Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Простейшей подгруппой любой группы является ее единичный элемент. Другим примером может служить подгруппа 6т всех четных чисел В группе 6 относительно сложения всех целых чисел. 4. Смежные классы. Нормальные делители. Пусть Н, и Н,— произвольные подмножества группы 6. П р о из в еде и и ем подмножеств Н, и Н, назовем подмножество Н„состоящее из всех элементов вида й,й„где /г, Е Н„ /4 С Н,. алименты таоеин гехпп [гл. з Для произведения подмножеств используется обозначение Н = Н,Н . (9.2) Рассмотрим случай, когда Н, состоит из одного элемента Ь.
Тогда, согласно (9.2), произведение Н, и Н, можно записать в виде ЬН,. Отметим, что если подмножества Н, и Н, являются подгруппами группы 6, то нх произведение Н,Н„вообще говоря, не является подгруппой. Пусть Н вЂ” подгруппа группы 6, а — элемент группы 6. Множество аН называется левым смежным классом, а множество На — правым смежным классом подгруппы Н в 6. Конечно при выборе другого элемента вместо а правые н левые классы подгруппы Н в 6, вообще говоря, изменяются. Отметим следующие свойства смежных классов (эти свойства формулируются лишь для левых смежных классов; для правых смежных классов они формулируются аналогично): 1'.
Если а ~ Н, то аН ге Н. 2'. Смежные классы аН и ЬН совпадают, если а 'Ь ~ Н. 3'. Два смежных класса одной подгруппы Н либо совпадают, либо не имеют общих элементов. 4'. Если аН вЂ” смежный класс, то а ~ аН. Первое нз отмеченных свойств очевидно. Убедимся в справедливости свойства 2'.
Так как, согласно !', а 'ЬН ка Н, то, поскольку аа ' = е, имеем ЬН = (аа ') ЬН = а (а-'Ь) Н = аН. Тем самым свойство 2' установлено, Перейдем к доказательству третьего свойства. Очевидно, достаточно доказать, что если смежные классы аН н ЬН имеют общий элемент, то они совпадают. Пусть элементы Ь, Е Н и Ь, Е Н такие, что ай1 = Ьп, (9.3) (равенство (9.3) означает, что классы аН и ЬН имеют общий элемент). Поскольку Н вЂ” подгруппа группы 6, то элемент Ь,Ц~ принадлежит Н. Отсюда и из (9.3) получаем а-'Ь= 6,Ь ~ Н. Следовательно, согласно свойству 2', аН = ЬН. Свойство 3' доказано. Свойство 4' следует из того, что подгруппа Н содержит единичный элемент е, н поэтому ае = а Е аН. Пусть Н вЂ” подгруппа 6, для которой все левые смежные классы одновременно являются правыми смежными классами.
В этом случае для любого элемента а должно иметь место соотношение аН=На, 13 ПОНЯТИЯ ГРУППЫ. ОСНОВНЫВ СВОЙСТВА ГРУПП яву Действнтельно, согласно свойству 4', элемент а Е аН. С другой стороны, класс аН является одновременно некоторым классом НЬ, который, очевидно (в силу того, что а Е НЬ), совпадает с множеством На. Подгруппа Н, для которой все левые смежные классы являются правыми смежными классами, называется н о р и а л ьным делителем группы 6. Справедливо следующее утверждение: Если Н вЂ” нормальный делитель группы 6, то произведение смежных классов представляет собой также смежный класс.
Действительно, пусть аН н ЬН вЂ” сиежнйе классы, Тогда по определению произведения смежных классов как подмножеств группы 6 с учетом (9.4), получнм аНЬН = а (НЬ) Н = а (ЬН) Н = (ПЬ) (НН) = (аЬ) Н, т, е. произведение смежных классов аНЬН есть смежный класс (аЬ) Н. 5, Гомоморфнзмы. Фактор-группы. Пусть 6 — группа с элементами а, Ь, с, ... н 6 — некоторое множество, в котором определен закон композиции его элементов а, б, с, .... Мы будем использовать мультнплнкатнвную форму записи композиции: с = аб, а элемент с будем называть произведением элементов а н б. Определение 1.
Отображение Г еруппы 6 на мнолсество 6 *): г': 6-ь 6 (9.5) называется г о м о м о р ф и з м о м, если для любых элементов а с 6 н Ь Е 6 выполняется соотношение г (аЬ) = / (а) г (Ь), (9.5) где / (а), Г (Ь) и 7 (аЬ) — образы элементов а, Ь и аЬ ари отображении !. При этом 6 называется г о м о и о р ф н ы и образом 6. В случае, если 6 является подмножеством 6, то для гомоморфнзма (9.5) употребляется наименование э н д о м о р ф и з м.
3 а и е ч а н н е. Если задано гомоморфное отображение (гомоморфнзм) группы 6 на множество 6, то все элементы группы разбнваются на непересекающиеся классы: в один класс объединяются все те элементы 6, которые отображаются в один и тот же элемент множества О. "Пол отображеннем / группы 6 на множеспю 6 понимается такое ыкзтае~- ствне между влементазш множеств 6 н 6, прн котором каждому алементу а 5 6 ставится в соответствне лнщь оден вдемент а 5 6 н каждый элемент а 5 6 является образом по крайней мере одного злемента нз 6. Снмеолниескн отображенне 6 на 6 запнсываетсв с помощью соотношения (влй алвмвнты тзоэии гээпп ~гл, э 288 Справедливо следующее утверждение: ТеОрема 9.4. Гомоморфный образ группы является еруяпой.
Доказательство. Пусть а, б, б, ... — элементыгомоморфного образа 6 группы 6 при гомоморфизме г. Это означает, что в группе 6 можно указать такие элементы а, Ь, е, .„что а /(а), б =/(Ь), с =Г(с), ... Тогда в множестве 6 умножение элементов согласовано с правилом (9.6). Проверим, что эта операция умножения удовлетворяет требованиям 1', 2' и 3' определения 2 группы (см. п. 2 этого параграфа), 1'.
Ассоциативность умножения. Составим два произведения а (Бс) и (аБ) с. Имеем, согласно правилу (9.6) ° а (Бс) =1(а) (((Ь)((с)) =((а)1(бс) = У(або), (а б) с = Ц (а) 1 (Ь)) / (с) = 1 (аб) / (с) = 1 (або). Сопоставляя эти соотношения, получим а (бс) (аб) б.
Следовательно, ассоциативность умножения элементов выполняется. 2'. Существование единицы. Обозначим символом е элемент ( (е), где е — единица группы 6: е =((е). Для любого элемента а множества 6 имеем, согласно правилу (9.6), ае = 1 (а) ~ (е) = ~ (ае) = ( (а) = а. Следовательно, элемент й действительно играет роль единицы. 3'. Существование обратного элемента. Обозначим символом а-' элемент ( (а-'), где а ' — обратный элемент для элемента а в группе 6. Имеем, согласно (9.6), аа-' = / (а) ~ (а ') / (аа-') = 7 (е) = е. Следовательно, элемент а ' играет роль обратного элемента для элемента а. Итак, для операции умножения элементов 6 выполнены требования 1', 2', 3' определения 2 группы.
Поэтому 6 — группа. Теорема доказана. Пусть Н вЂ” нормальный делитель группы 6. Определим следующее отображение ~ группы 6 на множество 6 смежных клас. сов по нормальному делителю Н: если а принадлежит 6, то этому элементу поставим в соответствие тот класс смежности, которому принадлежит укаэанный элемент. Согласно свойству 3' смежных классов (см. предыдущий пункт) каждому элементу группы 6 при таком отображении отвечает только один класс, т. е. налицо действительно отображение ( группы 6 на множество классов смежности по нормальному делителю Н. Докажем следующую теорему.
2 1) ПОНЯТИЕ ГРУППЫ, ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП 269 Теорема У.а. Указанное выше отображение 7' группы б на смежные классы по нормальному делителю Н, при определении умножения классов смезсности как подмножеств группы б, представляе)п собой гомоморфизм. До к а з а тел ь с т в о. В конце предыдущего пункта мы доказали утверждение о том, что если аН и ЬН --смежные классы, то произведение аНЬН этих классов как подмножеств б есть смежный класс (аЬ) Н, Следовательно, с помощью рассматриваемого отображения г произведению элементов аЬ ставится в соответствие смежный класс (аЬ) Н, равный пронзведению смежных классов аН и ЬН. Поэтому г — гомоморфизм.
Теорема доказана. Следствие. Множество смежных классов группы б по нормальному делителю Н с операцией умножения этих классов как подмножеств б образует группу. Эта группа называется фа к тор - г р у п пой группы б по нормальному делителю Н и обозначается символом б)Н. Справедливость следствия вытекает из теоремы 9.4. 3 а м е ч а н и е. Очевидно, отображение('группы б на множество смежных классов по нормальному делителю Н представляет собой гомоморфизм этой группы на фактор-группу б/Н. Рассмотрим следующий и р и м е р. Пусть Ни — и-мерное линейное координатное пространство, которое, как отмечалось в примере 3 и.
2 этого параграфа, является абелевой (т. е. коммутативной) группой относительно сложения элементов (напомним, что точками х этого пространства являются упорядоченные совокупности из и вещественных чисел (х), ..., х„), причем сложение элементов (х,, ..., х„) и (у„..., у„) производится по правилу (х, + у„..., х„+ у„)). По определению прямого произведения, Нл представляет собой прямое произведение одномерных пространств: )1 Л(1) Х )1(2) Х Х)1(л)' 1 Так как, например, Н1„! представляет собой абелеву под- 1 группу, то, очевидно, Я~1„) — нормальный делитель группы гс".
Смежным классом элемента а из Ни служит прямая, проходящая через точку а параллельно прямой )1!1„1, а фактор-группа гг' !)т)Ы) ИЗОМОрфиа (П вЂ” 1)-МЕрНОМу ПОдПрОСтраиетВу Ки-1: — 1 ! ! 1 )1!и = )1!!) Х Н!2) Х ° .. Хй! — !) (9.7) Отметим, что обозначение фактор-группы )1!'Я~1,) определенным образом объясняется с помощью соотношения л Н И!.) = На) х... Хй)л)!Й!и) ~ й!!) х ° ., хй!и-!)ю (9.8) 1ГЛ. Е ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП 2то которое следует из (9.7). Отметим, что в формуле (9.8) последний знак равенства нужно рассматривать как изоморфизм между соответствующими группами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
