Главная » Просмотр файлов » Ильин, Позняк - Линейная алгебра

Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 59

Файл №947283 Ильин, Позняк - Линейная алгебра (Ильин, Позняк - Линейная алгебра) 59 страницаИльин, Позняк - Линейная алгебра (947283) страница 592013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

д.). Эти построения выходят далеко за рамки начальных понятяй теории групп и не могут рассматриваться в данном руководстве. йты ограничимся некоторыми понятиями, используемыми в теории представлений и примерами. 1. Линейные представления групп. Терминология. Олрвделвнив. Л и и е й и ы м и р е д с т а в л е н и е м группы 6 в конечномерном евклидовом пространстве Ен наэьмается такое отображение 1, посредством которого каждому элементу а втой группы ставится в соответствие линейное преобразование Т пространства Е" так, что для литбык а, и а, из 6 вынолняется соотношение Т(а,о 1 = Та Та ° Таким образом, линейное представление группы О в конечномериом евклидовом пространстве Е" есть гомоморфизм этой группы на некоторое подмножество линейных преобразований этого пространства.

Используется следующая терминология: пространство Е" называется пространством представления, размерность н этого пространства называется р а з м е р н о с т ь ю п р е д с т а в л е н и я, базис в пространстве Е" называется базисом представления. Заметим, что гомоморфный образ 1 (6) группы О также называется представлением этой группы в пространстве представлений. В дальнейшем для краткости и-мерные линейные представления группы мы будем называть просто представлениями этой группы. е] Конечно, можно рассмвтриввть и более общий вопрос и прсиствияеиин двиной группы иутем отображения ее ни какую-либо груниу нреобрввоввний.

в 3) пгйдстявлзнкя ГРУпп Для обозначения представления группы 0 используется си . вол 0 (0); различные представления данной группы отмечаются индексом (например, 0>я> (0)), Символом Р>"> (й) будем обозначать линейное преобразование (линейный оператор), отвечающее элементу у ~ 0 в представлении Ры> (6). Тривиальным представлением группы б называется гомоморфное отображение 6 в единичный элемент группы ОЬ (н). Если отображение г группы б на подгруппу ОЬ (л) является изоморфнзмом, то представление называется т о ч н ы м.

Очевидно, не у всякой группы есть точное и-мерное представление для заданного и. Например, у группы О (10), конечно, не может быть точного одномерного предстзвления (это следует, в частности, из того, что группа О (1) абелева, а группа О (1О) не абелева). Отметим, что при гомоморфном отображении 1 группы 0 в ОЬ (и) получающееся представление группы изоморфно фактор- группе 6>кегп 1, где 1>егп г — так называемое ядро гомоморфизма 1, т.

е то множество элементов 6, которое при гомоморфизме 1 отображается в единицу группы ОЬ (и). 2. Матрицы линейных представлений. Эквивалентные представления. Рассмотрим представление Ры> (6) группы б. В этом представлении каждому элементу й из 0 отвечает линейное преобразование Ры> (у). Матрицу этого линейного преобразования в базисе представления Рио (б) мы будем обозначать О>">> (>г) 0>,"> (а). В зависимости от выбора базиса в пространстве представлений будет меняться и матрица 0)~ > (д), отвечающая элементу а. Естественно поэтому возникает вопрос об э к в и в а л е н т и ы х п р е д с т а в л е н и я х группы в одном и том же пространстве.

Сформулируем определение эквивалентности представлений: Определение. Представления Рш ' (0) и Вш ' (6) группы 0 водном и том же пространстве Е" называются г к в и в а л е и тн ы м и, если суи(ествует такое невырожденное линейное преобразование С иространства Е", что для каждого элемента у ~ 0 справедливо соотношение О»' > (у) = С 10ы > (у) С. Понятие эквивалентности играет важную роль в теории представлений, главным образом в перечислении и классификации представлений.

Выбор базиса в пространстве представлений важен еще и потому, что в каком-либо базисе матрицы, отвечающие элементам группы, могут иметь стандартный, достаточно простой вид, который позволяет сделать важные заключения об исследуемом представлении. В следующем пункте мы дадим некоторую класси. фикацию представлений, опираясь на специальный вид ма.

триц. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП 3. Прнводвмые и неприводимые представлення. В этом пункте мы обсудим вопрос о том, прн каких условиях данное представ. ление Р (6), заданное в пространстве Е", индуцирует в год. пространстве Е' этого пространства представление 0 (6) Этот вопрос тесно связан с вопросом об описания данного представления с помощью более простых представлений, которые имеют меньшую размерность, чем заданное. С решением поставленного вопроса тесно связано понятие инвариантного иодпространства линейного преобразования (линейного оператора). Напомним, что подпространство Е' называется инвариантным подпространством линейного оператора А, если для каждого элемента х нз Е' элемент Ах принадлежит Е' (см $ 3 гл.

5). Иными словами, подпространство Е' инвариантно, если действие оператора А на элементы этого подпространства не выводнт их нз этого подпространства. Отметим, что само пространство Е" н нулевой элемент прострзнства являются инвариантнымн подпространствами любого линейного оператора. Можно ввести понятие инвариантного подпространства для представления 0 (6). Именно, надпространство Е' называется инва р ион тн ым для иредстшиения Р (6), если оно инвариантно для всякого оператора из Р (6). Очевидно, что на инвариантном подпространстве представления 0 (6) нндуцируется некоторое представление 0 (6).

Сле» дует отметить, что представление Р (6) не сводится к представлению Р (6), если инвариантное подпространство Е' не совпадает с Е". Поясним теперь понятие п р н в о д и и о г о представления. Пусть, например, все матрицы некоторого трехмерного представления 0 (6) имеют вид аи ам , 'а1э~ (9.30) дам а1Й где А„А„А, и 6 соответственно обозначают матрицы ( ам ам~ () ам\ ), (ам), (О, О). Легко проверить, что произведение матриц азв вида (9.30) подчиняется закону А~ ) Ат А, ~ Ае А,'А~ ! Ае 0 ~ Аз О ~ Аз " 1 Азлэ т. е. произведение матриц вида (9.30) есть матрица вида (9,30).

Более того, прн умножении матриц этого вида изолированно перемножаются матрицы А| н А~ н матрицы Аз и Аз. пэедстлвления гэхпп ~оп о~~ Таким образом,мы видим, что матрица А, = ~ ) образуам ам~ ет двумерное представление рассматриваемой группы, а матрица А, = (аээ) образует одномерное представление этой же группы. В таких случаях говорят, что представление 0 (б) п р н в од и м о. Если все матрицы (речь идет о квадратных матрицах порядка и) операторов представления имеют внд (9.31) где А, н А, — квадратные матрицы, вообще говоря, разных порядков, то ясно, что матрицы А, и А, образуют представления, сумма размерностей которых равна и.

В этом случае представление называется в п о л н е и р и« в о д и м ы м, Отметим, что операторы, матрицы которых имеют внд (9.31), фактически редуцнруются к двум операторам, действующим независимо в двух инвариаятных подпространствах. Заметим также, что представление, индуцнруемое на ннвариантном подпространстве данным представлением 0 (б), называется ч а с т ь ю представления 0 (С). В заключение этого пункта сформулируем понятие н е и р ив о д н м о г о представления.

Представление 0 (б) группы б называется н еп р иводим ы м, если у этого представления существуют лишь два инвариантных надпространства: Е" и О. В противном случае представление называется и р и в о. д н м ы м. Роль неприводимых представлений заключается в том, что любое представление может быть выражено через неприводимые. 4. Характеры. В теории представлений групп и в особенности в теории представлений конечных групп полезную роль играют инварианты линейных преобразований, образующих представ« ление. Важность инвариантов ясна еще и потому, что они не зависят от выбора базиса представления и поэтому в определенном смысле характеризуют представление.

Пусть 0 (б) — и-мерное представление группы б и 0~(д)— матрица оператора, отвечающего элементу а из б. Х а р акт ер ам элемента д Е б в представлении О (б) называется число Х Я=ос(а) =01(а)+Рею)+ ". +Р:(й). Таким образом, характер элемента д есть след матрицы оператора Р (а). Так как след матрицы линейного оператора представляет собой инвариант (см. и. 3 4 2 гл. 5), то хараюпер любого элемента ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП [ГЛ. Э 286 не зависит ст базиса представления и поэтому является инваришипом. Итак, каждому элементу й Е б представления Р (б) отвечает число — характер этого элемента.

Поскольку у различных элементов могут быть одинаковые характеры, то следует выяснить вопрос о том, каким элементам группы отвечают одинаковые характеры. Для решения этого вопроса введем понятие сопряженных элементов н классов сопряженных элементов в данной группе б. Элемент Ь Е б называется сон р я же н н ы м элементу а Е б, если суи(ествует такой элемент и Еб, что иай' Ь. (9.32) Отметим следующие свойства сопряженных элементов: 1) Каждый элемент а сопряжен самому себе. Действительно, если е — единица группы, то, очевидно, справедливо соотношение еае ' а, которое н означает, что а — элемент, сопряженный а.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,17 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее