Ильин, Позняк - Линейная алгебра (947283), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Легко убедиться, что преобразование правого базиса в правый характеризуется равенством + 1 определителя преобразования, а левого в левый— равенством †! этого определителя. Обозначим через О (и) — множество всех ортогональных преобразований в Е", а через О (п) — множество ортогональных преобразований правых базисов. Эти множества будут рассмотрены в следующей главе. 3 а и е ч а н и е.
В дальнейшем мы будем называть пронзволь. ный базис е„е„.„, е„п р а вым (лев ым), если определитель матрицы перехода от выбранного ортонормнрованного базиса к базису е„ е„ ..., е„ положителен (отрицателен). 4. Дискримннантный тензор. Рассмотрим так называемый вполне кососимметрический тензор е~~,,л 1 2''' З э1 метРический тензОР. ОпеРАции а тензОРных ОвознАчениях 249 (8.55) т ипа (р, О), т. е. такой тензор, который кососимметричен по любым двум нижним индексам. Для того чтобы этот тензор не был нулевым, необходимо, чтобь( число р не превышало и, т. е. удовлетворяло условию р ~ п, ибо, если р > и, то любая координата будет иметь по меньшей мере два одинаковых индекса, при перестановке которых эта координата одновременно должна и изменить знак, и остаться неизменной Это может быть лишь в том случае, когда указанная координата равна нулю Следовательно, при р > и любая коорди- ната тензора равна нулю, т.
е тензор является нулевым. Особый интерес представляет вполне кососимметрический тензор, ранг р которого равен размерности и пространства. Любая координата е,,в, з„такого тензора может быть найдена по формуле ев,св 2„= бы два совпадают, О, если среди индексов вм („..., (л хотя (8.53) ( — 1)"ел леев, „, если все индексы различны. В формуле (8.53) з!дп о равно О или +1 в зависимости от четности или нечетности перестановки о = ((„(в,, („) (з(дп о называют также з н а к о м этой перестановки), Рассмотрим какую-либо правую ортонормированную систему координат и положим в ней евв..л 1. (8.54) С помощью соотношения (8.53) в данной системе координат опре- деляются все координаты е~,~,, вл вполне кососимметрического тензора, а следовательно, и сам тензор, который в дальнейшем мы будем называть д и с к р и м и н а н т и ы м т е н з о р О м.
Коор- динаты этого тензора в произвольном базисе в„ е„ , св обозна- чим через с~,~, Обозначим символом В матрицу перехода от выбранного пра- вого ортонормированного базиса к некоторому базису вп, вг, ..., с„, а через Ь, — элементы этой матрицы. Согласно (8.53) для вычисления координат с... дискри- мииантного тензоРа в базисе ЕР, ем, ..., сл достаточно знать значение координаты с,, Используя формулу (8.19) преобразования координат тензора и соотношение (8.54), получим, переходя от выбранного ортонор- мироэанного базиса к базису сп, сг, "., Ел, с,, „,=Ь,вЬ*,...Ьле~,в, с в (й 'в ", вл) = де1 (Ьв| ) = де1 В. 1гл.
в тензояы 250 Пусть е>.> — координаты метрического тензора в базисе ен, е, , е„ Так как матрица 6 = (Ви;.) есть матрица билиней- иоЙ формы е» х'х>', представляющей собой скалярное произведение векторов х н у с координатами х' и у', то прн переходе от данного ортонормированного базиса (в котором матрица Е рассматриваемой билинейной формы является единичной) к базису е>, ег,, е,, справедлива формула 6 = В'ЕВ, Отсюда следует, что де1 6 = >)е1 В' де1 Е де1 В = (бе1 В)'. Обозначая де16 через е, получим из последнего соотношения де1 В = >- ъ> е Обращаясь и соотношениям (8.55), мы получим, что с>че „= ->- у>е Таким образом, в произвольном базисе е„е„..., е„выражение для координаты с>г„, днскриминантного тензора имеет внд с>г ...л ~ ~ в~ В~ (8.56) где е — определитель матрицы (д») метрического тензора в базисе е„е„, е,. Отметим, что в формуле (8.56) знак плюс соответствует правому базису, а знак минус — левому.
5. Ориентированный объем. Введем в ориентированном евклндовом пространстве Е" так называемую а ф ф и н н у ю с ис т е м у к о о р д и н а т, определив ее как совокупность фиксированной точки О с координатами (О, О,, О) и базиса е„ев, ..., е„. Координаты любой точки М в Е" определяются в этом случае как координаты в базисе е„ е, е„ вектора РМ, Рассмотрим в Е" занумерованную систему из п векторов г л х, х, ..., х (8.57) и рассмотрим всевозможные векторы ОМ, определяемые соотношениями > г И ОМ = а,х + авх+ ... + а„х, (8.58) при всевозможных а„удовлетворяющих неравенствам О е а, < 1, >=1, 2,...,п.
Множество всех точек М пространства Е", определяемое соотношениями (8.58), образует так называемый и-м е р н ы й и а р а л л е л е п н п е д в Е", натянутый на векторы (8.57). >> г в~ О р и е н т и р о в а н н ы м о б ъ е м о м )> (х, х,, х) этого параллелепипеда называется число г л~ 1 в л )> х х, ..., х — с>, > х'гх ...х~ (8.59) З 3) МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР ОПЕРАЦИИ В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ»51 При этом с,,1, 1„— координаты дискриминантного тензора в ба- 1 2 л зисе ви е„..., в„, а х", х",, х" — контравариантные коордиг л наты векторов х, х,, х в этом же базисе Термин «ориеитироааиный объем» объясняется тем, что в случае, если векторы (8,57) образуют правый базис, ориентированный объем положителен («' > О), а в случае левого базиса — отрицателен (»' < О) Отметим, что при и = 3 ориентированный объем, вычисляемый для и = 3 по формуле (8.59), представляет собой обычный объем з параллелепипеда, натянутого на векторы х, х, х, взятый со знаком г з +, если тройка х, х, х правая, и со знаком —, если эта тройка левая.
6. Векторное произведение. С помощью дискримииантного теизора можно записать в трехмерном пространстве Е' в тензорном виде векторное произведение Такая запись широко используется при различных вычислениях в так называемых криволинейных координатах Пусть с; „ — координаты дискриминантиого тензора в данном з базисе вн е„ез пространства Е Поднимем у этого тензора первый индекс 1 с помощью метрического тензора д1, т. е. рассмотрим тензор с1» Тогда координаты 21 вектора х = (ху ) (т. е.
векторного пРоизведениЯ вектоРов х и У) в базисе вг, ег, вз имеют вид 2' = С)«Х'У'. (8.60) Так как с»зх1~' представляет собой тензор типа (О, 1), то з' можно рассматривать как контравариантиые координаты вектора. Поэтому, чтобы убедиться, что 2' действительно представляют собой координаты векторного произведения, достаточно обратиться к какой-либо определенной системе координат и непосредственно провести проверку Эта проверка элементарна для ортонормированного базиса и предоставляется читателю. Соотношение (8.60) может служить основой для введения векторного произведения п — 1 вектора в Е" 2 «-1 Пусть х, х,, х — какие-либо и — 1 вектор в Е".
Определим 1" 1 2 л-11 координаты 21 векторногопроизведения в =(хх ..х) с помощью соотношений 1 С 1, г, л-1 2 ллСг 1 1 Х»Х» Х»Л 1 (8,61) В соотношениях (8.61) с»,1, 1„, — координаты дискриминант! 1 2 л 1 ного тензора с поднятым первым индексом, а х', к1», ..., х "-»в 1 2 л-1 контравариантные координаты векторов х, х, ...,х. 2о2 те наоры [гл. а 7. Двойное векторное произведение. Иэ векторной алгебры известна следующая формула для двойного векторно~о произведения (а (Ы )! векторов а, Ь и с( !а (Ьа')! = Ь езФ) — а'(аЬ). (8.62) Используя соотношение (8 60) и формулу (8.43) для скалярного произведения векторов, перепишем (8 62) следующим образом: с„',а~с',Ь й" = Ь'амане(' — И'дца~Ь~.
(8.63 ) С помощью (8.63) мы получим формулу, связывающую тензоры Е см и дм, которую в свою очередь используем для записи координат двойного векторного произведения. Проведем следующие преобразования в формуле (8.63) В первом слагаемом Ь'ума~с(' в правой части (8.63) заменим Ь' на Ь 6' ) и индекс суммирования! заменим на и. Во втором слагаемом в правой части (8.63) положим с(' = и"б,' и индекс суммирования ! заменим на лт.
После этих преобразований формула (8.63) примет вид (се,сс „) ааЬ Н = (тта.б~ — и» 6~) паЬ с(". (8.64) Так как соотношение (8.64) справедливо для любых векторов а, Ь и с(, то оно представляет собой тождество относительно координат ае, Ь" и Р этих векторов, и поэтому для любых индексов 1, й, пт, и имеет место равенство са1с~тп = канбт кьнбн' т с с [ (8.65) Обозначим через г' координаты двойного векторного произведения (а(ЫИ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
