Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 49
Текст из файла (страница 49)
тензоры ггл, в Пусть у = Ех — линейный оператор, заданный в Е" и е„ ез, ..., е„— базис в Е". Так как х = х'е„а у = у|е| и линейный оператор, то у|ет = х'7. (е,). (8.26) Разложим вектор Е (е,-) по базису е,, е„..., е„: Е(е,) = а,'е|. Подставляя полученное выражение для Е (е;) в (8.26) и используя единственность разложения по базису, получим у' = а,'.х', ! = 1, 2, ..., п. (8.27) Напомним, что соотношения (8.27) можно рассматривать как координатный способ задания линейного оператора. При этом матрицу (а|) коэффициентов а| называют матрнцей линейного оператора. Убедимся, что коэффициенты этой матрицы при переходе к новому базису преобразуются по закону (8.!9) преобразования координат тензора типа (1, 1) и поэтому представляют собой тензор типа.(1, !).
Рассмотрим произвольный базис е|, ез,, „, е, . Запишем в этом базисе линейный оператор Е в виде (8.27) у' =а,.',х', 7'=1', 2', ..., л'. (8.28) Перейдем теперь от базиса е|, ез, ..., е„к базису е|, ез, ., е„. Обозначая матрицу перехода (Ь| ~) (или, что то же самое, (Ь~| )), получим *) (см. п. 3 $ ! этой главы) х' = Ьпх', у' = Ь„',у' . Подставим эти выражения для х' и у| в (8.27). Получим следующие соотношения: у»Ь»|, =а',Ь,',х', 1=1, 2,..., и. (8.29) ') В формуле дла у| индекс суммкроваама мы ооозкачкм через л'. Нам нужно получить из (8.29) выражение для у~. Для этой цели умножим обе части (8.29) на Ь,' и просуммируем по 7' от 1 до и. Учитывая, что Ь1 Ь'; = 6», получим у' 6»~, = Я.Ь' а()х'.
Заметим, что у" 6»~ = у| . Поэтому у~ = (Ь', Ь',- а',) х' Сравнивая это выражение для у' с выражением для у~ по формуле (8.28), получим следующее тождество, справедливое для любых векторов х (для любых координат х'): а,',х' = (Ь,' Ь~ ~а!) х'. з г! понятия тзнзоэл основные опвялции нлд тензоялмн ЗЗЗ Отсюда и из произвольности х' следует, что коэффициенты а// матрицы линейного оператора преобразуются по закону а,', = = Ь';,Ь// а',. Итак, коэффициенты а', преобразуются по закону (8.19) пре- образования координат тензора типа (1.1) и поэтому представляют такой теизор. 3. Основные операции над тензорами.
Основнымя операциями над тензорами называются операции сложения и вычитания тензо. ров, операция умножения тензора на число, операция умножения тензоров, операция свертывания тензоров, операция перестановки индексов, операции симметрирования и альтернирсвания тензоров. Перейдем к определению этих операций. !'.Сложение и вычитание тензоров. Опера- ции сложения и вычитания определяются для тензоров одинакового типа.
л, Ф Ф, з Пусть А и  — два тензора типа (р, д), А,1,~ч и В,' одноименные координаты этих тензоров в базисе в,. Суммой А+В (разностью А — В) этих тензоров называется тензор, имеющий в базисе е, координаты А'.. в+В', л (А'.. ч — В'..ч). /и яр чг /р ~ /1 /л ги ир/ Чтобы данное определение операций сложения и вычитания тензоров было корректным, необходимо проверить, преобразуются ли координаты суммы (разности) тензоров по закону (8!9) пре- образования координат тензора.
Для этого представим себе, что наряду с формулами (8.19) преобразования координат тензора А записаны аналогичные формулы преобразования координат тен- зора В. Тогда путем сложения (вычитания) таких двух формул преобразования координат тензоров А и В мы убедимся, что координаты суммы (разностн) преобразуются по закону пре- образования координат тензора. 2'.
Умножение тензора на число, Пусть А— яе л тензор типа (р, д), имеющий в базисе е, координаты А/,„, х" е' и а — произвольное вещее~венное число, Произведением ссЛ теизора А иа число а называли л ется тензор, имеющий а базисе в, коордииь - ссА/г,л. Фи .лл 1 'Р' То, что координаты аА,,',л преобразую/ся по тензорному закону, непосредственно усматривается из формул (8.!9), 3'. У м н о ж е н и е т е и з о р о в. Операция умножения тен- зоров определяется для тензоров произвольного типа. Пусть А — тензор типа (р, ц), имеющий в данном базисе е л, л координаты А/,', ч, а  — тензор типа (г, в), имеющий в этом же О3~ .
Р$ базисе координаты В ~, 9 . тензоРы !гл. а 240 Для определения п р о и э в е д е н и я 0 = АВ т е н з о р о в А и В составляются всевозможные произведения координат тензора А на координаты тензора В. В каждом таком произведении индексы 1„, 1, и т„, т, у координат тензора В заменяются новыми индексами. Именно, полагают 1! = ! „,, 1, и т, =яр,«,,т, =Йр„.
Произведением 0 = АВ теизоров А и В называется теизор типа (р+ г, !) + »), имеющий а базисе г! координаты й '. Р "'. "'= А'. 'В Р". !1. !Р!Р,! !Р „ = !1 рр !Р,! !Р . (8.30) А' В "..." и В !1 !Р !Р,1" !Р„" !Р+1 .Р"А '.. Р !ЫР'1 'рр одинаково, порядок следования индексов у этих выражений различен, и поэтому они отвечают координатам с различными «иомерами». Это и означает, что АВ ~ ВА. 4'.
Свертывание тензора. Операция сверты. в а н н я применяется к тензору типа (р, д), у которого р Ф 0 и !1 ~ 0 (т. е к тензору, у которого имеется по крайней мере один верхний и один нижний индекс). Пусть А — тензор указанного выше типа. Перейдем к описанию операции свертывания. Свертывание тензора А производится по каким-либо отмеченным верхнему и нижнему индексам.
При этом в результате свертывания получается тензор типа (р — 1, д — 1). Пусть, например, у каждой координаты тензора А отмечен верхний индекс с номером т и нижний индекс с номером гн А»1 1»1' 'р"'рр' Чтобы убедиться, что координаты Ор« !Р~Р, Р„'*,, определенные соотношением (8.30), преобразуются при переходе к другому базису по закону преобразования координат тензора, т. е. действительно представляют собой координаты тензора, достаточно записать формулы преобразования (8.!9) для координат А ' р« и В;Р", ;Р", тензоров А и В и перемножить правые и левые части этих формул. В результате, обращаясь к соотношению (8,30), легко получаются нужные формулы преобразования 3 а м е ч а и и е Ойерацйя умножения тензоров не обладает свойством перестановочности: вообще говоря, АВ чь ВА Это объясняется тем, что порядок следования индексов у координат тензора определяет «иомер» этой координаты Таким образом, хотя численное значение выражений 4») ПОНЯТИЕ ТЕНЗОРА ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ 241 Произведем суммирование (свертывание) координат тензора с одинаковыми выделенными индексами .
Эта операция и дает следующие координаты тензора, полученного свертыванием по верхнему и нижнему индексам с номерами т и и: (8.3Н (в выражении (8.31) мы использовали соглашение о суммировании). Проверим, что величины (8.3!) действительно образуют координаты тензора типа (р — 1, д — 1). Для этого обратимся к формулам (8.19). Перепишем эти формулы в следующем виде, выделив интересующие нас индексы (эти индексы мы подчеркнем квадратными скобками); », »» 1 . 1' 1' 1 а р Ь», Ь Ь»461 Ь1„61»А»1» "»4 1 "»1 р 1 1 1 Р а 'Р и р (8. 32) Произведем теперь суммирование в правой и левой частях (8.32) по выделенным индексам 1»' и 1„'. Для этого достаточно положить эти индексы равными сх' и воспользоваться соглашением о суммировании.
В результате мы получим некоторое равенство. Найдем выражения в левой и правой частях этого равенства В левой части мы получим, очевидно, выражение Ь '...Ь 'Ь '...Ь 'А ' »» 1 С »''' » С"'' 1' 1! а" гр 1 р 1 р Сравнив выражения (8.33) и (8.34), мы убедимся, что величины » а» А,, „;4 преобразуются при переходе к новому базису по закону преобразования координат тензора. Очевидно, этот тензор будет типа (р — 1, о — 1), 3 а м е ч а н и е Термин «свертывание тензоров» употребляется еще и в следующем смысле. Рассмотрим два тензора А и В, у координат первого из которых имеется по крайней мере один верхний индекс й, а у координат второго — по крайней мере один нижний индекс 1. »',...а ...»' А, 1'" ''' р В правой же части произведение Ь» на Ь„" равно 6,", т.
е. равно единице при Ь„=1„= а и равно нулю при Ь ~ 1„, Таким образом, в правой части мы получим следующее выражение: твнзоры англ. а Составим произведение АВ этих тензоров и затем проведем операцию свертывания тензора АВ по верхнему индексу й и нижнему индексу ~'.
Для этой операции обычно употребляется терминология: «свертывание твкзвров А и В по индексам й и»». 5'. П е р е с т а н о в к а и н д е к с о в Эта операция заключается в том, что в любом базисе индексы у каждой координаты тензора подвергаются одной и той же перестановке. Это означает, что мы иным образом «нумеруем» координаты данного тензора. Читателю предлагается проверить, что в результате получается тензор (отличный, вообще говоря, от данного). 6'. Симметрированне и альтернирование.
Предварительно введем понятия с и м м е т р и ч н о г о и к о с о с и м м е т р и ч н о г о тензоров. Тензор А с координатами (8.35) называется с и м м е т р и ч н ы м по нижним индексам у и ~„, если при перестановке этих индексов ") координаты тензора А не меняют своего значения, т. е. я, я ег ..д А,,','.„,„„., = А»,',..»'„,.л, „» .
(8.35) Соотношение (8.38) называется у с л о в и е м с и м м е т р и и тензора А по нижним индексам с номерами гл и ё. Тензор А называется к о с о с и м м е т р и ч н ы м по нижним индексам» и ~'„, если при перестановке этих индексов справедливо соотношение » ..м »,...е (8.37) Соотношение (8.37) называется условием кососимметрии тензора А по нижним индексам с номерами а» и и. Аналогично вводится понятие симметрии и кососимметрии тензора по двум верхним индексам. 3 а м е ч а н и е. Если условие симметрии (кососимметрии) по нижним индексам („и»„выполняется для тензора А в данной системе координат, то оно выполняется и в любой другой системе координат. Перейдем теперь к описанию о и е р а ц и и с и м м е т р ирования. Пусть А — тензор типа (р, ф с координатами (8.35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
