Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Тогда, согласно (8.63), а' = ~сцс'„а'Ь г(". Отсюда н из (8.65) получаем следующее выражение для координат г' двойного векторного произведения (а (Ьс1)): г' =(Ра„б' — йа б„') аеЬг(". (8.66) Формула (8.66) удобна для различных приложений. $4. Метрический тензор псевдоевклидова пространства !. !)онятие псевдоевклидоаа пространства и метрического тензора псеадоевклидова пространства. Рассмотрим и-мерное линейное пространство (., в котором задана невырожденная, симметричная билинейная форма А (х, у), полярная знакопеременной квадратичной форме. Будем называть с к а л я р н ы м п р о и э в еде н и е м (х, у) векторов х и у значение А (х, у) билинейной формы.
Наименование ') Соотношение Ь' =Ьшат следует на свойств снмнола Кронекера. З»] МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕИЗОР ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Звз «скалярное произведение» условно, поскольку в рассматриваемом случае не выполняется четвертая аксиома скалярного произведения. Именно, в случае, когда билинейная форма А (х, у) полярна знакопеременной квадратичной форме, выражение А (х, х) в зависимости от выборах может иметь как положительное, так и отрицательное значение и обращаться в нуль для ненулевых векторов х. Все же мы будем пользоваться термином «скалярное произведение», так как это общепринято. Сформулируем определение псевдоевклидова пространства. Определение. П с в в д о е в к л и д о в ы м и р о с т р а ис т в о л» называе»пся и-мерное линейное пространство»'., в котором задано скалярное произведение посредством невырозкденной симмвт»»ичной билинейной формы А (х, у), полярной знакопеременной квадратичной форме.
Число л называется р а э м е р и о ст ь и псевдоевклидова пространства. Выделим в линейном пространстве 7. базис е,, е«, , е, и обозначим через (а»») матрицу билинейной формы А (х, у) в этом базисе (напомним, что дп = А (е;, е»)) Если х' и у» — контравариаитные координаты векторов х и у, то (8.67) А(х, у) = д»,х»и». В полной аналогии с рассуждениями и. 2 у 2 этой главы доказывается, что (до ) представляют собой координаты тензора О типа (2,6). Этот теизор мы будем в дальнейшем называть м е т р ическим тензором псевдоевклидова простр а нс та а.
Так как скалярное произведение (,х, у) равно А (х, у), то, согласно (8,67), имеем (х, у) = е»Ах»у». Известно, что матрицу (е»з) билинейной формы А (х, у) можно привести к диагональному виду, Прн этом в силу невырожденности формы А (х, у) координаты А»» метрического тензора после приведения к диагональному виду будут равны нулю при» ~ ) и единице или минус единице при» = ).
Число р положительных н число») отрицательнык диагональных элементов не зависит от способа приведения к диагональному виду, причем, в силу невырожденности формы А (х, у), р +») = и. Приведенные рассуждения поясняют обозначение Е», » для и-мерного псевдоевклидова пространства. Естественно поставить вопрос об измерении длин векторов в псевдоевклидовом пространстве.
В евклидовом пространстве с метрическим тензором д»» квадрат длины вектора хс координатами х' считается равным а»»х»х». Если определить квадрат длины з» (х) вектора х с помощью соотношения (8.68) в«(х) = дцх»х», ггл. и танзоры 254 то, очевидно (поскольку форма А (х, х) знакопеременная), можно указать ненулевые векторы с положительным квадратом длины, с отрицательным квадратом длины и с нулевым квадратом длины, Поэтому, чтобы получить в качестве меры длины векторов лишь действительные числа, обь!чно за длину вектора принимают о (х) = (зяп зе (х)) )' ~ зе (х) ).
(8.69) В дальнейшем мы будем использовать следующую терминологию, заимствованную из специальной теории относительности: мы будем называть ненулевой вектор х времени п о до б н ы м, если для этого вектора о(х) >О, п р остр а нет вен нопод о б н ы м, если о (х) < О, и и з о т р о и н ы м, если а (х) = О. Справедливо следующее утверждение: Множество кончов всех времеыиподобных (пространственно- подобных, изотропных) векторов, начала которых совпадают с произвольной фиксированной точкой М псевдоевклидова пространства, образует конус.
Для определенности докажем утверждение, рассматривая времениподобные векторы. Очевидно, достаточно доказать, что если х — временнподобный вектор, то при любом вещественном Л ~ 0 вектор Лх также времениподобен. Так как координаты вектора Лх равны Лх', то, согласно (8.68), зе (Лх) = Л'з'(х), т. е. 88п за (Лх) = знп У (х). Отсюда и нз (8,69) следует, что вектор Лх будет времениподобным.
Для случая времениподобных векторов утверждение доказано. Рассуждая аналогично, убедимся в справедливости утверждения для случая пространственноподобных и изотропных векторов. Конус времениподобных векторов обозначается часто символом Т (от англ. (!ше — время), а конус пространственноподобных векторов — символом Я (от англ. зрасе — пространство). 2. Галилеевы координаты. Преобразования Лоренца' ). В теории псевдоевклидовых пространств важную роль играют те системы координат, в которых квадрат интервала (так обычно называют квадрат длины вектора за (х)) имеет вид ве («) ~~ ~(х!)е ~ (х!)а ! ! !=а+! (8.70) ') Гендрик Антон Лорена (!883 — )928) — нидерландский математик По терминологии, заимствованной из физики, такие системы координат называются е а л и л е ив ы м и.
Преобразования координат, которые сохраняют для вт (х) выражение (8.70), называются и р собр азов ан и ям и Л о р е н т( а. В следующем пункте мы рассмотрим вопрос о преобразованиях Лоренца пространства Е<!, а!, называемого п р о с т р а н с т в о м 4 41 МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР ПСЕЕДОЕЕКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА 255 М и н к о в с к о го'). Это пространство представляет особый интерес для физики, ибо является пространством событий специальной теории относительности. Отметим, что обычно в пространстве Минковского нумерация координат вектора начинается с нуля. Таким образом, согласно (8.70), квадрат за (х) интервала в пространстве Е4ц »1 записывается следующим образом: за (х) = (х')' — (х')' — (х')' — (х')'. (8.
7! ) 1 0 ΠΠΠ— 1 О О 7 = (841) - ~о о о о о — 1 (8.72) ') Герма» Минковский (1а64 — 1909) — иемецкий математик и фиаик. Для удобства в физике координата х' отождествляется с выражением с(, где с — скорость света, а 1 — временная переменная; х', х', х' называются пространственными переменными. В пространстве Минковского конус Т времениподобиык векторов распадается на две различные связные открытые компоненты Т' (конус будущего) и 7" (конус прошлого); конус 5 простран ственно подобных векторов образует связное множество.
Поясним структуру связных компонент 7+ и Т . Для этого обратимся к физической интерпретации вектора х с координатами х', 4 = О, ), 2, 3, в пространстве Е44 »1.. этот вектор характеризуется величиной 81 = ха/с и вектором бг = (х', х', ха). Таким образом, рассматривая х как перемещение в Е44, ап можно считать, что это перемещение характеризуется временным Ж и простран. ственным бг перемещениями. Времениподобные векторы х определяются условием з (х) > О. В этом случае, очевидно,(4»г1/ (Ы( < с. Если при этом И > О, то для перемещения х получим неравенство О < (бг'1/) б() < с Такое перемещение х принадлежит по определению Т' и может рассматриваться как перемещение материальной частицы «в будущее» Если М < О, то перемещение х принадлежит 7" и может рассматриваться как перемещение частицы «в прошлое» (в физике так интерпретируется движение античастиц).
Очевидно, Т' и 7 представляют собой две связные открытые компоненты конуса Т. Проведенные рассуждения поясняют их наименования — конус будущего и конус прошлого, 3. Преобразования Лоренца пространства Е4~4, а). Рассмотрим 4 в псевдоевклидовом пространстве Е44, а, галилееву систему координат с базисом Е4. В такой системе координат квадрат интервала У (х) имеет вид (8.71), а матРица (ды) метРического тензоРа имеет вид [гл, в тензогы 2бб Перейдем к новой галилеевой системе координат с базисом в~' и выясним условия, которым должны удовлетворять коэффициенты Ь) матрицы В преобразования базисных векторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
