Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Теорема е.4. Все свклидовы пространство одной и той же размерности и изоморфны между собой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что любое и-мерное евклидово пространство Е' изоморфио евклидову пространству Е" упорядоченных совокупностей и вещественных чисел со скалярным произведением (4.2), Согласно теореме 4.3 в евклидовом пространстве Е' существует ортонормированный базис е(, еэ, ..., е,'. Каждому элементу .х' = х~е(+ хне) + ". + х„е,' пространства Е' поставим в соответствие и вещественных чисел х„х„..„х„, т. е. вполне определенный элемент х = (х„ хэ " х„) пространства Е". Установленное соответствие будет взаимно однозначным.
Кроме того, из теоремы 2.4 вытекает, что если элементам х' = (х„ х„..., х„) и у' = (у„у„..., у„) пространства Е' "') отвечают соответственно элементы х = (х„х„..., х„) и у = (у„у„..., у,) пространства Е", то элементу х' + у' отвечает элемент х + у, а элементу Хх' отвечает элемент Хх. Остается доказать, что для соответствующих пар элементов х', у' и х, у сохраняется величина скалярного произведения. В силу ортонормированности базиса е~, еэ, ..., е„' и формулы (4.13) (х', у') = х,у, + х,у, + ...
+ х„у„. С другой стороны, в силу формулы (4.2), определяющей скалярное произведение в пространстве Е", (х, у) = х,у, + х,у, + ... + хну„. Теорема доказана. Доказанная теорема позволяет утверждать, что если в каком- нибудь конкретном и-мерном евклидовом пространстве Е' доказана теорема, сформулированная в терминах операций сложения, умножения иа числа н скалярного перемножения элементов, то эта теорема справедлива и в совершенно произвольном и-мерном евклидовом пространстве Е. й 3. Комплексное евклидова пространство 1. Определение комплексного евклидова пространства. В конце п.
1 2 1 гл. 2 мы уже указывалн, что если в определении линейного пространства числа Л, )ь, ... брать не из множества вецественных чисел, а из множества всех комплексных чисел, то «) См. в. 4 4 2 гл. 2. "')Координаты вгнд элементов бсрутсн относительно базнсэ е,', еэ, .„, е„', 1гл. з евклидовы просгрдиствь мы придем к понятию комплексиого линейного простраистаа. На базе комплексного линейного пространства строится комплексное еаклидоао пространство, играющее фундаментальную роль и теории иесамосопряжеииых линейных преобразований. Для введения комплексного евклидова пространства следует ввести и комплексном линейном пространстве понятие скаляриого произаедеиия двух его элементов, подчиненное соответствующим четырем аксиомам.
Определение. Комплексное линейное пространства )г называется ком плексным евклидовым пространс т в о м, если выполнены следующие два требования: 1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам Х и у итого пространства ставится в соответствие комплексное число, называемоескалярным произвед е н и ем этих элементов и обозначаемое символом (х, у).
11. Укаэанное правило подчинено следующим четырем аксиомам; 1'. (х, у) = (у, х) '). 2'. (х, + «„у) = (х„у) + (х,, у). 3'. (Лх, у) = Л (х, у). 4'. (х, х) представляет собой вещественное неотрицательное число, обращающееся в нуль лишь в случае, когда х — нулевой влемент ' ).
Логическими следствиями аксиом 1' — 3' являются следующие даа соотношения: (х, Лу)= Л(х, у), (х, у,+уз)=(х, у,)+(х, у). В самом деле, из аксиом 1' и 3' заключаем, что (х, Лу) (Лу, х)=Л(~,х)=Л(х, у), а из аксиом 1' и 2' получим, что (х„у, + уз) = (у, + у,, х) (у„х) + (у,. «) = (х, уд + (х, у,).
Приведем примеры конкретных комплексных еаклидовых пространств. ') Здесь и в дзльнчашеы символом а обозначается число, комплексно сопряженное с а. ") Аксиома 1' отличается от соотзьчствующеа зксиоыы 1' вещественного евклздозз срострззстзз. Легко убедиться з тоы, что при переходе к комплекс. иону пространству невозможно сохранить бзз нзмеяеяия зсе три аксиомы 1, 3' и 4' зещестзеиного скалярного прозззедеиия. В самом деле, зри наличии аксиом (х, у) (у, х) и (Лх, у) = Л (х, у), мы получили бы, что (х, Лу) (Лу, х) = Л (у, х) Л (х, у). Но тогда оказалось бы, что (Лх, Лх) = Лз (х, у), и, стало быть, прй Л 1 ыы получили бы, что (Гх, )х) = -(х, х), з зто иротизсрзчзло бы аксиоме 4' о иеотрицзтельиости (у, у) лля любого азеыеитз у.
1З1 КОМПЛЕКСНОЕ ЕВНЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 97 (х, у)=х,у, +х,у,+ ° +х„у„. (4.! 6) Справедливость для так определенного сналярного произведения аксиом 1' — Э' проверяется совершенно элементарно. Справедливость аксиомы 4' вытекает из соотношении (х, х) = х,х, + х,х, + ° ° ° + х„х„= ~ х, 1' + ~ х, ~' + ° " + ~ х„~е. Стало быть, пространство А". со скалярным произведением (4.16) является комплексным евклидовым пространством. П р и м е р 3. В том же самом номплексном линейном про. странстве А." можно ввести скалярное произведение не соотношением (4.16), а более общим соотношением «) (х, у) = ~ ~ амх,уя, >=1* 1 (4.17) в котоРом1а>я1 — пРоизвольнаЯ матРица, состоЯщаЯ из комплексных чисел аж, удовлетворяющих условию а1А — — авп такая, что л л квадратичная форма ~„~ агях1хе для всех комплексных х„ 1 Е=! х„..., х„принимает вещественные неотрицательные значения н «) (4,17) еереяодат в (4.16)> когда матраца 1а1А1 являегея единечеой.
4 Зал 459 П р и м е р 1, Рассмотрим совокупность С" [а, Ь) всех функций г = з (1), определенных для значений (из сегмента а ~ 1 ~ Ь и принимающих комплексные значения г (1) = х (1) + гу (1) тание, что вещественные функции х (1) н у (Г) являются непрерывными на этом сегменте. Операции сложения этих функций и умножения их на комплексные числа заимствуем из анализа. Скалярное произведение двух любых таких функций определим соотношеа нием (г1 (1), га (1)) = ~ гд (1) га (1) 4(Г.
л Нетрудно убедиться в справедливости для так определенного скалярного произведения всех аксиом 1 — 4', из чего следует, что рассматриваемая совокупность представляет собой комплексное евклидово пространство. П р и м е р 2, Рассмотрим комплексное линейное пространство А"., элементами которого служат упорядоченные совокупности и к о м и л е к с н ы х чисел, х,, х,, ..., х„с такими же определениями операций сложения элементов и умножения их на числа, нак и в случае вещественного линейного пространства А". Скалярное произведение двух любых элементов х = (х„ хе> " х,) и у = (у1, у„..., у„) определим соотношением авклидовы пространства 1гл.
« 1(х У)1 ~(* «)(у у). (4.18) Иа основании аксиомы 4' для любого комплексного числа Л справедливо неравенство (Лх — у, Лх-у)) О. (4.19) Так как в силу аксиом 1' — 3* и их логических следствий (Лх — у, Лх — у) =ЛЛ(х, х) — Л(х, у) — Л(у, х)+(у, у) = =1Л!*(х х) — Л(х У) Л(» У)+(У У) то неравенство (4.19) принимает вид )Л)'(х, х) — Л(х, у)-Л(х, у)+(у, у)~О. (4.20) Обозначим через ф а р г у м е нт комплексного числа (х, у) и представимзточисловтр и го намет р и ч ее к о йформе ") (х, у)=)(х, у)1(созф+1з(п р).
(4.21) Положим теперь комплексное число Л равным Л = 1(соз ф — )э(п «р), (4. 22) где с — произвольное вещественное число. Из соотношений (4.21) н (4.22) очевидно, что (Л ( = !1(, Л (х, у) = Л (», у) = 1) (х, у)(. Поэтому при выбранном нами Л неравенство (4.20) переходит в неравенство (е(х, х) — 21!(х, у)1+(у, у) ) О, (4.23) ) Поскольку (х, у) является, вообще говоря, комплексным числом, то нельзя записывать неравенство Коши — Буняковского в виде (4.6). ««) Понятия аргумента н тригонометрической формы комплексного числа разбираются, например, в 4 1 гл. 7 выпуска «Основы математического анализа«, часть 1. обращается в нуль лишь при условии (х,(э + (хт(«+ ...
+ + ) х„(а = О. Предоставляем читателю проверку того, что так определенное скалярное произведение удовлетворяет аксиомам !' — 4'. 2. Неравенство Коши — Буняковского. Понятие нормы. Докажем, что для любых двух злелтентов х и у произвольного комплексного евклидова пространства справедливо н е р а в е н с т в о К оп«и — Б у н як о вск о го ') Зз1 КОМПЛЕКСНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 99 1х11 = У'(х, х).
(4.24) В частности, во всяком комплексном евклидовом пространстве с нормой, определяемой соотношением (4.24), справедливо и е р а- в е н с т в о т р е у г о л ь и и к а )х + уф ~ 1х~ + /~у). 3 а м е ч а н и е. Подчеркнем, что введенное для в е щ ес т в е н и о г о евклидова пространства понятие угла ~Р между двумя произвольными элементами х и у теряет смысл для к о ми л е к с н о г о евклидова пространства (вследствие того, что скалярное произведение (х, у) является, вообще говоря, комплексным числом). 3. Ортонормироаанный базис и его свойства. Элементы х и у произвольного комплексного евклидова пространства будем называть о р т о г о н а л ь н ы м и, если скалярное произведение (х, у) этих элементов равно нулю.
Ортонормированным базисом и-мерного комплексного евклидова пространства назовем совокупность его элементов е„ е„..., е„, удовлетворяющих соотношениям ~ 1 при (=я, 10 при (~я (4.25) (т. е попарно ортогональных и имеющих нормы, равные единице). Как и в и. ! 3 2, доказывается, что зти элементы линейно независимы и потому образуют базис. В полной аналогии с доказательством теоремы 4.3 (т. е. с помощью процесса ортогонализации) устанавливается существование в произвольном и-мерном комплексном евклидовом пространстве ортонормированного базиса. Выразим скалярное произведение двух произвольных элементов х и у п-мерного комплексного евклидова пространства через их координаты (х„х„..., х„) и (у,, у„..., у„) относительно ортонормированного базиса е„е„..., е„.
Так как х=хе,+хе,+ "+х„е„, у=уе,+уе,+" ° +у„е„, справедливое при любом вещественном г. Необходимым и достаточным условием неотрицательности квадратного трехчлена, стоящего в левой части (4.23), является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство ~(х, у) 1' — (х, х) (у, у) с О, эквивалентное неравенству (4.18). С помощью неравенства Коши — Буняковского (4.18) и рассуждений, полностью аналогичных доказательству теоремы 4.2, устанавливается, что всякое комплексное евклидова пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента х определить соотношением ггл ° а ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА то в силу аксиом 1' — 4 и соотношений (4.25) получим ) л л л л (х, у) = ~ Я х,вь Я уаеа) = Я ~ х;у„(вп в„) = аья а = х,у, + х,у, + ° ° ° + х„у„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
