Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 59
Текст из файла (страница 59)
д.). Эти построения выходят далеко за рамки начальных понятяй теории групп и не могут рассматриваться в данном руководстве. йты ограничимся некоторыми понятиями, используемыми в теории представлений и примерами. 1. Линейные представления групп. Терминология. Олрвделвнив. Л и и е й и ы м и р е д с т а в л е н и е м группы 6 в конечномерном евклидовом пространстве Ен наэьмается такое отображение 1, посредством которого каждому элементу а втой группы ставится в соответствие линейное преобразование Т пространства Е" так, что для литбык а, и а, из 6 вынолняется соотношение Т(а,о 1 = Та Та ° Таким образом, линейное представление группы О в конечномериом евклидовом пространстве Е" есть гомоморфизм этой группы на некоторое подмножество линейных преобразований этого пространства.
Используется следующая терминология: пространство Е" называется пространством представления, размерность н этого пространства называется р а з м е р н о с т ь ю п р е д с т а в л е н и я, базис в пространстве Е" называется базисом представления. Заметим, что гомоморфный образ 1 (6) группы О также называется представлением этой группы в пространстве представлений. В дальнейшем для краткости и-мерные линейные представления группы мы будем называть просто представлениями этой группы. е] Конечно, можно рассмвтриввть и более общий вопрос и прсиствияеиин двиной группы иутем отображения ее ни какую-либо груниу нреобрввоввний.
в 3) пгйдстявлзнкя ГРУпп Для обозначения представления группы 0 используется си . вол 0 (0); различные представления данной группы отмечаются индексом (например, 0>я> (0)), Символом Р>"> (й) будем обозначать линейное преобразование (линейный оператор), отвечающее элементу у ~ 0 в представлении Ры> (6). Тривиальным представлением группы б называется гомоморфное отображение 6 в единичный элемент группы ОЬ (н). Если отображение г группы б на подгруппу ОЬ (л) является изоморфнзмом, то представление называется т о ч н ы м.
Очевидно, не у всякой группы есть точное и-мерное представление для заданного и. Например, у группы О (10), конечно, не может быть точного одномерного предстзвления (это следует, в частности, из того, что группа О (1) абелева, а группа О (1О) не абелева). Отметим, что при гомоморфном отображении 1 группы 0 в ОЬ (и) получающееся представление группы изоморфно фактор- группе 6>кегп 1, где 1>егп г — так называемое ядро гомоморфизма 1, т.
е то множество элементов 6, которое при гомоморфизме 1 отображается в единицу группы ОЬ (и). 2. Матрицы линейных представлений. Эквивалентные представления. Рассмотрим представление Ры> (6) группы б. В этом представлении каждому элементу й из 0 отвечает линейное преобразование Ры> (у). Матрицу этого линейного преобразования в базисе представления Рио (б) мы будем обозначать О>">> (>г) 0>,"> (а). В зависимости от выбора базиса в пространстве представлений будет меняться и матрица 0)~ > (д), отвечающая элементу а. Естественно поэтому возникает вопрос об э к в и в а л е н т и ы х п р е д с т а в л е н и я х группы в одном и том же пространстве.
Сформулируем определение эквивалентности представлений: Определение. Представления Рш ' (0) и Вш ' (6) группы 0 водном и том же пространстве Е" называются г к в и в а л е и тн ы м и, если суи(ествует такое невырожденное линейное преобразование С иространства Е", что для каждого элемента у ~ 0 справедливо соотношение О»' > (у) = С 10ы > (у) С. Понятие эквивалентности играет важную роль в теории представлений, главным образом в перечислении и классификации представлений.
Выбор базиса в пространстве представлений важен еще и потому, что в каком-либо базисе матрицы, отвечающие элементам группы, могут иметь стандартный, достаточно простой вид, который позволяет сделать важные заключения об исследуемом представлении. В следующем пункте мы дадим некоторую класси. фикацию представлений, опираясь на специальный вид ма.
триц. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП 3. Прнводвмые и неприводимые представлення. В этом пункте мы обсудим вопрос о том, прн каких условиях данное представ. ление Р (6), заданное в пространстве Е", индуцирует в год. пространстве Е' этого пространства представление 0 (6) Этот вопрос тесно связан с вопросом об описания данного представления с помощью более простых представлений, которые имеют меньшую размерность, чем заданное. С решением поставленного вопроса тесно связано понятие инвариантного иодпространства линейного преобразования (линейного оператора). Напомним, что подпространство Е' называется инвариантным подпространством линейного оператора А, если для каждого элемента х нз Е' элемент Ах принадлежит Е' (см $ 3 гл.
5). Иными словами, подпространство Е' инвариантно, если действие оператора А на элементы этого подпространства не выводнт их нз этого подпространства. Отметим, что само пространство Е" н нулевой элемент прострзнства являются инвариантнымн подпространствами любого линейного оператора. Можно ввести понятие инвариантного подпространства для представления 0 (6). Именно, надпространство Е' называется инва р ион тн ым для иредстшиения Р (6), если оно инвариантно для всякого оператора из Р (6). Очевидно, что на инвариантном подпространстве представления 0 (6) нндуцируется некоторое представление 0 (6).
Сле» дует отметить, что представление Р (6) не сводится к представлению Р (6), если инвариантное подпространство Е' не совпадает с Е". Поясним теперь понятие п р н в о д и и о г о представления. Пусть, например, все матрицы некоторого трехмерного представления 0 (6) имеют вид аи ам , 'а1э~ (9.30) дам а1Й где А„А„А, и 6 соответственно обозначают матрицы ( ам ам~ () ам\ ), (ам), (О, О). Легко проверить, что произведение матриц азв вида (9.30) подчиняется закону А~ ) Ат А, ~ Ае А,'А~ ! Ае 0 ~ Аз О ~ Аз " 1 Азлэ т. е. произведение матриц вида (9.30) есть матрица вида (9,30).
Более того, прн умножении матриц этого вида изолированно перемножаются матрицы А| н А~ н матрицы Аз и Аз. пэедстлвления гэхпп ~оп о~~ Таким образом,мы видим, что матрица А, = ~ ) образуам ам~ ет двумерное представление рассматриваемой группы, а матрица А, = (аээ) образует одномерное представление этой же группы. В таких случаях говорят, что представление 0 (б) п р н в од и м о. Если все матрицы (речь идет о квадратных матрицах порядка и) операторов представления имеют внд (9.31) где А, н А, — квадратные матрицы, вообще говоря, разных порядков, то ясно, что матрицы А, и А, образуют представления, сумма размерностей которых равна и.
В этом случае представление называется в п о л н е и р и« в о д и м ы м, Отметим, что операторы, матрицы которых имеют внд (9.31), фактически редуцнруются к двум операторам, действующим независимо в двух инвариаятных подпространствах. Заметим также, что представление, индуцнруемое на ннвариантном подпространстве данным представлением 0 (б), называется ч а с т ь ю представления 0 (С). В заключение этого пункта сформулируем понятие н е и р ив о д н м о г о представления.
Представление 0 (б) группы б называется н еп р иводим ы м, если у этого представления существуют лишь два инвариантных надпространства: Е" и О. В противном случае представление называется и р и в о. д н м ы м. Роль неприводимых представлений заключается в том, что любое представление может быть выражено через неприводимые. 4. Характеры. В теории представлений групп и в особенности в теории представлений конечных групп полезную роль играют инварианты линейных преобразований, образующих представ« ление. Важность инвариантов ясна еще и потому, что они не зависят от выбора базиса представления и поэтому в определенном смысле характеризуют представление.
Пусть 0 (б) — и-мерное представление группы б и 0~(д)— матрица оператора, отвечающего элементу а из б. Х а р акт ер ам элемента д Е б в представлении О (б) называется число Х Я=ос(а) =01(а)+Рею)+ ". +Р:(й). Таким образом, характер элемента д есть след матрицы оператора Р (а). Так как след матрицы линейного оператора представляет собой инвариант (см. и. 3 4 2 гл. 5), то хараюпер любого элемента ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП [ГЛ. Э 286 не зависит ст базиса представления и поэтому является инваришипом. Итак, каждому элементу й Е б представления Р (б) отвечает число — характер этого элемента.
Поскольку у различных элементов могут быть одинаковые характеры, то следует выяснить вопрос о том, каким элементам группы отвечают одинаковые характеры. Для решения этого вопроса введем понятие сопряженных элементов н классов сопряженных элементов в данной группе б. Элемент Ь Е б называется сон р я же н н ы м элементу а Е б, если суи(ествует такой элемент и Еб, что иай' Ь. (9.32) Отметим следующие свойства сопряженных элементов: 1) Каждый элемент а сопряжен самому себе. Действительно, если е — единица группы, то, очевидно, справедливо соотношение еае ' а, которое н означает, что а — элемент, сопряженный а.