Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 39
Текст из файла (страница 39)
а итерационные методы я а) длЯ собственных значений оценкУ Л! = пн+ аР Р + О (ез) а!раре .?~ ем — „ р=! (нз указанной суммы исключаются значения р, принадлежащие множеству К! тех чисел ! = 1, 2, ..., л, для которых Лу = Л,); б) если Т вЂ” матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы А и Т Е+ Н, где Š— единичная матрица, то для элементов йн мзтрицы Н справедливы оценки О, если Л! = Лв +0(ез), если Л!+Лр пн ое! Если А — к о м и л е к с и а я э р м н т о а а матрица, то вместо матрицы (6.31) следует взять унитарную матрицу поз ф...
— зщ феей ! (!-я строка), Т!! (ф, ф) = (6. 42) ! з1пфе 'т... созф. ! Вня строка). О При атом вместо равенства (6.34) мы придем к равенству а « а а да! Е !аа!! Е Е )аа!! 2!а!!! + аФ! ар + 2! ан) )соз ф а~' — в1п ф е ' ~ ' + (ан — ан) сов <рз)п фе ~ ~', в котором через а обозначен аргумент комплексного числа а». новых хлеток н все ее внедиагональные элементы являются величинами порядка а н малы по сравнению с числом р = щ)п !Л; — Л!1, В. В.
Воеводин получал хгьх! следующие оценки: метод РРАшвний !И Для максимального уменьшения суммы квадратов модулей внедиагональных элементов следует у матрицы (6,42) выбрать такие номера ! н !, чтобы элемент а» был наибольшим по модулю внедиагональным элементом матрицы А, а выбор углов ф н ф подчинить условию !а„.)(соэ~ф еа — з!и ф е~нэ ~+(ам — а„)соеф з!пф.е~~) =О. Последнее условие приводит к соотношениям ф=агдаьь 4й2ф= ", !ф~ ~ — ". 2!ам! ам — аы 4 Докаэательство сходимости метода вращений проводится точно так же, как и для случая вещественной матрицы, ГЛАВА 7 БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ В этой главе нзучаются б и л н н е й н ы е ф о р м ы, определенные в вещественном линейном пространстве, т. е. чнсловые функции двух векторных аргументов, линейные по каждому нз этих аргументов, Подробно нсследуются так называемые к в а др а т и ч н ы е ф о р м ы, представляющие собой бнлннейные формы, определенные для совпадающих значений нх аргументов.
Рассматриваются также некоторые приложения теории бнлнней. ных и квадратичных форм. А(х+ е, у)=А(х, у)+ А(е, у), А(х, у+ я) =А(х, у)+ А(х, е), А(хх, у) = ХА(х, у), А(х, Ху) =ХА(х, у). (7,1) Инымн словами, билинейная форма представляет собой числовую функцию А (х, у) двух векторных аргументов х и у„определенную на всевозможных векторах х и у вещественного линей. ного пространства 1. и линейную ло каждому из етих аргументов "), Простейшим примером билинейной формы может служить произведение двух линейных форм ) (х) н д (у), определенных на векторах х и у линейного пространства 1., ') Пря ятом часто говорят, что бяляыеаяая форма А (х, у) задана на линейном ярсаяроксвме Ь.
В 1. Билинейные формы 1. Понятие бнлннейной формы, Понятие бнлннейной формы в произвольном линейном пространстве было введено нами ранее в главе 5. Однако для удобства нзложення в этом пункте мы напомним некоторые определения н простейшие утверждения. Определение 1. Числовая функция А (х, у), аргументами которой являются всевозможные векторых и у вещественного линейного пространства 1., называется б и л и и е й н о й фо рм о й, если для любых векторов х, у и е из 1. и любого вещественного числа Х выполняются соотношения вилинейные ФОРмы з |1 187 Определение 2. Билинейная форма А (х, у) называется с и мметричной (кососимметричной), если для любых векторы х и у линейного пространства 1.
выполняются соотношения А(х, у) =А(у, х) (А(х, у) = — А(у, х)). (7.2) ю В(х, у)= ~~ Ь>Д>т)>, >, >=! (7.3) еде Ь,>=В(е,, е,), (7.4) а $! и т1> — координаты в базисе е векторов х и у соответственно. л а Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х = ~ $>в! и у= ~ тав>— > ! >=! разложения векторов х и у по базису е.
Так как форма В (х, у) линейна по каждому из аргументов х н у (см. (7.1)), то п л и В(х, у)=В~~ 4|е>, Е т|>в>~= ~; В(е„е>)$>т1>. |=! > ! >, >=! Таким образом, для формы В (х, у) справедливо представление (7.3) с выражениями (7.4) для коэффициентов Ь,>. Чтобы доказать однозначность этого представления, предположим, что для В (х, у) справедливо представление (7.3) с н ек о т о р ы м и коэффициентами Ь,>.
Беря в (7.3) х = е>, у = в>, мы сразу же получим выражения (7.4) для коэффициентов Ь,>. Теорема доказана. Определение. Матрица ь ь ° .. ь В(е) = (Ь„) — ь ь ь*. ь!!! Ьлт °, . Ьль (7.5) Справедливо следующее утверждение: любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и косо- симметричной билинейных форм (см. и. 1 З 9 гл.'5). 2.
Представление билинейной формы в конечиомерном линейном пространстве. Пусть в и-мерном линейном пространстве 1. задана билинейная форма В (х, у). Выясним вопрос о представлении формы В (х, у) в случае, когда в 1, задан определенный базис е =(е„е„..., е ). Справедливо следующее утверждение.
Теорема 7.1. Билинейная форма В (х, у) при заданном в и-мерном линеином пространстве базисе е=(е„е,, ..., в„) может» бьипь однозначно представлена в следующем виде: 188 БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАтиЧНЫЕ ФОРМЫ 1гл. т элементы Ьи которой определены с помощью соотноисений (7.4), называется м а т р и ц е й б и л и и е йн о й фа р м ы В (х, у) в данном базисе е. 3 а м е ч а н и е 1. Обратимся к вопросу о построении всех билинейных форм в данном конечномерном вещественном прост- ранстве !.. Ответ на этот вопрос следующий: любая квадратная масприца (Ь;;) является в данном базисе е = (ес, е„..., е„) матри- цей некоторой билинейной формы.
Убедимся в справедливости этого утверждения. Определим в линейном пространстве 1. с данным базисом е = (е,, е„..., е„) с помощью матрицы (Ь;с) числовую функе цию В (х, у) двух векторных аргументов х= ~ $се! и у= ! л е = ~~,тиас вида В(х, у) = ~~ ЬсЯс!)р с=! с, с=! Легко видеть, что эта функция удовлетворяет всем условиям определения билинейной формы. Но тогда, согласно теореме 7.1, элементы Ьм заданной матрицы равны В (ес, ес), а написанная выше формула есть представление этой формы в виде (7.3).
Согласно сделанному замечанию естественно называть пред- ставление (7,3) билинейной формы В (х, у) о 5 щ и м в и дом билинейной формы в пмерном линейном пространстве, 3 а м е ч а н и е 2. Если В (х, у) — симметричная (кососим- метричная) билинейная форма, то матрица (7.5) этой формы в ба- зисе е является симметричной (кососимметричной). Справедливо и обратное — если матрица (7.5) билинейной формы В (х, у) симметрична (кососимметрична), то и билинейная форма является симметричной (кососимметричной). Убедимся в справедливости этого замечания.
Пусть В (х, у) — симметричная (кососимметричная) билиней- ная форма. Полагая в соотношениях (7.2) х = вс, у =ес, полу- чим, согласно (7.4), Ь,=ЬИ(Ь,= — Ь), (7.6) т. е. Матрица (7.5) является симметричной (кососимметричной). Пусть теперь матрица (7.5) билинейной формы В (х, у) сим- метрична (кососимметрична), т. е. ее элементы удовлетворяют соотношениям (7.6). Тогда из соотношения (7.3) и соотношения е В(у, х) = ~; ЬсДст)с следует, что В(х, у) = В(у, х), (В(х, у)= ос ! = — В(у, х)), т. е. форма В (х, у) является симметричной (ко- сосимметричной).
3. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы. Рассмотрим в линей- ном пространстве 7. два базиса е = (е,, е„..., в„) и БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ = (1„,7и„...,,уел). Пусть А (е) = (ам) и А (1) = (Ьц) — матрицы данной билинейной формы в указанных базисах. Выясним вопрос о связи этих матриц, т. е.
выясним вопрос о преобразовании матрицы а» билинейной формы при переходе от базиса е к новому базису 1. Справедливо следующее утверждение. Теорема 7.2. Матрицы А (е) и А (1) билинейной форма А (х, у) в базисах е = (е„е„..., е„) и 1 =(г!, Д„..., ~„) связаны соотношением А (~) = С'А (е) С, (7.7) и У,=Ее е,. р ! (7.8) Так как Ьсл = А (Я!, ~ь), то, согласно (7.8), получим / л л Ьм = А ( 1'!, ~к) = А ~ ~ с„е„Е с,„е! с=! у=! л л Е А (е!, е ) сисж — Е а!!сис!а. (7. 9) !,! 1, ! ! Напомним, что элементы си транспонированной матрицы С' связаны с элементами сн матрицы С соотношениями с!! = с!!. Подставляя эти соотношения в правую часть (7.9), получим для Ь!а следующее выражение; и п / и Ь|р ~ а! сигм = Е сн ~ Е ас!см !,! ! 1=! ! ! (7.10) л СУмма ~., а!!с~л (по ОпРеделени!о пРоизведениЯ матРиц) пРед! ставляет собой элемент матрицы А (е) С.
От юда следует, что выражение в правой части (7.10) является =. р*'ятом матрицы С' А (е) С. Ко в левой части (7.10) стоит элемент матриць! А (7). Поэтому А Ц) = С'А (е) С. Теорема доказана. Следствие. Ранг мшприцы А (1) ровен ранги матрицы А (е). Это сразу вытекает из соотношения (7.7), из того, что матрица С и, стало быть, матрица С' являются невырожденными, и из теоремы о том, что ранг матрицы не изменяется прн умножении ее на невырожденную матрицу. где С = (ср,) — матрица перехода от базиса е к базису 1, а С'— транспонйрованнол матрица С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
