Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 66

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 66)

ряд сходятся. Теорема 1 доказана. Замечание. Если [х! = В, то ряд ~„У„(х) в доказанной теореме может и сходиться н расходиться. Примером служит ряд г«1 — = 1и —, и 1 — х ««е для которого В = 1 и при х = -1 имеет место сходнмость, а при х = 1 — расходнмость. Т е о р е м а 2. Пусть В > Π— радиус сходнмостя степенного ряда ~ а„й« и г — проязвольное число с условием О < г < В.

Тогда иа отрезке [-г,г] этот ряд сходится абсолютно н равномерно, а его сумма А(х) непрерывна яа нем. Д о к а з а т е л ь с ю е о. Точка г1 — — (В+ г)/2 < В принадлежит области сходнмости ряда, поэтому при х = г1 его общий член а«г", ограничен, т.е.

[а«]г," < с прн некотором с > О н всех и. В силу того, что г < гм нмеем й""=й" (-:) =~[-:) =,; Но тогда сходящийся ряд ~ ]а«! гт < оо будет мажорантой для ~; а„х« на отрезке [-г,г]. Следовательно, на этом отрезке ряд сходится абсолютно н равномерно. При тех же условиях сумма А(х) ряда ~',а„х" является непре- рывной функцией на отрезке [ — г, г], поскольку он сходится там равномерно н его члены непрерывны. Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3.

Если В > Π— радяус сходимости степенного ряда а«х", то на любом отрезке [-г, г» С [-В, В] этот ряд можно почлепио дифференцировать и интегрировать па интервале сходимости. Яе к а з а ю е л ь с т е о. Формальное почленное дифференцирова- ние степенного ряда 2 а«х" дает ряд х ' ~ па«х" = х 1/ „,Ь„х", «=0 «=! а ннтегрнрованне его приводит к ряду х 2,' с«х« = х 2 ««+,—.

Для »«а ««е " величин [Ь«!'/« и ]с«!'/" в теореме Коши — Адамара имеем равенства ]6«!'/" = д1/«[а«!'/", [С«!'/« = (и+1) '/«]а„!'/«. Но так как (и+ 1) -г 1 при п -г оо, то по этой теореме радиусы сходимостн всех трех рядов равны н ряды сходятся равномерно на любом отрезке вида [ — г,г], г < В. Но тогда их можно почленно дифференцировать н интегрировать на этом интервале сходнмостн. Теорема 3 доказана. ит Т е о р е м а 4 (теорема Абеля). Пусть ряд [ апхп сходится в точке х = с > О.

Тогда его сумма А(х) непрерывна на отрезке ! = [О,с), Если же число с и. О, то функция А(х) непрерывна на отрезке [с, О). Я о к а з а п1 е л ь с п2 в о. Рассмотрим сначала случай с > О. Представим общий член апхп этого ряда в виде апхп = оп(х)д,(х), ГДЕ ап(Х) = а»С» И 11»(Х) = Хп/С". ТОГДа К ЭТОМУ РЯДУ На ОТРЕЗКЕ 1 = [О,с] можно применить признак равномерной сходимости Абеля, так как: 1) ряд 2 а»с» не зависит от х и поэтому сходится равномерно на отрезке 1; 2) последовательность Д(х) = хп/с" монотонна и равномерно ограничена на'1, так как [хп/сп[ < 1 при всех х б !. Но тогда сумма А(х) этого ряда непрерывна на 1.

Случай с ( О сводится к рассмотренному заменой у = — х. Теорема 4 доказана. Т е о р е м а 5 (выражение коэффициентов степенного ряда через значения производных его суммы в точке разложения). Пусть степенной ряд 2 ап(х — хо)п = А(х) имеет положительный радиус »=О сходимости В. Тогда ао = А(хо) и при всех п > 1 имеем равенства ап = А1»1(хо)/и!. /? о к а з а п2 е л ь с е1 в о. По теореме 3 равенство А(х) = ~' ап(х — хо)п можно почленно дифференцировать. Поэтому =о при х = хо имеем 4(хо) = ~~~ ап(хо — хо)п = ао »=О А'(ХО) = ~~~ ап П(ХΠ— ХО)п 1 = а1 П, п»1 .4» (хо) = ~ ап п(п — 1)(ао — хо)п = а2 ° 2!, п=2 А1~1(хо) = ~~~ ап.

п(п — 1) ... (и — к+ 1)(хо — хо)п ~ = аь lс!. Отсюда и следует требуемое утверждение. Теорема 5 доказана. 413 интервал сходимости, выходящий за пределы прежнего интервала. Рассмотрим, например, разложение вида х 1 1 ! А(х) = = 1 — х + х' — ...— 1 + х 2 + (х — 1) 2 1 + (х — !)/2 1 х — 1 (х — 1) — — — + 22222» Здесь разложение по степеням х имеет радиус сходимости Ве = 1, а по степеням (х — 1) — радиус В! = 2. Определение 3. Метод распространения области определения аналитической функции путем ее разложения в степенной ряд в точке, не совпадающей с центром первоначальной области определения, называется принципом аналитического продолжения функции. Особую ценность этот принцип приобретает при рассмотрении степенных рядов от комплексного аргумента.

Дело в том, что формальная подстановка комп.чексного числа» = а+61 вместо вещественного х в стеленной ряд ~ а„(х — хз)" позволяет естественным образом распространить область определения функции А(*) на точки комплексной плоскости. Для этого достаточно ввести понятие сходнмости ряда, составленного из комплексных чисел. Самый простой способ сделать зто состоит в том, чтобы считать ряд ~'(а„+ 16„) сходящимся к комплексному числу А+ В1, если одновременно ,'~'а„сходится к А и 2 Ь„сходится к В.

Можно очень просто показать, что для сходи- мости рядов с комплексными членами верен мажорантный признак Вейерштрасса. Но тогда если, например, ряд 2 а„х" сходится при некотором х = хе ф О, то при всех г с условием г < )хе( ряд „'> !а„! г" тоже сходитси. А если» = а+ Ь! и ф = г, то сходится и ряд 2 а„»". Это значит, что область гходимости ряда ,"> 'а„»" содержит на комплексной плоскости С круг рациуса В = !хе~ с центром в нуле. Используя принцип аналитического продолжения, можно определить значения аналитической функции и в других точках комп.чексной плоскости.

Важно, что указанная процедура, по существу, дает в некотором смысле однозначное продолжение. Такой способ позволяет однозначно продолжить на комплексную плоскость все элементарные функции. Например, оказывается, что при вещественных а и Ь имеем е'~ш = е'(сов Ь+ 1в1п Ь). Аналитические функции на комплексной плоскости играют очень большую роль в математике. Связанные с ними проблемы составляют содержание обширной ее области — теории функций комплексного переменного, знакомство с которой входит в отдельный курс. Задача. Пусть Ях) — функция, бесконечно дифференцнруемая на интервале (а,6).

Обозначим через Й„число решений уравнения з!"1(х) = О. Пусть 6„< С при некотором С и всех и Е 62, Доказать, что функция у(х) является аналитической на интервале (а,6). Лекции 13 г 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Определение 1. Рассмотрям числовую последовательность положительных чисел (6„). Формальное бесконечное произведение всех ее членов Ьг Ьг Ьз..ь« яазывается бесконечным числовым произведением, яли беско- нечным произведением, или просто произведением.

Бесконечное произведение обозначается так: ь, ь," = Пь„=Пь„. Определение 2. Конечное произведение П„вида П„= 61 ° . 6„ называется и-м частичным произведением. Определение 3. Если последовательность П„сходится к числу П ф О 1т.е. П ) О), то бесконечное произведение яазывается сходящимся 1к числу П). Если П = О, то это бесконечное произведение называется расходящимся к нулю, а есля П -> +со, то оно называется расходипхнмси к бесконечности. Если предела нет вообще, то оно называется просто расходящимся.

Утверждение 1 (необходимый признак сходимости бесконечного произведения). Если Пь„сходится, то 6„-+ 1 при л -+ оо. Д о к а э а ш е л ь с ш е о. Если П„-+ П ф О, то П„П 6„= —" -+ — = 1 при и -+ос. П„П Утверждение доказано. Утверждение 2. Сходимость бесконечного произведения Пь„влечет за собой сходнмость ряда 1п 6„, и наоборот, причем 1П П Ь. = 3 1П Ь.. ««и « Доказашельсшво, Имеем!пП„= ~ !пь».Функцияу=!пх »=1 устанавливает непрерывное взаимно однозначное соответствие между лучом (О,+со) и всей вещественной осью )й = ( — оо,+оо). Поэтому в силу положительности 6„для всех и Е И возможен переход к пределу в одной части равенства при сходимости другой его части, и при этом 1пП = 2 ~~ 1п6». Сходимость к нулю левой части равенства эквивалентна сходимости к — оо правой его части.

Утверждение доказано. Замечание. Очевидно, что отбрасывание или добавление любого конечного числа ненулевых сомножителей ие влияет на сходимость бесконечного произведения. Поэтому можно считать, что конечное число членов этого произведения могут быть и отрицательными. Определение 4. Бесконечное произведение П 6» называется аб»=1 солютно сходя!нимся, если абсолютно сходится ряд Я)пЬ». Это означает сходямость ряда ~;~1пЬ„), Сходящееся бесконечное произведение П 6„, ке являющееся абсолютно сходящимся, называется «=1 условно сходдпшмся. Из предыдущего утверждения и теоремы о сходимости абсолютно сходящегося ряда непосредственно вытекает следующая теорема.

Т, е о р е м а 1. Абсолютно сходящееся произведение всегда сходится в обычном смысле. Поскольку мы считаем, что 6„> О при всех и, числа Ь„обычно представляют в виде 6„= 1+ а„, где а„> — 1. Тогда имеем йь.=й(1+ .) «=1 ««! Т е о р е м а 2 (критерий абсолютной сходимости бесконечного произведения). Бесконечное произведение П (1+ а„) абсолютно ««1 сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ~ )а„(.

иТ о и а з а ка е л ь с !в е о. Так как 1+ а„-+ 1 при и -+ оо, то а„-» О. Однако 1п(1+ к) -+ 1 при * -+ О, х поэтому прн и -+ оо имеем 1п(1+ а„) (!и(1+ а„)) (а«( Следовательно, при достаточно большом и > пи выполнены неравен- ства 1 ) 1п(1+ а„)( 3 2 (а) 2' ке Лекции ии илкеиао ««|а|к вииъ«1 41т Если, например, сходится ряд ,'~,'(!и(1+ а„)), то он будет мажорантой для ряда ~;)а„)/2, а если сходится ряд 2;)а„), то он является мажорантой для ряда , ','2(1п(!+ а„)(/3. Но это означает, что ряды 2', )а„( и ~ ( (п(1+ а„)( сходятся и расходятся одновременно.

Теорема 2 доказана. Следствием этой теоремы является следующее утверждение. Утверждение 3. Если при достаточно большом и > по все числа а„имеют один и тот же знак, то сходимость произведеяяя П(1+ а„) эквивалентна сходямости ряда 2,'а„. ,7 о к а з а ш е л ь с т е о. Поскольку и сходимость ряда, и сходимость произведения влечет за собой соотношения а„-ь О, 1п(1+ а„) -+ О, !п(1+ аа) -41 при п-+ос, пь отсюда следует, что при достаточно большом и > пе величина!п(1+а„) сохраняет знак вместе с а„. Это означает, что сходимость рядов а„, 2,'1п(1+ а„) и произведения П(1+ а„) эквивалентна их абсолютной сходимости. Теперь, применяя теорему 2, получаем требуемое утверждение.

Рассмотрим некоторые примеры бесконечных произведений. Пример 1. Гамма-функция Эйлера Г(8). По определению имеем где 8:ф 0,-1,-2,... — любое вещественное число (или даже комплексное число, если определение 3 распространить на комплексные числа), 7 — постоянная Эйлера, 1 1 — !пп (! + — + . + — — !пи) = 0,577... ~-~оо 2 и Бесконечное произведение, через которое определяется гамма- функция Эйлера, сходится абсолютно при любом 8 48 О,— 1,— 2,..., так как при достаточно большом и > ие в силу формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа справедлива опенка н сходящийся ряд 2 зз/п~ является мажорантой для ряда „'> , '(!п6„~. 418 Утверждение 4 (формула Эйлера).

Характеристики

Список файлов лекций