Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Это значит, что х = 0 — точка разрыва функции А(х). Но если бы сходимость была равномерной, то функция А(х) была бы непрерывной в силу теоремы 112, поскольку а„(х) = х(1 — х)" непрерывна в нуле. Но зто не так. Следовательно, равномерной сходнмостн нет. 2. Если А„(х) = х", то на множестве М = (О, Ц равномерная сходимость не имеет места. Действительно, в теореме 3 положим е = О, 1 и при каждом т > 1 возьмем п = ги, х = 1 — 1/т, р = т. Тогда будем иметь ~Ат(хт) — Атт(х«)! = ! — — ) 1 — — 1 — 1 — — ) — — >0,1=с. Таким образом, по критерию Коши в форме теоремы 3 последова- тельность А„(х) не является равномерно сходящейся. Задача.
Пусть функции Г"„(х) непрерывны иа [О, 1] при всех и б г1 и Уп(к) -+ Уо(х) при п -+ со. Доказать, что 1о(к) имеет точку непрерывности на (О, 1). 1 4. ПРИЗНАКИ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ Докажем три признака равномерной сходнмости функционального ряда, принадлежащие Вейерщтрассу, Абелю и Дирихле. Эти признаки дают достаточные условия для равномерной сходимостн, но они не являются необходимыми, т.е, ряд ~,'а„(я) может сходиться равномерно, но не удовлетворять любому из вих.
Впрочем, та же ситуация имела место и для сходимости обычных числовых рядов. С другой стороны, отметим, что они соответствуют признакам сходи- мости числовых рядов того же названия и развивают заложенные в них принципы. Рассмотрим сначала следующий критерий равномерной сходимостн для бесконечно малой функциональной последовательности. Т е о р е м а 1.
Дли того чтобы 6„(х) =40 при и -+ оо, необходимо М и достаточно, чтобы существовала числовая последовательность 11„с условием )1„-+ 0 при и -+ оо и (6„(к) ( < б„для каждого и с И и для всех я б М. ,Ч о к о з а гп е л ь с гп и о. Достаточность. Пусть такая последовательность (1„существует, Тогда для любого к > О существует номер по =- пс(к) такой, что для каждого п > па справедлива оценка 1У„< е.
Но тогда при тех же и и всех х б М имеем (6„(х)) <;3„< е, г.е. 6„(х) =40 при и -+ со. М Необходимость. Пусть 6„(х) =60. Положим 3„= зцр ~6„(х)!. Пом атем скольку для любого е > 0 существует номер пс = ис(е) такой, что для каждого и > по справедливо неравенство ~6„(к) ~ < е, при тех же п имеем ~3„= апр )6„(к)! < е. Это значит, что б„. О при и -+ оо. хам Теорема 1 полностью доказана. Замечание. Последовательность о„в доказанной теореме называется мажорантой для 6„(к), и утверждение этой теоремы означает, что равномерная сходимость бесконечно малой функциональной последовательности равносильна существованию бесконечно малой ее мажоранты.
Теперь рассмотрим признак Вейерштрасса для равномерной сходи- мости функционального ряда. ОпРеделение 1. СходЯщийси числовой РЯд 2 Рп с Условием Рп > 0 при всех и называется мажоранто(й функционального ряда 2 а„(х) на множестве М, есля для каждого и Е И и всех х Е М справедлива оценка ~а„(х)~ < рп. Говорят также, что ряд ) 'ап(х) мвжорируетси рядом ~ рп на множестве М. Т е о р е м а 2 (признак Вейерштрасса).
Пусть функциональный ряд а„(х) на множестве М имеет мэжораяту ~ рп, Тогда он равномерно сходится яа этом множестве. ,1Т о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно установить, что остаток ряда г„(х) равномерно сходится к нулю на М. Но заметим, что при любом фиксированном х Е М числовой ряд 2 а„(х) сходится, поскольку имеет мажоРантУ 2„Р» = Р. КРоме того, пРи каждом фнксиРованиом х имеем си сп»о (г„(х)| = ~ ~ ~а (х) < ~ )а„(х)! < ~~ р1, — — р„, 19=»+1 9=»+! а=»+1 где рп — остаток числового ряда 2,'р„и рп -+ 0 при и — л оо. Но по теореме 1 это означает, что гп(х) имеет бесконечно малую мажоранту рп. Следовательно, г„(х) 60, т.е. ряд 2,'а»(х) равномерно сходится. м Теорелла 2 доказана. Т е о р е м а 3.
(А) (признак Абеля). Пусть: 1) ~„ап(х) =6 А(х); М 2) последовательность 6»(х) равномерно ограничена на М,' й) пря всех фиксированных х Е М числовая последовательность 6»(г) монотонна. Тогда ряд Е)п(х) А»(х) = ап(х)6»(х) равномерно сходится на М (Д) (призиак Дирихле). Пустяк 1) частичные суммы Ап(х) равномерно ограничены на М; 2) 6»(х)-40 пря и -+ оо; М 3) при всех фиксированных х Е М числовая последовательность 6»(х) монотонна.
Тогда ряд 5 Ьп(х), Ь»(х) = ап(х)6»(х), равномерно сходится на М. Д о к а з а т е л ь с т е о. Применим ту же схему, что и при доказательстве одноименных признаков для числовых рядов. Как и раньше, сначала будем считать, что последовательность 6»(х) Убывает и 6»(х) > 0 длЯ каждого и Е 11. ПвименЯЯ пРеобРазование Абеля к частичным суммам ряда ~„"Ьп(х) и используя обозначения Ол(х) = ~~~ А (х), Ал(х) = ~ ~а,п(х) тпп+1 ~ппп+1 397 для отрезков рядов 2' И„(х) и 2, а«(х), получим «+р !Нр(х)( = ~~! аь(х)6|(х) = ь««+! «+р- ! = А„+р(х)Ь„ер(е) + „р А„(х)(Ье(х) — Ьь+!(х)) < «««+! «+р-! < (А„+р(х)~6„+р(х) + епр (Ае( «! (Ьь(х) — Ьье!(х)) = «<«<«+р ' = 6„+!(х) епр (Ае(х)).
«<ьб«+р Рассмотрим случай (А). В силу равномерной сходимости ряда 2 'а„(х) и согласно критерию Коши для любого е > О существует номер пе — — пе(е) такой, что для каждого й > пе справедливо неравенство епр (А„(х)! < е.
Кроме того, в силу равномерной ограниченности 6„(х) при некотором С > О для каждого и Е 1Ч и для всех х Е М имеем 6„(х) < С. Следовательно, при и > пе справедлива оценка !Н (х)~ < Се. В силу произвольности е > О это означает выполнение условия критерия Коши для равномерной сходимости ряда 2 Ь„(х), т.е. в случае (А) теорема доказана. Рассмотрим теперь случай (Д).
При этом в силу равномерной ограниченности сумм Ае(х), а вместе с ними и Аь(х) = Аь(х) — А„(х) найдется число С > О такое, что ~А~(х)) < С при всех 6 Е И и всех х Е М. По критерию Коши при достаточно большом и > пе(е) в силу п. 2 имеем 6„(х) =$0 при и -+ со.
Тогда получим (Ь„+!(х)( < е, откуда, м как и раньше, получим (Нр(х)! < Се, Тем самым утверждение (Д) тоже доказано. Осталось освободиться от ограничений: 1) последовательность Ь„(х) убывает; 2) 6„(х) > О при всех и. Для того чтобы снять ограничение 1), можно поменять знаки на противоположные у всех функций а„(х) и 6„(х) одновременно. Тогда условие возрастания 6„(х) переходит в условие убывания 6„(х), а все условия на ряд 2 а„(х) сохраняются. Чтобы освободиться от ограничения 2), рассмотрим функцию 6«(х), где Ьо(х) = !п16„(х) = 1пп Ь„(х). 398 Тогда Ь„(х) = 6е(х) +[ул(х), где 4,(х) > 0 чх Е М н дл(х) убывает.
Отсюда ал(х)6 (х) = Ьо(х) ~ а„(х) + ') а„(х)Д,(х). В случае (Д) первое слагаемое равно нулю, а в случае (А) оно представляет собой равномерно сходящийся ряд. Второй же ряд удовлетворяет условиям теоремы и обоим сделанным выше допушениям. Тем самым теорема 3 доказана полностью. Докажем следующий изящный критерий равномерной сходимостн синус-ряда (см. [36),[37]).
Т е о р е и а 4 (Критерий Чоунди — Джолнффе равномерной сходи- мости тригонометрического синус-ряда). Пусть 6„— положительная, монотонно убываюшая последовательность. Тогда для равномерной сходнмостн ряда ~ Ь„в!ппх на Й необходимо н достаточно, чтобы лл! [пп пЬ„= О. ,[[ о к а з а рл е л ь с т е о. Необходимость.
По критерию Коши имеем, что для любого е > 0 найдется пе = пе(е) такое, что при всех т > по, всех п > по и всех х б [О,я) справедливо неравенство л Ььв!пйх < е, Возьмем и! = [и/2) и х = я/(4п). Тогда при е=п~+! т + 1 < 6 < и получим в[п Ьх > в!п е/4 = ~/2/2. Следовательно, л Ьь в!и Ьх > (и — т)Ь„ъГ2/2 > пЬл!/2/4. Ьлп~+! л+р Е= ~~! Ь!,в!пбх < Е!+Ее, в=о+1 где л+р 6евшйх .
йл[к/е[ [е[е[ Ье вш йх е=л+! Таким образом, для любого е > 0 нашлось число пр — — по(е) такое, что при всех и > по выполняется неравенство )пЬ„~ < 4е/!/2, т, е. [[и! п6л = О. Необходимость доказана. л~оо Достаточность: Так как для любого натурального числа и функции' в!и нх — периодические с периодом 2е и нечетные, то достаточно доказать равномерную сходимость рассматриваемого ряда только на отрезке [О, е).
Из условия теоремы имеем, что для любого е > 0 найдется пе — — по(е) такое, что при всех и > пе справедливо неравенство )пЬл! < е Возьмем любое и > пе и любое р > 1 и оценим сумму При 1р < я/х имеем в)пг < 1, поэтому 1'/! в Ег < Š— 1рх<в . в =п~+1 Для оценки суммы Ег применим преобразование Абеля. Получим и+в в1п Йх й =(зг/х) Ег < 6(~~в)~1 шах 1<д<р [т/ ]+1 х поскольку функция в1п1/1 монотонно убывает при О < 1 < и/2 и сов (и + д — 1/2)х — сов ([х/х) + 1/2)х 1 я < < —. 2в1п х/2 в)п х/2 — х в)п 1 В=~в/в) [37). Следовательно, Е < в(и+1). Таким образом, для любого в > О нашлось число пв = пв(в) такое, что для всех п > пв, для всех р > 1 и для любого х Е 1й выполняется неравенство Е < в(х + 1), что в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда означает равномерную сходимость ~.
6„в)ппх. Теорема 4 доказана полностью. в=1 Отметим, что интересные обобщения этой теоремы даны Г. Х, Харди Лекпзгн 10 1 5. ТЕОРЕМА ДИНИ Докажем теорему Дини, которая важна для прояснения сущности понятия равномерной сходимости. Т е о р е м а 1 (признак Дини). Пусть последовательность неотрицательных фуякций р„(х), непрерывных яа отрезке 1 = (а,б], сходится аоточечпо к нулю на этом отрезке, причем р„(х) > р„+~(х) при всех х б 1 и прн всех и б )Ч. Тогда эта сходимость равномерная на отрезке 1, т.е, р„(х) ч О ари п -+ оо. ,11 о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду поточечной сходимости последовательности р„(х) к нулю для всякого г > О и для каждой точки х б 1 можно указать номер п = п(е, х) такой, что р„(х) < с~2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
