Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 65
Текст из файла (страница 65)
В этом случае будем писать: Л* у) Ьу(у) Рассмотрим теперь базу В = (Ы), заданную на множестве У, Определение 2, Если у(х, у) сходится к у(у) по базе В, а функция у(у) сходится к 1~ по базе П, то число 1~ назовем повторным пределом функции 7(в,у) по базам В и О. Зтот предел будем обозначать символом 1пп!!шу(х, у) = !ь и и Изменяя порядок выполнения предельных переходов, можно рассматривать еще одни повторный предел, а именно, 1!гп)капу(х, у) =!т. в и Далее введем понятие двойного предела по базам В и П.
Определение 3, Рассмотрим в качестве основного множества декартово произведение Х х У, состоящее из всевозможных оар (я, у), где х б Х и у б У, и рассмотрим определенную на нелг базу Н, составленную из всех возможных сочетаний Ь вида Ь = 6 х Ы, где 6 б В и И с О. Зту базу будем называть декартовым произведением баз В и В и обозначать: Н.= В х П, Легко убедиться в том, что множество Н действительно образует базу множеств. В самом деле: 1) каждый ее элемент Ь = 6 х Ы, очевидно, не пуст и 2) пересечение любых двух ее элементов Ь| йЬ~ = = (6| х 4) г! (Ьз х 4) содержит некоторый третий элемент Ьз — — Ьз х Из, где окончания Ьз б В и дз б О удовлетворяют условиям Ьз С 6| Г! Ьт и г!з С А Й Ат.
407 Т е о р е м а 1 (теорема о двойном и повторном пределах по базам в в множеств). Пусть /(х,у) '=6Г1(у) и /(х,у) -орз(х). Тогда существуют оба повторных предела: 1ип1пп/(х,у) =1ы 1(гп1пп/(х, у) =1з в в ' ' в в и двойной предел по базе Н = В х П; 11пт/(х, у) = 1з, н причем 11 — 1г = 1з. Д о к а з а гп е л ь с т е о.
Пусть е > О произвольно. Поскольку /(х, у) =$ Р1(у), существует окончание 6 = 6(е) Е В такое, что при всех х Е 6(е) и при всех у Е У справедливо условие 1/(х,у) — Г1(у)~ < е/3. Зафиксируем какое-либо х = хо Е 6(е). В силу в условия /(хо, у)-+ Рз(хо) найдется окончание й = а(е) Е П, для всех точек у1 и уз которого имеем 1/(хо,у|) — /(хо уз)~ < е/3.
Но тогда при тех же у1 и уз справедливо неравенство = Н61(у1) — У(хо, у1)) + (У(хо, у1) — У(хо, уз)) + (У(хо, уз) — ~~(уз))! < < /Р1(у1) /(хо у1)(+ /У(хо~ у1) /(хо~уз)/+ //(хо~уз) — Г!(уз)! < < е/3 + е/3+ е/3 = е. По критерию Коши отсюда следует, что при некотором 1 имеем в Н Р~(у)-+1, те. !пп11гп/(х,у) = 1.
Теперь покажем, что /(х,у) — о1, в в в где Н = В х О. Поскольку Р~(у) -+1, для любого е > О найдется окончание Ы = о1(е) Е П с условием (Р1(у) — 1) < е/2 при всех у Е а(е). в Далее, в силу того, что /(х,у)'=$Р1(у), найдется окончание 6(е) с У условием Щх,у) — Р'~(у)~ < е/2 при всех х Е 6(е) и у Е У. Возьмем теперь в качестве а = Ь(е) Е Н окончание а(е) = 6(е) х о1(е).
Тогда для всех его элементов (х, у) имеем неравенство (/(х, у) — 1) < )/(х, у) — Р1 (у) ) + )Р'1 (у) — 1~ < е/2+ е/2 < е. Это значит, что /(х,у) 41. в Осталось доказать, что Рз(х)-+1. Для этого в неравенстве справедливом при всех (х,у) б И(е) = Ь(е) х д(е), при каждом фикси- рованном х рассмотрим предел по базе П. Тогда получим (Рз(х) — !! < с/2 < е. Это и означает, что Рз(х)-+!. Теорема 1 доказана. в Профессор Т.
П. Лукашенко обратил внимание на критерий сушествования и равенства повторных пределов по совокупности двух баз В и В, доказанный Р. А. Гордоном !32] в 1995 г. Это утверждение обобщает соответствующий критерий А. А. Маркова (1856 - 1922) для повторных рядов. Т е о р е м а 2 (критерий существования повторных пределов по базам множеств).,Пусть на множестве Х = (х) задана база В, а на множестве У = (у) — база О. Рассмотрим функцию /(х,у), определенную на декартовом произведении Х х у и удовлетворяющую следующим условиям: /(х, у) э,д(у); /(х, у) -+ 6(х). Тогда для того чтобы оба повторных предела !нп!нп/(х, у) = !ппд(у) в в ' в и !нп!1ш/(х,у) = !!гп6(х) существовали и были равны между собой, в и ' в необходимо и достаточно выполнения следующего условия: для любого е > П яайдется окончание 6(е) Е В такое, что для каждой его точки х существует свое окончание о' = и' (е) Е О, для всех точек у которого выполнено неравенство )/(х у) у(у)~ < е ,!7 о к а з а т е л ь с т в о, Необходимость.
Пусть оба повторных предела существуют и равны !. Тогда справедлива оценка Щх, у) — у(у) ! = !(/(х, у) — 6(х)) + (6(х) — '1) + (1 — у(у)) ! < < $/(х,у) — А(х)1+ $6(х) — !3+ $! — у(у)$. Так как оба, повторных предела равны 1, то для всякого г > П найдутся окончания 6 Е В и д Е В такие, что при всех х Е 6 и при всех у Е 4! имеем (А(х) — !( < е/3 и )у(у) — !! < е/3. Кроме того, при фиксированном х Е 6 в силу усдовия /(х,у) 46(х) в найдется окончание Ыг Е О, для всех точек у которого выполнено неравенство !/(х, у)-6(й)( < е/3.
Теперь в качестве искомого окончания 6(е) возьмем окончание Ь, а в качестве И,(е) возьмем некоторый элемент до Е О, принадлежащий пересечению д и Иы т.е. И (е) = дс С 409 Ий4. Тогда для всех точек х б 6(е) и всех у б о (е) будут выполнены все три неравенства, откуда имеем ~У(*, д) — д(у)( < е.
Необходимость доказана. Досюатвочносяэь. Возьмем произвольное число е > 0 и рассмотрим окончание 6(к) б 3 из условия теоремы. Проверим выполнение критерия Коши для сходимости д(у) по базе Р. Для этого рассмотрим фиксированную вспомогательную точку х б 6(е) и соответствующее и ей окончание Иэ(е) базы Р.
Далее, в силу сходимости у(х,у) эЬ(х) из критерия Коши следует, что при данном э найдется окончание Н б Р такое, что для всех уы дэ б Ы справедливо неравенство ~Дэ, д~)- у(х, дэ) ~ < е. Возьмем теперь окончание аэ С 4 ~о' (е). Для любых точек д~ и ую принадлежаших окончанию пэ б Р, величина Ь = (д(у~) — д(уэ) ~ оценивается так: э < )д(у~) — у(г у~)(+ )7(х,у~) — у(я уэ)!+ )у(х,уэ) — д(уэ)! < Зе. о Это и означает, что при некотором 1 имеет место сходимость д(у) -+Ь н Осталось показать, что Ь(х)-+Ь Для этого снова возьмем произвольное число е > 0 и соответствующее ему окончание 6(е) е В, и для каждой фиксированной точки х б 6(е) оленям величину Ь~ — — (Ь(х) — 1(.
и и Из условий у(х, у) -э Ь(з) и д(д) -+1 следует, что существует окончание И б Р такое, что для всех у б о выполняется неравенство !Дх,у) — Ь(г)(< е и (д(у) — 1/ < е. Возьмем вспомогательную точку д б о' Г1 а;(е). Тогда справедлива оценка Ьд — — !Ь(х) — Ц < !Л(х) — у(я,у)!+ !~(х,у) — д(у)/+ /д(у) — Ц < Зж в Другими словами, имеем Ь(х)-+1. Теорема 2 доказана полностью.
Замечание. Если в формулировКЬ теоремы 2 положить И (е) = У, то получится условие равномерной сходимости по базе В относительно множества У. В этом случае утверждение теоремы 2 будет следствием теоремы 1. Таким образом, теорема 2 позволяет осушествлять перестановку предельных переходов при более слабых ограничениях. Однако при этом двойной предел в общем случае уже не существует, так что обе теоремы имеют свои сферы применения. Тем не менее если в условии теоремы 2 считать, что в качестве Ы,(е) можно взять окончание н(е) одним и тем же вне зависимости от точки х б 6(е), то двойной предел существует и равен повторному. Отметим также, что утверждение теоремы 2, являясь критерием суШествования и равенства повторных пределов, симметрично относительно двух рассматриваемых баз, в то время как в ее условие обе базы входят неравноправно.
Это дает определенную свободу выбора при ее использовании. 410 Леипия 12 1 8. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Напомним, что степенной ряд — это ряд вида ~', а„(х — хо)" = А(х), о=о 'где хо — фиксированное вещественное число. Основные свойства степенных рядов практически не зависят от.
хо, н поэтому часто считают, что хо — — О. Примерами степенных рядов являются рассмотренные ранее ряды Тейлора. Оказывается, что всякий степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы. Рассмотрям вопросы, связанные с определением области сходимости степенного ряда. Определение 1. Число В называется радиусом скодимости степенного рада 2, о„(х — хо)", если этот ряд сходится при всех х с условием (х — хо! < В и расходится прв )х — хо) > В.
Корректность определения обеспечивается следующей теоремой. Т е о р е м а 1 (теорема Коши — Адамара). Пусть задан степенной ряд 2 /о(х) = ) а„(х-хо)". Рассмотрим числовую последовательность Ь„= )а„)~! . Тогда: !) если Ь„является неограниченной последовательностью, то этот ряд расходится нри всех х ф хо; 2) если Ь„огранвчеиа я ! = 1пп Ь„ф О, то В = 1/1; оооо 3) если 1пп Ь„= О, то данный ряд сходится при всех х б Е. о-~сю Напомним, что для всякой ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
Д о х а з а ш е л ь с т е о. Для краткости записи будем считать, что число хо равно нулю. Для общего члена числового ряда имеем равенство )/ (х)( = )а„х") = Ь"„ (х)" = (Ь„ )х))™ . В случае 1) общий член /„(х) не стремится к нулю и потому ряд расходится. В случае 2) при фиксированном )х) < 1/! и любом п > во, применяя прязнак сходимости Коши в предельной форме к ряду 2 )/„(х)), имеем !пп цо(х)) ~ = х 1пп Ь„< !/! = 1.
Это значит, что все х < 1/! принадлежат области сходимости ряда. Если же ~х( > 1/1, то легко видеть, что общий член ряда, как и в случае 1), не стремится к нулю н ряд тоже расходится. 4И В случае 3) сиона согласно прнзнаку Коши прн всех х имеем 1пп [Д(х)!'/" = ]х! 1пп 6« = О < 1, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
