Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 36
Текст из файла (страница 36)
С помощью последнего равенства легко проверяется справедливость для введенного нами скалярного произведения четырех аксиом скалярного произведения (см. п. ! $ 1, гл. 4). Далее естественно ввести энергетическую норму вектора Х, положив ее равной р (Х, Х)а = у'(ВХ, Х). Эту энергетическую норму мы обозначим символом )Х)в. Две различные нормы одной и той же совокупности векторов 11 Х), и ) Х)„, называют э к в и в а л е н т н ы и и, если существуют такие положительные постоянные у, и у., что справедливы не- равенства у,)ХЬ <1Х1„< т,(Х~~,. — В<А< — В. 1 — р 1+о т (6.21) 3 а м е ч а н и е. А. А. Самарским доказано, что условие (6.21) не только достаточно, но и необходимо для справедливости неРавенства 1Еь (а .к Р' Щ(з, но мы на этом останавливатьси ие будем.
Доказательство т е о р е м ы 6,3. Для удобства разобьем доказательство на два шага. 1'. Сначала докажем, что если симметричные и положительно определенные матрицы А и В удовлетворяют условиям Самаро (6А4), (Вг„„, г„„) (Вг„, г„). Заметим, что энергетическая норма векглора Х и обычная его норма являются эквивалентными. В самом деле, справедливость неравенства т~)Х) < '1Х)в, т.
е. неравенства т~~ (Х, Х), < (ВХ, Х) вытекает из положительной определенности матрицы В, а справедливость неравенства 1Х(я < уь'1Х), т. е. неравенства (ВХ, Х) < у31Х(~ вытекает из неравенства Коши — Буняковского и оценки (6.7) (достаточно положить у,' =)В(). Установленная эквивалентность обычной и энергетической норм позволяет утверждать, что последовательность 1Хд(! сходится к нулю тогда и только тогда, когда сходится к нулю последовательность 1Хь 1з, Для дальнейших рассуждений энергетическая норма является более удобной, чем обычная норма. Докажем следующую фундаментальную теорему.
Теорема 6.3 (теорема А. А. Самарского). Пусть матрицы А и В симметричны и положительно определены, Я„обозначает погрешность общего неявного метода простои итерации. Тогда, для того чтобы при р < 1 было справедливо неравенство 12„~1я < р')2,1з, достаточно, чтобы было выполнено условие [ГЛ. 6 итег»ционнын методы по Умножая равенство (6.15) скалярно на 2тЕ»„= т (Е»+, + + Я») + т (Е»„— 2»), получим (В(2,„-2„), г„„+г,)+(В(г„,— г,), г„.,— г,)+ + (А2„„, г„„+г,)+т(Аг„, ㄄— г,)=О.
В последнем равенстве заменим АЛ» на разность 1 1 — А (2»»» + Е») — — А (Л»+» — Л»). Тогда, учитывая вытекающее из симметрии матрицы А равенство (А (Е»,» — 2»), 2»„+ Е») = (Е»ы — 2», А (2»»» + 2»)), мы получим тождество (В(㄄— 2,), г„,+г„)+ И — +А) (2„„— г,), 2„„+2,)+ + 2 (тА(2~~,+Я»), Е» ~+Я~) О. 1 Учитывая, что (в силу условий Самарского (6.14)) операторы т чА и  — А являются положительно определенными, мы 2 получим из последнего тождества следующее неравенство: (В(~»»»-2»), 2»»»+2») ~О. Это неравенство эквивалентно доказываемому неравенству (ВЕ„о 2»„) ~ (ВЛ», 2») (в силу вытекающего из симметрии оператора В тождества (ВХ»„, Л») = (Х»»и ВЛ»)). 2'.
Пусть теперь при р (! выполненй услпвия Самарского (6.21). Докажем справедливость неравенства 12»1а а р»12»1з. Положим 2» = р'У». Тогда, очевидно, 㻄— г» = р' 'У„„— р'У» = р" '(У»„— У») (1 — р),'У». Подставляя эти значения Л» и Е»+» — Л» в равенство (6.15) н производя сокращение на р', получим для величин У» следующее соотношение: (6.22) в котором В=рВ, А= А —:~В. В силу условий (6.21) операторы В и А удовлетворяют условиям тА > О, 2В >тА. Из этих условий и из того, что уравнение (6.22) для У» совершенно идентично уравнению (6.15) для Е», в силу первого шага для У» вытекает следующая оценка: Е 11 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЪ| РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 171 (ВУ»+ы У»+») ~ (ВУЫ У,).
Из втой оценки в свою очередь, учитывая, что В рВ, получим неравенство (ВУ„„, У,+,) ~ (ВУ„, У»). Последовательное применение указанного неравенства для номеров й = О, 1, ... приводит нас к соотношению (ВУ„, У») ~ ~ (ВУе, Уе), а умножение последнего соотношения на р»» приводит к окончательной оценке ") (ВЕ», а») ~ р" (В7„2»). Тем самым неравенство !~2»((а ~ р»12»((н доказано. Доказательство теоремы 6.3 завершено.
В заключение применим теорему Самарского 6.3 для выяснения вопроса о выборе такого значения параметра т, при котором скорость сходимости является максимальной. Из доказанной в теореме 6.3 оценки )!2»)в ~ р»~Е»()з вытекает, что эта задача сводится к нахождению такого значения т, при котором достигается минимальное значение функции р = р (т). Так как обе матрицы А и В симметричны и положительно определены, то существуют положительные постоянные у, и уя такие, что справедливы неравенства у,В ~ А ~ у,В. Будем считать, что постоянные у, н уе в этих неравенствах нам заданыл'). Сопоставляя только что написанные неравенства с условиями (6.2!), мы получим, что минимальное значение р достигается при условии (! — р)~т = уы () + р)/т = ум откуда получаем оптимальное значение ч = 2~(у, + у,) и минимальное значение р, равное (у, — у,)/(уя + у,).
Частным случаем проведенного нами рассмотрения является явный метод простой итерации, изученный в и. 1. Для этого метода справедливы все полученные нами результаты. В следующих трех пунктах с помощью общего неявного метода простой итерации и теоремы Самарского 6.2 мы рассмотрим несколько наиболее употребительных итерационных методов и установим условия их сходимостн. 3. Модифицированный метод простой итерации. Этот метод получается из общего неявного метода простой итерации в том частном случае, когда стационарный параметр т равен единице, в матрица В представляет собой диагональную матрицу с), состоящую из элементов матрицы А, лежащих на главной диагонали, т.
е. В = »1, где аы О ... О О а»е ° .. О О О .. ° алл (6.23) ') Мы учитываем, что 2» = р У», Ее Уо. "'!Постоянные т, н Те естественно назвать кон с та н та ми а к в н вал е н ты оста матриц А н В. Для коммутнрунацнх матрац А н В настоянные Т» н Т, соответственно равны нанменынему н нанболынему собственным экаченням задача АХ АВХ.
нтардционныя матоды ггл. е Прн этом, конечно, предполагается, что матрица А является симметричной н что все ее диагональные злементы и„, ааа, ..., анв являются положнтельнымн (последнее требование необходимо н достаточно для положительной определенности диагональной матрицы В =О). Из теоремы 6.2 сразу же вытекает, что для сходнмостн модифицированного метода простой итерации прн любом выборе нулевого приближения достаточно, чтобы были выполнены два условия 20 > А, А > О. Теорема 6.1 позволяет выразить достаточное условие сходи- мости модифицированного метода простой итерации н в другой форме: ЦŠ— Р-'А Ц ( 1а) (6.24) (под нормой матрицы, как н выше, понимается операторная норма).
Так как ЦŠ— О тАЦ = ЦО т (0 — А)Ц = ЦР т (А — 0)Ц, то достаточное условие сходнмостн (6.24) можно переписать в зквнвалентном виде Ц0 '(А — 0)Ц ( 1. (6.25) Неравенство (6.25) позволяет получить различные достаточные условия сходнмостн модифицированного метода простой итерации. Прежде всего заметим, что если наряду с операторной нормой матрицы (6.2) (которую мы, как н выше, будем обозначать символом ЦАЦ) ввести так называемую сферическую норму этой матрицы, обозначаемую символом ЦАЦ,е н определяемую равен««1пэ ством ЦАЦсо = ~ ~~ Е ац~, то, как доказано в з 4 гл. 4 (см. тья сьы формулу (4.26)), для любого вектора Х пространства Е" будет справедливо неравенство ") ЦАХЦ с ЦАЦсаЦХЦ.
(6.26) Из (6.26) н (6.5) сразу же вытекает, что операторная н сферическая нормы матрицы связаны соотношением ЦАЦ ~ ЦАЦ. Таким образом, в силу (6.25) достаточное условие сходнмостн модифицированного метода простой итерации выражается нера- «) Мы учитываем, что в рассматриваемом случае вместо матрипы А следует ваять метрику А, определяемую формулой А= В 'А н положить В = )), т = =! к| «) В этом неравенстве под нормой вектора Х ° ° * понимается так лв Г и 11/э называемая сферическая норма ЦХЦ ~ ~~ ~ад~ т а й>1 итвнационныв митоды нишвния линзпных систвм 1тз венством )Х) '(А — П)!сэ (1, которое в развернутой записи имеет вид ~) ) — ~ с.1. аЬ > 1!! !+1 Заметим далее, что при определении операторной нормы (6.5) матрицы А мы исходили из обычной (так называемой с ф е р и1х> ! Г л 1/т ч е с к о й) нормы вектора Х ~ ~, равной !Х1 = ~ ~ х,' > 1 Часто вводят еще две нормы вектора Х: так называемую к у- б и ч ее к у ю н о р му, определяемую равенством 1Х~ в = = шах (х, ), и так называемую о к т а э д р и ч е с к у ю н о р- >М>Кл л М у, ОПрЕдЕЛяЕМув раВЕНСтВОМ !Х1еи, = ~ 1Х>).
ЕСЛИ В ОПрЕдс> 1 ленин (6.5) операторной нормы матрицы А понимать под нормой вектора соответственно его кубическую нли октаэдрическую норму, то соотношение (6.5) приведет нас к определению соответственно кубической и октаэдрической операторных норм матрицы А. Можно доказать, что кубическая и октаэдрическая операторные нормы матрицы (6.2) следующим образом выражаются через элементы этой матрицы "): л л !А~ а=шах ~ )а>1~, !А~акт шах Е1а>1(. ЬС>~л > 1К1<л> 1 Дословное повторение проведенных выше рассуждений с заменой сферических норм соответственно кубическими и октаэдрическими приведет нас к достаточному условию сходимости модифицированного метода простой итерации, выраженному соотношением (6.25), в котором под нормой матрицы следует понимать соответственно ее кубическую или октаэдрическую операторные нормы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
