Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Для того чтобы подчеркнуть отличие от него введенного выше понятия простой сходимости, последнюю называют еще поточечной сходнмостью. Важные примеры функциональных рядов возникают иэ разложения различных функций по формуле Тейлора. Например, разлагая в точке хэ —— О функцию л = э!пх при х б %, имеем .з .тэ-! э!па = х — —, + + ( — 1)" + г„(х), 3! (2п — 1)! заэ где г»(х) — остаточный член формулы.
Записывая его в форме Лагранжа, получим 1'»(х) = — егп 11» ) (2и)! при некоторой точке г с условием, что опа лежит между точками 0 и х. Отсюда ,(1» !»( И< —. в (2и)! ' Но пря и > х имеют место следуюпн1е неравенства: 1» 1 (2и)! > и, — «вЂ” в+1 (2и)! из и ' т.е. г»(х) -+ 0 при и -+ оо.
Таким образом, полагая ( 1)»-1Х2»-1 и» (х)— (2и — 1)! при всех х Е Й имеем разложение в1пх = 7,' а„(х). „, Л"))в) » Определение 7. Степеяяой ряд 2,'„с"-„-) (х — а) называется рядом Тейлора фувкпии у(х) в точке х = а, а также разло1иеннем функнны у(х) в ряд Тейлора в этой точке. Примеры рядов Тейлора для некоторых функпий: 1) е = Я »в , (Ух Е В); »вс »О 2) 1п(1+х) = ~(-1)» 1»» (-1 < х < 1); »»1 3) з1пх = ~ (-1)» ~ф--т, (Ух Е В); »»1 4) созе = ~" (-1)»(р„-р (тх Е В); »=О 5) )1'.. ° )' = 1< в -) — ) — '") — )*" )-1 «* ~)' »ш1 6) агсткх = ~ (-1)» ' 1„, ((х! < 1); »=1 7) агсз1пх = х+ ~ (.~~~~в 1»+1 ((х! < 1), »=1 1 2: РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЪ Онределевве 1.
Пусть последовательность фувкпвй (г„(х)) сходятся к нулю прв всех х б М. Тогда говорят, что г„(х) сходвтсн и нулю равномерно ва множестве М, если для любого е > 0 найдетсн такой номер по — — по(е), что пря всех п > по я одновременно при всех х б М выполнено неравенство (т„(х)( < е, В этом случае используют обозначение: г„(х) =$0 прн п -о оо. м Замечание. Слово "одновременно" в этом определепив, вообще говоря, является избыточным и его можно опустить, однако оно обращает внимание на главное отличие равномерной сходимоств от поточечиой, состоящее в том, что в первом случае число по(е) в определенвн предела одно в то же для всех точек х б М, а во втором случае оно может зависеть еще в от а, т.е. по(е) = по(е,х). Определевве 3.
Есля фувкцяя А(х) = А„(х) +г„(х), где г„(х) чО м прн и -+ со, то последовательность Ао(х) называют равномерно сходпшейсп и фувнпди А(х) на множестве М прв и -о со я это обозначают так: А„(х) =$ А(х) прн п -+ оо. м Символ М здесь можно опустнть, если по смыслу понятно, о каком множестве идет речь. Далее, если прв этом А„(х) — последовательность частичных сумм ряда ~,а„(х), то этот ряд называют равномерно сходяшнмся в А(х) на множестве М. Важность введенного понятия равномерной сходимоств видна на примере следующей теоремы. Т е о р е м а 1. Пусть каждая вз функций а„(х) непрерывна в точке хо б Й и ряд ~о (х) равномерно сходятся к функцни А(х) на внтервале 1 = (хо — Б,хо+8), где д > 0 — некоторое фиксированное число.
Тогда сумма А(х) является непрерывной функцией в точке х = хо ~7 о к а з а и! е л ь с юп е о. По определению равномерной сходвмости имеем А(х) = А„(х) + гь(х», ги (х) =$0 (и -+ оо), l и СЮ А„(х) = ~ ао(х), г„(х) = ~ ао(х).
ью! Йюь+! Используя обозначение Ь~(х) = у(х) — у(хо), где Дх) — любая функция, получим ЬА(х) = ЬА„(х) + Ьг„(х) = ЬА„(х)+ г„(х) — г„(хо). зэ! Отсюда )ЬА(х)) < )ЬА„(х)) + )еа (х)) + )г„(хо)). Поскольку г„(х)=$0 (и -+ оо), при любом е~ > 0 найдется номер 1 по —— по(е~) такой, что для всех и > по и для всех х Е! имеем )г„(х)) < сы )г„(хо)) < сь Заметим теперь, что функция А„(х) непрерывна в точке х = хо, поэтому для любого со > 0 найдется б~ = 4~(с~) > 0 такое, что при всех х с условием )х — хо) < 6~ выполнено неравенство )2аА„(х)(=)А„(х) — А„(хо)) <сь Теперь при заданном е > 0 можно взять с~ — — с/3, и тогда при всех х с условием )х-хо) < Б(о) = б~(с~) и прн и = па(с~)+1 = по(с) получим )ЬА(х)) < )ЬАз(х))+ )гп(х))+ )гз(хо)) < е1+ е1+ е1 = е.
Но это и означает, что функция А(х) непрерывна в точке х = хо. Теорема 1 доказана. Далее рассмотрим некоторые простые свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей. Определение 3. Последовательность функций (А„(х)) называется равномерно ограниченной на множестве М, если существует такое число С, что при всех и Е И и при всех х Е М имеем )А„(х)) < С.
Утверждение 1. Равномерно сходящаяся на множестве М после.- довательность А„(х), состоящая из огравиченпыт на М функций, является равномерно ограниченной на М. Д о к а з а пь е л ь с щ в о. Пусть В = зир)А (х)) хем для каждого натурального числа гп.
В определении равномерной сходимости возьмем е = 1. Тогда при всех достаточно больших п > по и при всех хбМ )А(х) — А„(х)) < 1, )А(х)) < )А„(х))+ 1 < В,„+ 1. Это значит, что А(х) ограничена. Далее, пусть Во — — зпр )А(х)), В = гпах Вю Положим С = В+ 1. аем о<о<во Тогда при и < по справедлива оценка )Аь(х)) < В < В+ 1 = С, а при й > по имеем )Аь(х)) < /А(х) — (А(х) — Аь(х))( < )А(х))+)А(х) — Аь(х)/ < <В +1<В+1=С. Таким образом, утверждение 1 доказано полностью. Попутно доказано еще одно утверждение.
392 'Утверждение 2. Если функция А(х) является ограниченной иа множестве. М и А„(х) =6 А(х), то при некотором по е 1ч фуикцио- М нальная последовательность В„(х) = А„,+„(х) равномерно ограничена на М. Следуюшие два, утверждения приведем без доказательства, поскольку они доказываются точно так же, как и в аналогичных случаях для числовых рядов.
'Утверждение 3. Пусть при и -> оо имеем а„(х) ~ а(х), 6„(х) ~ 6(х). Тогда: 1а.а„(х) + 6„(х) ч а(х) + Ь(х); м 2а. есля )6(х)! < С при некотором С > О и всех х б М, то а„(х) 6„(х) ~ а(х) Ь(х); З~.~~ф =Ф ®, если только 1/(6(х)( > С > 0 при всех х е М.
Утверждение 4. Если последовательность 4,(х) является равномерно ограниченной и г„(х)=60 при и -+ оо, то д„(х)г„(х) =60 при М м и ~ оо. Лекция 9 $ 3. КРИТЕРИЙ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Докажем теперь критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Т е о р е м а 1 (критерий Коши). Для того чтобы функциональная последовательность А„(х) равномерно сходилась на множестве М, необходимо я достаточно, чтобы для любого е > О существовал номер по = пе(е) такой, что пря всех гп > пе и и > по и всех х б М имело бы место неравенство !А„(х) — А (х)! < е.
Д о к а з а о1 е .1 ь с ш е о.Необхобиз4ость. В этом случае А„(х) =ФА(х). Таким образом, для любого е > 0 существует число М пе = пе(е) такое, что для всех п > пе и для всех х б М имеем !А„(х) — А(х)! < е/2. Но тогда при п1 > пе и и > пе имеем !Апъ(х) — Ае(х)! < !Ае(х) — А(х) ! + )А(х) — Аи(х) ! < е/2+ е/2 = е, что и требовалось доказать. Достаточносгаь. При каждом фиксированном х б М функциональная последовательность А„(х) превращается в числовую н для нее выполняется критерий Коши. Это значит, что она имеет предел А(х), т.е. предельная функция существует на всем множестве М.
Далее, каково бы ни было число е > О, по условию найдется номер п; = п1(е/2) такой, что при всех гп и и > п1 имеем !А„(х) — А,„(х)! < е/2. Снова произвольно зафиксируем х б М и устремим гп к бесконечности. Получим неравенство (А„(х) — А(х)! < е/2 < е. Но тогда, полагая пе .— — пе(е) = п1(е/2), при всех и > яе и всех х с М будем иметь !А„(х) — А(х)! < е, т.е.
А„(х)тА(х). Теорема 1 доказан . м Если А„(х) — последовательность частичных сумм функционального ряда 2 а„(х), то теорема 1 дает нам критерий Коши равномерной сходимости этого ряда. Сформулируем его в виде следующей теоремы. 394 Т е о р е м а 2. Для равномерной сходимостн ряда 2 а„(х) на множестве М необходимо н достаточяо, чтобы для любого е > 0 существовало пе — — пе(е) такое, что для каждого и > пс, н для каждого р Е И н для всех х Е М выполнялось бы неравенство «+р аь(х) < е. ь=»+1 И наконец, исходя из теоремы 2 сформулируем в прямой форме критерий отсутствия равномерной сходнмостя ряда 2 а„(х). Т е о р е и а 3.
Утверждение о том, что ряд 2,'а«(х) нлн ткледовательность А„(х) не являются равномерно сходящимися на множестве М, означает, что существует е ) 0 такое, что найдутся две последовательности (пж) н (р ) Е И, причем и +! > п, а также последовательность (хм) Е М, для которых имеет место неравенство «+р аь(х ) > е. Йа« +1 Примеры неравномерно сходящихся рядов и последовательностей. 1. Ряд А(х) = 2 х(1 — х)" сходится неравномерно на [0,2), »»О Действительно, сумма ряда А(х) при х ф 0 равна А(х) =х~ (1 — х)" =х = — =1 1 «»а и А(0) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
