Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 57
Текст из файла (страница 57)
(и) — группа. Теорема доказана. 3. Сходимость элементов в группе О.с". (п). Подгруппы группы ОЬ (и). В этом и дальнейших пунктах этого параграфа мы будем рассматривать группу Ж (и) в и-мерном евклидовом пространстве У. Введем понятие сходимости в группе 61. (и). Определение. Последовапеельность элементов (А„) из И, (и) называется сходя и!ей ся к элементу А ~ 6Л (п), если для любого х из У последовательность (А„х! сходится к Ах«). «) Последовательность (А«х! представлнет собой последовательность точен пространства У. Поэтому сходнмость последовательности (Лах! поннмаетсв в обычном смысле. 10 Зас 459 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП 1ГЛ.
9 Понятие сходимости в ОЬ (л) мы используем ниже при введе- нии так называемых комлактныл групп. Рассматривают следующие типы подгрупп группы И, (и). 1'. Коленные подгруллы, т. е. подгруппы„содержащие конеч- ное число элементов. Примером конечной подгруппы может служить подгруппа отражений относительно начала координат, содержащая два элемента — тождественное преобразование н отражение относи- тельно начала (см. пример 1 п.
2 $ 1 этой главы). 2'. Дискретные подгруппы, т. е. подгруппы, содержащие счет- ное число элементов. Примером такой подгруппы может служить подгруппа пово. рогов плоскости около начала координат на углы йф, й = О, +-1, ~-2, ..., где ф — угол, несоизмеримый с и. 3~. Йепрерыеные подгруппы, т. е. подгруппы, содержащие более чем счетное число элементов. Подгруппа всех поворотов трехмерного пространства вокруг фиксированной оси представляет собой пример непрерывной подгруппы. Среди непрерывных подгрупп группы ОЬ (л) выделяются так называемые к о и и а к т н ы е п о дг р у и п ы, т. е.
подгруппы, у которых нз любого бесконечного множества ее элементов можно выделить последовательность, сходящуюся к элементу этой под- группы. 4. Группа ортогональиых преобразований. В группе бЬ (л) вы- деляетсн спеииальная подгруппа так называемых о р т о г о- н а л ь н ы х п р е о б р а з о в а н и й. Эти преобразования, рас- сматриваемые как отдельное множество, образуют группу, назы- ваемую ортогональной группой. Введем понятие ортогональных преобразований. Напомним, что мы рассматриваем невырожденные линейные преобразования.
Понятие такого преобразования равнозначно понятию невырожденного оператора, т. е. оператора А, для кото- рого бе1 А ~0. Напомним теперь введенное в 5 9 гл. 5 понятие ортогональ- ного оператора, действующего в вещественном евклидовом про- странстве К. Именно, линейный оператор Р мы назвали ортогональным, если для любых х и у нз У справедливо соотношение (Рх, Ру)=(х, у). (9.13) Результат действия ортогонального оператора Р будем назы- вать ортогональным преобразованием Р, В теореме 5.36 было доказано, что оператор Р является орто- гональным тогда и только тогда, когда существует обратный опе- ратор Р г и выполняется равенство Р '=Р'.
(9. И) гэхппы пэеовэлзованин В этом равенстве Р* — оператор, сопряженный к Р. Таким образом, если преобразование Р является ортогональным, то у этого преобразования есть обратное Р '. Отсюда следует, что каждое ортогональное преобразование является невы- рожденным. Действительно, поскольку РР ' = 1, где 1 — тождественное преобразование, то с$е1Р де1 Р '=де11 1, т. е. де1 Р чь О. Следовательно, ортогональное преобразование Р невырожденное. Отметим следующее важное свойство ортогональных преобразований.
Теорема У.У. Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства У с обычной операиией умножения линейных преобразований, образует группу (называемую о р т о г он а л ь и о й группой и обозначаемую символом О (п)). Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что произведение ортогояальных преобразований представляет собой ортогональное преобразование. Существование обратного преобразования (обратного элемента) для данного ортогонального преобразования доказано в теореме 5.36 (см. также только что сделанное замечание).
Итак, пусть Р, и Р, — ортогональные преобразования. Рассмотрим произведение Р,Р,. Согласно теореме 5,36 нам достаточно доказать соотношение (Р,Р,) (Р~Рд~ 1. (9,! 5) В п. 1 $5 гл. 5 (см. свойство 5' сопряженных операторов) мы установили, что (Р~Рг)' Р(Р~'. Используя это соотношение н ортогональность преобразований Р, и Р„получим (Р Р )(Р~Р4 ° (Р Р) (Р(Р)) Р,(Р Рй) Р(= Р,1Р~'= Р,Р! * 1. Таким образом, соотношение (9.15) доказано. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Очевндно, ортогональная группа является подгруппой группы 61, (л).
3 а и е ч а н н е 2. Значение определителя де1 Р ортогонального преобразования Р удовлетворяет соотношению (де1 Р)' 1. (9. ! 6) Таким образом, де1Р= -ь !. (9.17) Для доказательства (9,!6) заметим, что для матрицы Р преобразования Р справедливо соотношение РР' =1, (9.18) где Р' — транспонированная матрица, полученная яз Р перестановкой строк н столбцов, а 1 — единичная матрица. [гл, э элементы таогии ггкпп Так как бе1 Р = бе1 Р' (при перестановке строк и столбцов определитель не меняется) и бе1 7 1, то из соотношения (9.18) следует, что (де1 Р)' = 1, т. е.
бе1 Р = ь1, Поскольку, по определению, бе1 Р вводится как определитель матрицы Р в любом базисе, то соотношения (9.16) и (9.17) доказаны. Соотношение (9.17) для определителя ортогонального преобразования служит основой для разделения всех таких преобразований на два класса. В первый класс мы отнесем все ортогоиальные преобразования, для которых бе1 Р *= + 1. Эти преобразования в дальнейшем будем называть с о б с т в е н н ы м и. Во второй класс отнесем все ортогональные преобразования, для которых бе1 Р— 1.
Такие преобразования будем называть несобственными. Множество всех собственных ортогональных преобразований образует группу, называемую с обет ве н н о й ор тогон а л ь н о й г р у п п о й. Эта группа обозначается символом о"О (п). Можно доказать, что каждая группа Ю (и) компактна. 5. Некоторые дискретные и конечные подгруппы ортогональной группы. В этом пункте мы не будем стремиться к полноте изложения.
На отдельных примерах мы постараемся выяснить характеристики некоторых подгрупп ортогональной группы. Отметим, что конечные и дискретные подгруппы группы О (3) имеют важное значение в кристаллографии. 1'. Рассмотрим двумерную ортогональную группу О (2). В этой группе можно выделить дискретную подгруппу поворотов на угол Ьр, А О, ~!, ~2, ... Обозйачим буквой а элемент этой подгруппы, отвечающий значению к = +1. Тогда, очевидно, элемент аю отвечающий повороту на угол Фр прн й > О равен а„= а а ... а. Это соотношек рая ние можно сокращенно записать в следующей форме: а„=а', й =1,2, ... Если обозначить символом а ' элемент, обратный элементу а (и ' — элемент, отвечающий повороту на угол — у) и единицу рассматриваемой подгруппы обозначить а', то, очевидно, любой элемент ак при отрицательном, положительном и нулевом значении й можно записать в виде (9.19) аь ~ аа, й = О, ~1, Ь.2, Группы, элементы аь которых могут быть представлены в виде (9.19), называются ц и к л и ч е с к и м и.
Очевидно, циклические еруппы являются дискретными. Отметим два типа циклических подгрупп поворотов: ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОБАННЙ 1) Если арчь 2пр/д, где р н д — целые числа (т, е. угол несоизмерим с л), то все элементы аь различны. 2) Если ф = 2пр/а, где р н а — взаимно простые числа, то справедливо соотношение аь+ - аь, то есть ае = а'.
Группы, для которых вййолняется последнее соотношение, называются циклическими группами порядка а, 2'. Обратимся теперь к так называемым подгруппам з е р. кальной симметрии. Каждая подгруппа зеркальной симметрии состоит нз двух элементов: единица (тождественное преобразование) и отражение либо относительно какой-либо плоскости, либо относительно на. чала координат. Убедиться в том, что тождественное преобразование н огра. жение образуют группу, весьма просто †достаточ заметить, что два последовательных отражения дают тождественное преобразование (см. пример 7 п. 2 5 1 этой главы). Рассмотрим, например, подгруппу «1, Р» группы О (3), со стоящую нз единицы 1 н отражения Р трехмерного пространства относительно начала координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
