Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Но так как р„(х) непрерывна, то у точки х найдется некоторая бокрестность, где б = б(е) > О, для всех точек у которой имеем р„(у) < е. Совокупность всех таких окрестностей полностью покрывает отрезок 1, и в силу того, что он является компактом, из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие О(бы х~),..., 0(бю хь). По построению каждому из чисел хы,,,,хь соответствуют свои номера пы...,пь и функция р„,(у),...,р„„(у) такие, что 0 < р,(у) < е при всех у б О(б„х,). Положим иа = пьах~<,<хи,. Тогда имеем О < р„,(у) < < р„,(у) < е при любом у б 0(б„„а„,) и а = 1,...,х, Поскольку каждая точка у из отрезка 1 входит в некоторую такую окрестность, в каждой нз них выполняется неравенство О < р„,(у) < г. Но тогда для всех и > па — — па(е) и одновременно для всех у б 1 имеем ]ра(у)] < е, т.е.
р„(х) =$0 при и -+ оо. Теорема 1 доказана. У Если в теореме 1 в качестве р„(х) рассматривать последовательность остатков г„(х) функционального ряда 2,'а„(х) с условием а„(х) > О, то вместе с доказанной ранее теоремой о сохранении непрерывности суммы ряда при его равномерной сходимости мы получим следующий критерий.
Т е о р е м а 2. Для того чтобы сумма ряда, составленного нз непрерывных я неотрицательных функций на отрезке 1 = (а,б], была также непрерывна на 1, необходимо н достаточно, чтобы ряд сходился равномерно на этом отрезке. Замечание. Для справедливости утверждения теоремы 1 существенно, что отрезок 1 является компактом.
Если, например, в ее условии отрезок 1 заменить интервалом, то она уже не будет верной. Это 4о~ подтверждает разобранный ранее пример ряда „'! ,'х(1 — х)", который не является равномерно сходящимся на интервале (0,2). 2 6. ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДА Наша дальнейшйя цель состоит в нахождении условий, обеспечивающих возможность почленного дифференцирования и интегрирования функциональных рядов. Понятие равномерной сходимости ряда и здесь играет главную роль.
Обратим внимание на то, что теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда означает, что А(хе) = )пп А(х) = 1пп (!пп Аи(х)) = 1(п! ~~ аи(х) = аи(ао) = 1пп Аи(хо) = 1пп ( 1пп Аи(х)). »»-»оо ~-+о» о-»оо Другими словами, эта теорема позволяет менять порядок выполнения двух последовательных предельных переходов вила х -+ хо н и -! со, Далее будет доказано утверждение весьма общего вида, а пока отметим, что почленное дифференцирование, как и почленное интегрирование, тоже можно рассматривать как изменение порядка выполнения предельных переходов относительно двух баз множеств разного типа. Рассмотрим вопрос о почлснном интегрировании ряда. Т е о р е м а 1. Сумма А(х) равномерно сходящегося на ! = (а, (»] ряда 1 аи(х), составленного из функций, интегрируемых яа (а,(У) по Римвлу, тоже является интегрируеэяой по Риману функцией, причем Д о к а з а ш е л ь с и! е о.
Согласно критерию Лебега интегрируемости функции по Риману мера множества Ти точек разрыва каждой из функций а„(х) равна нулю. Но тогда объединение Т всех таких множеств, Т = ОТ„, также имеет лебегову меру нуль. Все остальные точки промежутка Е будут общими точками непрерывности одновременно для всех функций аи(х). Поэтому в силу равномерной сходимости ряда ,'! ,'аи(х) сумма А(х) этого ряда будет сграничена и в этих точках непрерывна. Другими словами, тогда лебегова мера точек разрыва ограниченной функции А(х) тоже равна нулю и 402 согласно критерию Лебега А(х) ннтегрируема по Риману на [о, В].
Тогда при всех и Е И имеем А(х)ах = А„(х)Нх + г„(х) Но так как г„(х) =$ О прн и -+ со, то зир[г„(х)] = р„ -+ О при и -» со. 1 1 Отсюда получим А(х) ~)х — А„(х) ах / ( ]г„(х)] Их < « Ф < ~ р Нх = р~(Д вЂ” о) -» О прн и -+ оо, « с .ЦС -««) = вХ =/А1*1« =/ ~"„Ь)г* = г» С« а,',(х)Их = ~~~ (а„(1) — а«(хе)) = ~~1 6„(1). «=1 «« «=1 «=1 т.е. ( — ~ 6») -+О при п -» оо и В = ~ 6». Теорема 1 доказана. »=1 »«1 Полученный результат позволяет весьма просто доказать первое правило почленного дифференцирования рзща. Т е о р е м а 2. Ряд ~' а„(х) можно ночленно дифференцировать, 1) он сходится в некоторой точке хе отрезка 1 = [а, В]; 2) производные всех его слагаемых а„(х) существуют и непрерывны на 1; 3) ряд ~,а„(х), составленный из этик производных, равномерно сходится на отрезке 1.
Точнее, имеем: 1) ~ ,',",, а»(х) = А„(х) =6 А(х); 2) А'(х) = ~„а'„(х). Д о к а з а в1 е л ь с ю е о. Условия данной теоремы позволяют применить теорему 1 для почленного интегрирования рзща ~ а„(х) на отрезке с концами хз и 1 при любом Ф Е [о,Д. При этом с помощью формулы Ньютона — Лейбница получим Это равенство означает, что А'(С) = Вс(4) = 1 а'„(С). Осталось показать, что ряд 1 а„(х) сходится равномерно на 1. Имеем с с 4,(С) = / г,',(х) с1х = з~ ~~~ а„'(х) с(х = лев+с со (аьЯ вЂ” ак(хо)) = ~ Ь (1), сс (С) = В(1) — ~ ~Ьа(Ь).
Лак+1 Но г„(х) =$0 при и — л со, поэтому сушествует последовательность р„ с с условиелс р„-+ О и )гс(х)! < р„при всех достаточно больших п > ссо и всех х Е 1. Следовательно, Это значит, что ф„(х)=$0 при и -+ со, т.е. ряд 1 Ь„(1) сходится г равномерно на l, а вместе с ним и ряд 1 а„(х) тоже равномерно сходится, так как А(1) = ~ а„Я = ~ Ь„Я+ Л а„(хо), где ~;а~хо) — - сходншийся числовой ряд. Теорема 2 доказана. ТеоремаЗ. Пусть; 1) ряд 1 а„(х) сходится в некоторой точке хс б1= (о,Д; 2) ряд ~ , 'а'„(х) равномерно сходится на 1. Тогда ряд „'с ,'а„(х) тоже равномерно сходится на 1, причем его сУмма А(х) имеет пРоизводнУю А'(х), РавнУю сУмме РЯда 1,ав(х). Заметим прежде всего, что здесь нельзя воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница, поскольку функции а'„(х) могут уже не интегрироваться по Риману и необходимо действовать по-иному.
,11 о к а з а и е л ь с и в о. Докажем сначала, что исходный ряд а„(х) равномерно сходится на 1. Для этого проверим выполнение для него критерия Коши. Точнее, мы будем рассматривать разность что допУстимо, так как 1 а„(х) = 1 а„(х) + 1.'а„(хо), где числовой Рад 1 а„(хо) сходитсЯ. 404 Применяя к отрезку ряда ~ И«(х) формулу конечных приращений Лагранжа, при некотором 1 е (хо, х) будем иметь «+р «ер «+~ Т = ~~~ Ьа(х) = ~~~ (аа(х) — аа(хо)) = ~~~ (х — ха)а'„(1) а«»+1 Но тогда по критерию Коши для любого а > О и при достаточно большом и > по и любом р Е И имеем «+р Т < [х — ха[ ~~', а'„(~) < г[х — ха) Й««+1 Поскольку е > О произвольно, это означает, что условие критерия Коши для ряда ~,6«(х) тоже выполнено и он равномерно сходится вместе с рядом ~ а«(х).
Теперь необходимо показать, что его сумму А(х) можно дифференцировать, причем производная суммы равна сумме производных во всякой точке ха отрезка 3 = [о, Д. Для этого рассмотрим отношение ЬА(х) А(х) — А(х1) ЬА„(х) Лг„(х) + — «+ « Лх х — х1 Ьх зх где и Е И произвольно.
Снова применяя формулу конечных приращений, для величины Л„ получаем оценку 'г«(х) — г«(х1) х , аа(х) — аа(х~) = 1пп < х — х1 ~ С« х — х1 а=«+1 < ацр ~ ~~ < ацр ~ а'„(1) = Ть аа(х) — аа(х1) а««+1 х — х1 ~ 1еу [ - . а««+1 рея В силу равномерной сходимости ряда ~ а'„(х) величина Та при любом заданном значении е > О и достаточно большом и > п1(е) становится меньше, чем е. Поэтому при таких п имеем [Л [ < г. Полагая О(х) = ~ а'„(х) и 0„(х) = ~" а~,(х) = П(х) — А«(х), при тех же п и а««~;1 всех х Е 1, очевидно, имеем оценку [д„(х)[< Т1 < е. Далее, функция А«(х) дифференцируема при любом х, поэтому ЬА„(х) О« = " = А„(х1) + у«(х), Ьх где ъ,(х) ~ О при любом фиксированном и и х -+ хь Зафиксируем теперь какое-либо и > пе(е), например и = пе(е)+1, и выберем число Ю(е) > О так, чтобы при данном и и всех х с условием О < (х — хе) < Ю(е) выполнялось неравенство у„(х) < е.
Тогда для всех такик х имеем — — Р(х1) — ~Р„+ В„Р(х1)(— ЬА(х) Ьх = (А„(х1) + ув(х) + В~ — Р(х1Ц = ~'уп(х) — 4,(х1) + В~ ( < Зе, а это значит, что ЬА(х)/Ьх -+ Р(х1) при Ьх -+ О или А'(х) = Я а'„(х). еж1 Теорема 3 доказана полностью. Лекпмя 11 ! 7. ДВОЙНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ПО БАЗЕ МНОЖЕСТВ Встречавшиеся ранее примеры равенства повторных пределов различных типов ясно подсказывают целесообразность выработки возможно более общего взгляда на этот вопрос. Здесь мы рассматриваем его в связи с еще одним понятием — понятием предела по совокупности двух баз. Нам потребуется ряд новых определений. Определение 1. Пусть функция т(х, у) определена на декартовом произведении Х х У двух множеств Х и У, т.е.
на множестве всех пар (х,у), где х б Х и у б У. Пусть на множестве Х задана иекотораи база В. Будем говорить, что функция 7'(х, у) сходится к функции у(у) по базе В равномерно на множестве У, если для всякого 'с ) 0 найдется окончание 6(е) Е В такое, что при всех х б 6(е) независимо от у б У справедливо неравенство )у(я, у) — у(у)) < е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
