Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 60
Текст из файла (страница 60)
2) Если элемент Ь солрязсен элементу а, то элемент а сопряжен влементу Ь. Это свойство сразу же вытекает нз (9,32). Действнтельно, умножая обе части (9.32) слева на и ' н справа на и, получим й'Ьи = а. Замечая, что обратным элементом для элемента й' является элемент и, мы убедимся в справедливости сформулированного свойства. 3) Если Ь вЂ” сопряженный влемент для а и с — сопряженный элемент для Ь, то с — сопряженный элемент для а Действительно, так как с иЬи ' и Ь = иаи ', то, очевидно, с оиай'и '.
(9.33) Так как обратным элементом для элемента ии является элемент и 'и ', то нз (9.33) следует, что элемент с сопряжен элементу а. Объединим в один класс все те элементы группы, которые сопряжены данному элементу а. Таким образом, согласно свойству 3), каждый элемент класса сопряжен любому элементу этого класса, Очевидно, два таких класса либо совпадают, либо не имеют общих элементов.
Вернемся теперь к представлениям групп. Пусть а и Ь вЂ” сопряженные элементы, т. е. справедливо соотношение (9.32): Ь =иаи'. (9.32) Обратимся к операторам Р (а),.Р (Ь), Р (и) н Р (и '). Согласно определению представления группы оператор Р (и ') является обратным для оператора Р (и), т. е. Р (и ') (Р (и)) '. Обращаясь опять к определению представления, получим, согласно (9.32), соотношение Р (Ь) Р (и) Р (а) (Р (и)) ' Перейдем теперь к матрицам операторов, фигурирующих в последнем соотношении.
Мы видим, что матрицу оператора Р (Ь) ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП можно рассматривать как матрицу оператора О (а) при переходе к новому базису с матрицей перехода О (и) (см. и. 2 4 2 гл. б). Поскольку при таких преобразованиях след матрицы инвариан. тен и по определению равен характеру элемента, мы можем за ключить, что Х (а) = Х ((>). Итак, характеры всех элементов, нринадлежаи(их одному «лассу сонряокенных элементов, равны друг другу. Очевидно также, что характеры элементов для эквивалентных представлений совладают.
Понятие характера в теории представлений используется обычно следующим образом. Пусть данная группа 6 может быть разбита на конечное число различных классов сопряженным элементов К„К,, ..., К,. Тогда каждому элементу класса К/ в данном представлении Ъ (6) (и в любом эквивалентном ему представлении) отвечает один и тот же характер у/. Поэтому представление Р (6) можно описать с помощью набора характеров Х„ Х„ ..., Х„ который можно рассматривать как координаты вектора в евклидовом пространстве размерности У, Таким образом, различным представлениям будут отвечать различные векторы. Указанный геометрический подход позволяет во многих случаях решать важные вопросы теории представлений групп.
5. Примеры представлений групп. П р и м е р 1. Пусть 6 — группа симметрии трехмерного пространства, состоящая из двух элементов: тождественного преобразования г (едяница группы) и отражения Р относительно начала координат. Таким образом, 6 = (/, Р). Умножение элементов группы задается следующей таблицей: (9.34) / / 1) Одномерное иредсаимление группы 6.
Выберем а пространстве Е' базис в, и рассмотрим матрицу Ап> линейного невырождениого преобразования А" > в этом простран. стве: Ап> = (1). Очевидно, преобразование Агн образует подгруппу в группе 6/'. (1) линейных преобразований пространства Е', причем умножение в этой подгруппе задается таблицей Очевидно, мы получим одномерное представление Рп> (6) группы 6 злвмянты теогни го>)пп <гл. з с помощью соотношений (г«> (з) А<'>, О«> (Р) А<'> (зти со. отношения задают гомоморфизм группы б в СЕ (1), а следовательно, и ее представление).
2) Двумерное иредстаегение груииы б. Выберем в Е' какой-либо базис о„е, и рассмотрим в этом базисе матрицы А<'> н В<') линейных невырожденных преобразований А<') н Ва> Я<2) В<2) (так как бе1А<'> =1 и йе1В<и 1 А<з> В<з рожденные преобразования) Преобразования А<з) н В<з) образуют подгруппу в группе СЕ (2). Непосредственной проверкой (путем перемножения матриц Аи> и В<'>) убеждаемся, что умножение операторов А<'> и В<'> задается таблицей (9.35) Мы получим двумерное представление Р<з> (б) группы С с помощью соотношений Р<з) <У) А<з), 0<з) (Р> = В<').
(9.36) Действительно, сравнивая таблицы (9.34) и (9.35), мы видим, что (9.36) определяет изоморфизм группы б на подгруппу 1А<з>, В<з>) группы СЕ (2), а следовательно, н представление этой группы. 3) Трехмерное иредстаоление груииы С. Рассмотрим в Е' линейное преобразование А<'>, задаваемое матрицей А<з> О 1 О Это преобразование образует подгруппу в группе СЕ (3) с ааконом умножения А<з'А<з' = А<з>, Как н в случае одномерного представления, мы получаем трехмерное представление 0<з>б с помощью соотношений: р<з> (г) А<з> г><з) (р) А<з> 4) Четырехмерное представление груииы С, пввдстквлвння гэупп Рассмотрим в Е' линейные ваемые матрицами > о<ос о <'оо А<4> = оп» о о о,'0 ! преобразования Ам> н В«>, зад о >>о о < о<о о В<4> оо)о> о о,< о Преобразования А<'> н В<'> образуют подгруппу в группе Ж (4) с законом умножения, задаваемым таблицей, аналогичной таблице (9.35) (с заменой индекса 2 на индекс 4).
Очевидно, мы получаем четырехмерное представление 0«> (0) группы б с помощью со- отношений О<" > (1) = А<м, О«> (Р) = В<'>. 3 а м е ч а н н е. Нетрудно видеть, что матрицы А<'> н В<4> можно запнсать в виде Поэтому представление О<'> (б) можно условно записать в виде 0<'> (б) = О<э> (б) + 0<к> (б) = 20<к> (б). Совершенно аналогично можно условно записать О<к> (б) в внде О<к> (б) 30«> (б), Используя это замечание, читатель без труда постронт представление группы 0 любой конечной размерности. П р н м е р 2, В п, 5 $2 этой главы мы доказали, что только что рассмотренная группа снмметрни б = >1, Р) трехмерного про.
странства представляет собой нормальный делитель группы 0 (3) (группа ортогональных преобразований пространства Е'). В том же пункте мы доказали, что подгруппа ЮО (3) собственных ортогональных преобразований группы 0 (3) нзоморфна фактор-группе группы О (3) по нормальному делителю (к, Р». Так как группа гомоморфно отображается на каждую свою фактор-группу, то 0(3) гомоморфно отображается на группу ЛО (3) )(зк мы видели в п.
5 $ 3 этой главы, указанный гомомор. физм осуществляется следующим образом. Если а — собственное преобразование иэ 0 (3), то ему нз ЕО (3) ставится в соответствие это же самое преобразование. Если а' — несобственное преобразованне, то ему ставится в соответствие собственное преобразование Ра'. Таким образом, мы получаем трехмерное представление ОО (3) группы ортогонзльнык преобразований посредством группы ЕО (3) собственных ортогональных преобразований. Б 48 — "Л9 — прел гавышы Ъ2 Баниные отолбиы 39 —. строки 39 Ба .назиб минор 39 Беьнодезномериос линейное лр Б 1 д Б " ф р 152,186 — — вы3юннеиная 191 — — «гюссиммецненая 153, 188 — — невыронленн я 19! —.
— симметрняная 1 53. 1 88 Блок мзпрвлн 15 Б . 1»н!5 Бу — К р 85, 94 Дгзаганавь магрыиз главная 11 — — доб сена» ! 1 Лиагсна. ьнвя ма рида 14 Лоцслнвтельньнз мин р 25 осзрсн- 50 23 Е«. д р зр 82 — — ка,нпнссное 96 Блнннца зрутиы 261 Единит ная мазрвца 1 4 Втиинчннй опер ир 108 Жсрланова клен а 148 — ф:р. Ох ы АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Лвтсмор5мы групп 265 Группа линнЪых цреобраззвсний 273 А бр д 29 — К р ц 278,279 — р р бр " 275 А ц б я ш 200 — 1 262 Афухшнля сиомма координат 250 — ывемшритеская 263 Лф5нннсе прытраншво 41 — и бете«ннмх срззк нальны лрыбрззованин 276 У В вЂ” днклитыкие 27 Вышермснлв определитель 33 В - р44 Вр Н р и д Ил Вш д р р 82 Врем«ниподсбный аскар 254 Г 254 ! амнльзона — Кэлв теорема 138 1'ибб н формулы 232 1 внерболонл 224 Ги нерп се ермак зь в к рого поря ы а 211 -- — -- центральная 22! Главная лиагсналь 11 Г .
рф ру 267 Гр ! д 228 1'руина 261 — абевсва 261 —. ксммуызивная 261 Зшыз инсрши «вадраннной формы 199 — яонцюзнцнн 260 Зейдел» мсгсд 174 Ивы орфизм гр!нц 264 — д р тр 94 — р р 52 Инвариант 235 — уравнения цны!нов рхнсюги 218 Ивварнмцное подирая раисгво сператора 120 Ивдскс инервзн 200 — — р ц "200 — — " ХО И рц 199 Каноннзеокис козффишшны 192 Канонвя вский базис 1 95 -- вил кведрашснсй формы 192, ! 93 ШЗШЛВИтНЫИ1 КХЗйтБЛЬ :анонпчсскаеуравнение иацснтральпой ппэергговерхнасчи вэорого по рядка 226 --. — цеэпральной пагерповерхиссш вшраш по!ждкз 223 Капелли — Кронексра гсарема 68 Квздрзшчиав форма 141, 190 — — вырожденная 191 †.