=0(1=1,2, ..., и») и а» =0(а=1,2, ... ...,р; т=1,2, ...,г). Итак, все коэффициенты в линейной комбинации (5.106) векторов (5.105) равны нулю, т.
е. векторы (5.105) линейно незавиСимы. Общее число векторов (5.105) равно г + п»» + т,. Так как гп, = и — г — п2, (это было установлено выше в доказательстве при введении векторов й»), то общее число векторов (5.!05) равно в и поэтому онн образуют базис в )г. Обозначим ~» й»» (5. 109) и запишем векторы этого базиса в следующей последовательности серий; (В1); (Д2); ...; (Я~,); !Ь»', „Ь»», Ь»" ~, й= 1, 2, ..., ши (й»', ..., й»»), Л=т2+1, ..., р. (5.110) Рассмотрим действие оператора В на векторы базиса (5.110) в пространстве )г.
Обращаясь к соотношениям (5.10!), (5.103), (5.104) и (5.109), убедимся, что действие В в базисе (5.110) дается соотношениями Вп'» — — О, й=1, 2, ..., глы ВЬ»" =Ь»», й=1, 2, ..., ж н соотношениями (5!О!). Итак, в базисе (5.110) оператор В = А — Ы действует > правилу (5.96), указанному в формулировке теоремы 5.
Но тогда в этом базисе и оператор А = В и Ы действует , о этому же правилу. Теорема доказана. й 9. Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве В этом параграфе . 2 покажем, каким образом определения и результаты предыд! чх парагра1ов пеоенгсятся на случай вещественных евклидо, пространств. 1. Общие замечания, Рассмотрим произвольное и-мерное вещественное евклидово пространство )г и оператор А, действующий из )г в 1'. Понятие линейного оператора для случая вещественного линейного пространства формулируется в полной аналогии с соответствующим понятием для комплексного пространства.
линвяныв опвиктоэы !Гл. з 152 В(х+ «, у) В(х, у)+ В(«, у), В (х, у+ «) = В (х, у) + В (х, «), врх, у)=В(х, йу)=йв(х, у). (5.112) Определение 1. Оператор А называется л и н е й и ы м, если для любых злемгнтов х ~ У и у Е У и любых вещественных чи- сел а и !) выполняется равенство А (ах+ ()у) = аАх+ рАу. (5.111) В полной аналогии с комплексным пространством вводится понятие собственного значения и собственного вектора оператора. Важно заметить, что собственные значения являются кор- нями характеристического уравнения оператора.
Обратное утверждение в вещественном случае верно лишь тогда, когда соответствующий корень характеристического урав- нения вещественный. Только в этом случае указанный корень бу- дет собственным значением рассматриваемого линейного оператора. В связи с этим естественно выделить какой-либо класс ли- нейных операторов в вещественном евклидовом пространстве, все корни характеристических уравнений которых вещественны. В доказанной выше теореме 5.16 было установлено, что все собственные значения самосопряженного оператора вещественны.
Кроме того, понятие самосопряженного оператора играло важ- ную роль в выводах 2 б настоящей главы о квадратичных фор- мах. Естественно поэтому перенести понятие самосопряженного оператора на случай вещественного пространства, Предварительно введем понятие оператора А', сопряженного к оператору А. Именно, оператор А' называется сопряженным к А, если для любых х и у из У выполняется равенство (Ах, у) = = (х, А'у).
Без затруднений на случай вещественного пространства пере- носится теорема 5,12 о существовании и единственности сопря- женного оператора. Напомним, что доказательство теоремы 5.!2 опирается на по- нятие полуторалинейной формы. В вещественном случае вместо полуторалинейной формы следует воспользоваться билинейной формой В (х, у). По этому поводу в п. 2 2 4 гл, 5 сделано соответствующее замечание. Напомним в связи с этим определение билинейной формы в любом вещественном не обязательно евклидовом линейном пространстве В. Пусть  — функция, сопоставляющая каждой упорядоченной паре (х,у) векторов х Е 1.
и у Е 1. вещественное число В (х,у), Определение2. Функция В (х, у) называется б и л и и е й- н о й ф о р м ой, заданной на 1., если для любых векторов х, у и «из Е и любого вещественного числа Л выполняются соотношения ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Важную роль в данном параграфе будет играть специальное представление билинейной формы В (х, у) в виде В(х, у)=(Ах, у), (5.113) где А — некоторый линейный оператор. Соответствующая теорема (теорема 5.1!) об аналогичном представлении полуторалинейной формы в комплексном пространстве опиралась на выводы леммы п.
1 $ 4 настоящей главы о специальном представлении линейной формы г' (х). В конце указанного пункта отмечалось, что эта лемма верна и в вещественном пространстве. Заметим только, что в доказательстве леммы выбор элементов й" нужно производить не по формуле (5.41), а с помощью формулы нл = Г'(еь), где )' (х) — данная линейная форма в вещественном пространстве. В Э 6 настоящей главы были введены зрмитовы формы. Эрмитова форма — это полуторалинейная форма В (х,у) в комплексном пространстве, характеризующаяся соотношением В (х, у) = = В (у,х) (черта над В означает, что берется комплексно сопряженное значение для В).
В случае вещественного пространства аналогом эрмитовых форм служат симметричные билинейные формы. Такая форма характеризуется соотношением В(х, у) = В (у, х). (5.114) Билинейная форма В (х, у), заданная на линейном пространстве Е, называется кососимметричной, если для любых векторов х и у из ~ выполняется соотношение В (х, у) = — В (у, х). Очевидно, что для каждой билинейной формы функции В, (х, у) — — (В (х, у) + В (у, х)), В,(х, у) — — (В(х, у) — В(у, х)1 являются соответственно симметричной и кососиммегричной билинейными формами.
Поскольку В (х, у) = В, (х, у) + В, (х, у), то мы получаем следующее утверждение: Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейной формы. Нетрудно видеть, что такое представление является единственным. Мы докажем следующую теорему о симметричных билинейных формах (эта теорема служит аналогом теоремы 5.25 об эрмитовых формах). Теорема Ю.ЗЗ. Для того ипобы билинейная форма В (х, у), заданная на всевозможных векторах х и у вещественного евклидова пространства К, была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы линейный оператор А, фигурирующий в представлении (5.113), бьи самосопряженным.
Ггл. 5 линвнныа опаэлтоэы До к аз а тельство. Если А — самосопряженыый оператор, то, используя свойства скалярного произведения, получим В(х, у) = (Ах, у) = (х, Ау) = (Ау, х) = В(у, х). Таким образом, выполняется соотношение (5.114), т. е. билинейная форма В (х, у) = (Ах, у) симметричная. Если же форма В (х, у) = (Ах, у) симметричная, то справедливы соотношения (Ах, у) = В (х, у) = В (у, х) = = (Ау, х). Следовательно, оператор А самосопряженный.
Теорема доказана. Введем понятие матрицы линейного оператора А, Пусть е„ е„ ..., е„ вЂ” какой-либо базис в л-мерном вещественном линейл ном пространстве 1.. Положим Аел= ~'„сале!. с ю=! Тогда, как и в комплексном случае, нетрудно показать, что Л если х= Я х"е„, то для компонент вектора у = Ах справедс=! л лино представление у'= Е алх~. ! ! Матрица А = (ал) называется матрицей линейного опера. тора А в базисе»еч». Аналогично тому, как это было сделано в $ 2 настоящей главы, можно доказать, что величина с»е1 А не зависит от выбора базиса и, тем самым, корректно вводится определитель бе1 А опе. ратора А.
Характеристическим уравнением, отвечающим оператору А, называется уравнение де1 (А — Ы) = О, а многочлен, стоящий в левой части этого уравнения„называется характерисспическим многочленом оператора А. Докажем теперь теорему о корнях характеристического много. члена самосопряженного оператора в вещественном евклидовом пространстве. Теорема 5.84. Все корни характеристического многочлена самосопрязсенного линейного оператора А в евклидовом пространстве веи(ественны. Доказательство. Пусть А=а+ сб — корень характеристического уравнения с»е1 (А — с!с ) = О (5.115) самосопряженного оператора А. Фиксируем в У какой-либо базис (ех» и обозначим через ам — элементы матрицы оператора А в этом базисе (отметим, что а,„— вещественные числа).
линвнныв опврлторы Будем искать ненулевое решение следующей системы линейных однородных уравнений относительно $д, $„..., $„: п ~ а,дЦ~ =Л$л 1=1, 2„..., и, (5.1! 6) д ! ~~ а!дхд = аху — руп д=! (5.117) ~ амуд — — ауу + ~хп 1 = 1, 2, ..., л, д=! Рассмотрим в данном базисе е„е„..., е„векторы х н у с координатами (х„х„..., х„) и (у„у„..., у„) соответственно. Тогда соотношения (5.117) можно переписать в виде Ах=ах — ру, Ау=ау+()х. Умножнм первое из полученных соотношений скалярно на у, а второе — на х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
