Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Таким образом, алгебраическое дополнение данного элемента может отличаться от минора этого элемента только знаком. !гл. 1 млтэицы и опэздалитали зо С помощью понятия алгебраического дополнения теоремы!.1 и 1.2 можно переформулировать так: сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения этой строки (этого столбца) равна этому определителю, Соответствующие формулы разложения определителя по (-й строке н по у-му столбцу можно переписать так: Л= ~~ ~ацАц (для любого 1=1, 2, ..., п), (1.13') ! ! л Л= ~~ ацАц (для любого 1= 1, 2, ..., и). (1.21') с з Теперь мы можем сформулировать последнее свойство определителя: 4'.
Свойство алгебраических дополнений соседних строк (или столбцов). Суммапроизведений влементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (любого другого столбца) равна нулю. Доказательство проведем для строк (для столбцов оно проводится аналогично). Записывая подробно формулу (1.13') ам ам ... аи ви вм ° ° ° вю = Аиа,д+ А„а„+... + А„,а;, (1.36) аж а„, „.
а заметим, что поскольку алгебраические дополнения Ап, А„, ... ..., Ат не зависят от злементов 1-й строки асо ам, ..., а„„то равенство(1.36) является тождеством относительно а„, а„, ..., а,„ и сохраняется при замене чисел ап, ам, ..., а,„любыми другими п числами, Заменив ап, аии ..., а~„соответствующими злементами любой (отличной от 1-й) й-й строки аяц аь„..., а,„, мы получим слева в (1.36) определитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю согласно следствию 1.
Таким образом, А„ам+ А,~от+... + А„,ац, О (для любых несовпадающнх ! и я). 5. Примеры вычисления определителей. При конкретном вычислении определителей широко используются формулы разложения по строке или столбцу и следствие 6, позволяющее, не изменяя величины определителя, прибавлять к любой его строке (илн столбцу) произвольную линейную комбинацию других его опявдалитали 3! 99 0 8 60 17 !б 43 83 ! 16 0 134 20 106 б Вычитая нз первого столбца утроенный последний столбец, будем иметь 1 99 0 8 0 17 0 43 83 1 16 0 134 20 106 б Далее естественно разложить определитель по первому столбцу. В результате получим В 16 0 Д= !.
17 134 20 43 106 б Теперь в определителе третьего порядка вычтем из второго столбца удвоенный первый столбец, При этом будем иметь 8 0 0 Д = 17 100 20 43 20 б Разлагая, наконец, последний определитель третьего порядка по первой строке, окончательно получим Д=8 ~ 20 бо ~=8(500 — 400)=800. строк (или столбцов). Особенно удобно использовать Формулу разложения по тем строкам (или столбцам), многие элементы которых равны нулю. В частности, если в данной строке отличен от нуля только один элемент, то разложение по этой строке содержит только одно слагаемое н сразу сводит вопрос о вычислении определителя порядка и к вопросу о вычислении определителя порядка (и — 1) (минора, стоящего в указанном слагаемом). Если в данной строке отличны от нуля несколько элементов, отвечающих пересечению этой строки с несколькими столбцами, то, применяя к указанным столбцам следствие 5, мы можем, не изменив определителя, обратить в нуль все элементы данной строки, за исключением одного.
Перейдем к конкретным примерам. П р и м е р 1. Пусть требуется вычислить следующий определитель четвертого порядка: млтгнцы и опэвдалители 1гл. ! зг Пример2. Вычислим так называемый треугольный о п р е дел и т ел ь, у которого все элементы, лежащие выше главной диагонали, равны нулю О ... О о а11 ... О о а„ аи а !л»1' [л»!л «б ...а авг.,ал !Л- Ч алв !л»! ав! Разлагая определитель Л„по последнему столбцу, мы получим, что он равен произведению элемента авв иа треугольный опреде- литель (л — 1)-го порядка Ь„„равный а!! О О а„а„... О а!л-» ! а! — «1"' а!л — «(л — « Последний определитель мы снова разложим по его последнему столбцу, в результате чего убедимся в том, что он равен произведению элемента а!л» !л» на треугольный определитель (и — 2)-го порядка Ьв,.
Продолжая аналогичные рассуждения, мы придем к следующему выражению для исходного определителя: !1в = имом " илв. Итак, треугольный определил!ель ровен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали. 3 а м е ч а н и е 1. Если у определителя Ь равны нулю все элементы, лежащие ниже главной диагонали, то этот определитель также равен произведению элементов, лежащих на его главной диагонали (убедиться в этом можно по схеме, изложенной выше ио примененной не к последним столбцам, а к последним строкам можно и просто произвести транспонирование Л и свести этот случай н рассмотренному выше). Аналогичным способом устанавливается, что определитель, у которого равны нулю все элементы, лежащие выше (или ниже) побочной диагонали, равен произведению числа ( — 1)" <л-'!м и всех элементов, лежащих на этов диагонали.
П р н м е р 3. Обобщением треугольного определителя вто рого порядка может служить определитель 2л-го порядка следую- 1А 01 щей блочной матрицы ~в ~, в которой А, В и С вЂ” произволь. ные квадратные матрицы л-го порядка, а Π— нулевая квадратная матрица л-го порядка. Убедимся в том, что для указанного зз а г) ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (1.37) 1 к к! 1 ... 1 4." л А(х„х„..., х„)= (1.39) л-1 л-1 .л 1 К1 «2,, кл Вычитая первый столбец из всех последующих, будем иметь о к (.к «!) х, («22 х,) (х„— х ) («2 — хт!) А(хм х„..., х„)= л — 1! а 1 .л — 1) к, [кх („л-1 „л-1) Далее естественно произвести разложение в результате чего мы получим А(х„х„..., х„)= по первои строке, (ха — к!) Я вЂ” х,) (ха — ка) (ха — "!) (кл — к!) (4-4) „- !) 1«л-1 „-!) (кл-! -1) ') Напомиим, что символами (А ], ) В), ! С1, ...
мы договорились обоаиачата определители матриц А, 1], С, ... соответственно. 2 так 452 определителя справедлива формула ~,"; ~=)л))с!"). Привлекая теорему Лапласа, разложим определитель, стоящий в левой части(1,37), ло первым и строкам. Так как определитель, у которого хотя бы один столбец состоит из нулей, равен нулю, то в формуле разложения (1.31) будет отлично от нуля только одно слагаемое, причем это слагаемое (в силу того, что ( — 1)!'+" +"1+!'+ +л]= 1) будЕт КаК раэ раВНО )А ! )С!.
3 а м е ч а н и е 2. Аналогичными рассуждениями легко убедиться в справедливости формулы ! АС О1=( — 1) )В))С! (1.38) (А, В, С и О имеют тот же смысл, что и выше). Для этого следует разложить определитель, стоящий в левой части (1.38), ло последним и строкам и учесть, что ( 1)[(л+!!+...+2л]+[1+...+л] ( 1)2л !2л+1Н2 ( 1)л П р и м е р 4. Вычислим теперь так называемый о п р е д елитель В андермонда (гл.
з млтоицы и опгадвлитали Вычитая теперь из каждой строки предыдущую строку, умно- женную на х„получим (к, — хд кз(кз — хз) (кз — х,) кз(хз — кд (к„— кз) хл(хь — хз) Л(хм хз,...,х„) = з ' (хз — х~) "з ' (кз х!) ... кь -' (х„ х,) Далее мы можем вынести за знак определителя общий множитель первого столбца, равный (х, — х,), общий множитель второго столбца, равный (х, — х,), ..., общий множитель (и — Ц-го столбца, равный (х„— х,). В результате получим Л (х,, х,, ..., х„) = (х, — хз) (х, — х,) ... (х„— хз) Л (х„х„..., х„). Со стоящим в правой части определителем Л (х„х„..., х„) поступим точно так же, как и с гз (х„х„..., х„). В результате получим, что й (х,, х,, ..., х„) - (х, — х,) ...
(х, — х,).й (х„..., х„). матрица: Продолжая аналогичные рассуждения далее, окончательно получим, что исходный определитель (1.39) равен Л (х,, х„..., х„) = = (хз — х,) (хз — хз) ... (х„ — х,) (хз — хз) ... (х„ — хз) ... ... (х„— х,,), 6. Определитель суммы н произведения матриц. Непосредственно из линейного свойства определителя вытекает, что определитель су.ямы двух квадратных.
матриц одного и того ясе порядка и А = $ ам ~ и В = 1' ЬОЦ равен сумме всех различных определителей порядка и, которые могут получиться, если часть строк (или столбцов) брагпь совпадающими с соответствующими строками (или столбцами) матрицы А, а остальную часть — совпадающими с соответствующими строками (или столбцами) В. Докажем теперь, что определитель матрицы С, равной произведению квадратной магприцы А на квадратную матрицу В, равен произведению определителей матриц А и В. Пусть порядок всех трех матриц А, В и С равен и, и'пусть Π— нулевая квадратная матрица порядка п, а ( — 1) Е следующая ОпРвдвлитвлн 1(- 1)Е В! !!(- 1)Е 01' В силу формул (1.37) и (1.Зо) нз предыдущего пункта определители этих матриц равны ! — 1 Е В! )А))В), ! — 1 Е О! ( )" 1( — 1)Е)(С(=(С(.
'Таким образом, достаточно доказать равенство определителей !( — 1)Е В! !( — 1)Е О! ° Подробнее этн два определителя можно записать так: ав„О 0 авл 0 0 ам авв авв ам алл О О . ° О О Ь Ь, ... Ь 0 Ьвв Ьвв ... Ьвл апв алв — 1 О О 0 0 ... — 1 Ьлв Ьлв - Ьлл (1.40) авв авв °, . авп еи свв - ° . свл авв авв ... авп егв евв ° ° свл алв алв ° ° алп спв слв . ° спп — 1 0 ... 0 0 0 ... 0 0 — 1 ... 0 0 0 ... 0 О О ... — 1 0 0 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
