Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Важно подчеркнуть, что если при некотором е > 0 и всех х Е 1» имеем ]Р(х, И) — Р(х,0)] = /1х(х,у+ ВИ) — фх,у)] < е, то >свк1а,л>(Т) — ввгг -,о>(ТИ < е Отсюда следует, что если при И-ь О выполнено условие ~0'(х,у+ВЬ) Ь Г,(х,у), г, то и при Ь -ь О также имеем ,1. „>(Т) =Ь'„.
„(Т). л Но тогда оба повторных предела существуют и равны между собой, т.е, существует предел ! = 1цп 1цп втгв( л>(Т) = 1цп 1(ш егв1а,л>(Т). Л-вО йт~О ' ат-вО Л-вО При этом имеем ь 1пп втгв( л>(Т) = ~ ~„'(х, у+ВИ) вгх, от~0 а 1пп 1'„'(х,у+ВИ) = ~„'(х,у), откуда а /Гьвввв)в*=~ГО,в)в*, а а что и утверждалось выше.
С другой стороны, аналогичное утверждение прямо доказано нами в теореме 1 т 1 на основе использования равномерной непрерывности подынтегральной функции. Точно так же мы могли бы рассуждать и в данном случае. Т е о р е м а 3. Если функция 1(х,у) непрерывна на прямоугольнике П= 1г х 10, где 1г — [а,Ь), 10 — — [с,о), то оба повторных интеграла Ь 4 ь и= (в*/Г(*,Ивв ° а=/вв1ва,вИ* а с сушествуют и равны между собой. Д о к а з а ш е л ь с оь в о. Рассмотрим вспомогательную функцию В(Г,У), гДе с В(в,у) = ~~(х,у)в1х, М с [О,Ь], ус [с,с(). а 434 Лекция 16 3 3. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА Дадим приложение обобщенного правила Лейбница (теорема 2 3 2) к выводу формулы Лагранжа с остаточным членом в интегральной форме.
Этой формуле Лагранж посвятил две знаменитые работы, опубликованные в Метосгез 41е Гйсас1етсе 41е Вег1сп (1768) и Асо1е (1798, Х1). Здесь мы приводим доказательство ее. предложенное Е.И. Золотаревым. Т е о р е м а (формула Лагранжа). Пусть функция 1(х) имеет и непрерывных производных для всех х б »4. Пусть некоторая функция х = х(и,С) будет решением уравнения и — х + 17(х) = О.
Тогда для любой функции Р(у), имеющей и непрерывных производ- ных, справедлива формула п 1" сс» (г' (и)у~(и)) »»и "' где 1 сг' () Г (х)(и — х+17(х))" с1х) п! аиа ,У о к а 3 а т е л ь с т е о. Рассмотрим функцию е(11) Я» = Вс,(и) = / Р (х)(и — х+11(х)) с1х. 11 Продифференцируем ее по параметру и. Из теоремы 2 получим — = 145» с — 1 Г (и)) (и), 41и т.е ; = — Р (и)У (и) + — — . 1 йЯ» 1с » с(и Продифференцируем последнее равенство» вЂ” 1 раз, Имеем сс1» 'Б» с С» 41» с(Р (и)3»(и)) 1 й»В».
й» ' /сс1» сСи» с 1с 436 Перепишем это равенство при х = 1,..., п. Получим ~е = 1Р (н)У(п) + — ' ЫЯ~ пи сБ~ 1 п(г'(е)у'(и)) 1 и ~г <1и 2 Ни 2 Низ' <~па-1 и ~1пе-1 + и Ин" Подставим последнее выражение в предпоследнее н так далее до первого выражения. Будем иметь 1~ <1(Р'(п)У~(п)) 1» ~1и- (г''(п)~~(п)) 1 ~еЯ Кроме того, для Яе справедливо равенство Подставим зту формулу в предыдущее выражение.
Получям сформу- лированное в теореме утверждение 11ь,)э — ~(~'( )УА(„)) а оп где 1 4" ()„Р (х)(и — х+ Ях))" Ых) ,1пе ~~! Теорема доказана. Приведем два частных случая формулы Лагранжа. 1. В случае когда выполнено тождественное равенство у(х) = 1, формула Лагранжа превращается в формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. 2.
Пусть у(х) = еш х. Тогда функция х = х(и) является решением уравнения Кеплера х — 1е!пх = и, где 1 — эксцентриситет эллиптической орбиты в задаче двух тел. езт Для функции Я(в) = 1 — 1соз* Лаплас получил разложение в ряд Лагранжа 1 Р ~(з(п и)" +' гг(х(и)) = 1 — гсови+1~ ,(„ь-1 /сы1 и, по существу, установил его сходимость пря 1 < 0,662... В заключение отметим, что о богатстве содержания понятия ряда Лаграюка позволяют судить исследования етого ряда, которые провели Эйлер, Ламберт, Лаплас, Бюрман, Пфафф, Шлемильх, Гейне, Коши, Якоби, дю Буа Раймон, Руше, П. Л. Чебышев, Е.
И. Золотарев, Ю. В. Сохоцкий, П. А. Некрасов. Исследования по вопросам сходимости обобщений ряда Лагранжа актуальны и сегодня. Лекция 1Т 1 4. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ПО ГЕЙНЕ Понятие равномерной сходимостн функции по базе множеств является обобщением классического понятия равномерной сходимости и опирается в своей основе на понятие предела функции по Коши. В математическом анализе используется и другой тип определения предела — предела по 'Гейне, как обычного, так и равномерного.
Оба определения равномерной сходимости — по Кошя и по Гейне— эквивалентны, и каждое нз них оказывается более предпочтительным в своей сфере применения. Ввиду удобства использования обоих этих определений в различных ситуациях, мы докажем теорему об эквивалентности понятий равномерной сходкмости по Коши и по Гейне в общем случае сходимостн по базе множеств. Нам потребуется несколько новых определений. Определение 1. Пусть  — некоторая база, определенная на основном множестве Х, и для любых ее оковчаяий 6з н 69 имеем нлв 6~ С 69, влв 69 С 6~ Назовем последовательность (х„),х„Е Е Х, фундаментальной по базе В, если вне любого окончания 6 содержится лишь конечное числа членов этой последовательности.
Определение 2. Фундаментальную последовательность (х„) мы будем называть монотонной по базе В, если для любого окончания Ь условяе х„Е 6 влечет за собой включение х„+~ Е 6. Далее будем считать, что рассматриваемая база множеств В обладает хотя бы одной фундаментальной монотонной последовательностью. Кроме того, полагаем, что пересечение всех окончаний базы В пусто. Рассмотрим, наконец, функцию у(х), определенную на некотором окончании 6 базы множеств В. Определение 3. Число ! называется пределом по Гейне фувкпяв !'(х) по базе В, если для всякой монотонной по базе В последовательности (х ) имеем, что 1цп !(х„) = !.
ь~оо В этом случае пишем Нт — 1ипу'(х) = !. в Имеет место теорема об эквивалентности определений предела по Гейне и в обычном смысле, т.е, по Коши. Приведем ее формулировку (см. ч. 1, лекция 30). Т е о р е м а 1. Для существования предела Нт — 1ип!'(х) в необходимо и достаточно существования 1ппу(х) оо Коши. Прв этом в имеем Нт-!(пзу(х) = 1ппу(х). в в 439 Для того чтобы подчеркнуть, что !1п»у(х) есть обобщение предела в по Коши, будем также писать 11пту(х) = С-1ппу(х).
в в Доказательство этой теоремы опирается на две следующие леммы, имеющие самостоятельный интерес. Л е м м а 1. Пусть (х„) — монотонная последовательность по базе В. Тогда найдутся ее подпоследовательность у» = х„» и соответствующая ей последовательность окончаний (Ь» б В) такие, что при всех 6 б 1Ч имеем 6»+» С 6», у» б 6», но у» к 6»+». Определение 4.
Последовательность окончаний (Ь») из леммы 1 будем называть основной последовательностью окончаний. Ее члены обозначим символом 6». Л е м м а 2. Для любого окончания 6 б В найдется член Ь» последовательности основных окончаний, для которого имеем Ь» С 6. Введенные выше понятия позволяют по-новому подойти и к общему определению равномерной сходимостн. Для этого определим на декартовом произведеняи Х х У двух множеств Х и У функцию у(х,у) и будем считать, что на множестве Х задана база В. Определение б. Функция у(х,у) сходится к функции у(у) по базе В равномерно на множестве У, если для всякого е > 0 найдется окончание 6(с) б В такое, что при всех х б 6(е) независимо от у б У справедливо неравенство 11(х, у) — д(у)) ( с. В этом случае пишем у(х, у) 4у(у).
У Определение 6. Будем говорить, что функция у(х,у) сходится по Гейне к функции у(у) равномерно на У, если для любой последовательности (х„), монотонной по базе В, ' функциональная последовательность ~„(у) = 1(х„,у) сходится к у(у) равномерно на множестве У. В этом случае пишем у(х,у) ='» у(у). 1в1 1 5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ Теперь мы можем перейти к теореме об эквивалентности понятий равномерной сходнмости по Коши и па Гейне.
440 Т е о р е м а 1. 1. Если функция у(х,у) сходится по Гейне к у(у) в по базе В равномерно па множестве У, то тогда имеем т(х, у) ~у(у). У 2, Если 1(х, у) 4 у(у), то ~(х, у) Ю у(у). Д о к а з а т е л ь с т е о. Рассмотрим сначала утверждение 1. 1в1 Будем рассуждать от противного. Допустим, что у(х,у) =» у(у) для г любой монотонной по базе В последовательности (х„), но равномерная в сходимость у(х,у) х»у(у) не имеет места. Последнее условие означает, г что найдется е > О такое, что для любого окончания 6 Е В найдутся точки х» Е Ь и у» Е У такие, что (~(х», у») — у(у»)) > е.
Возьмем сначала и качестве такого 6 окончание 6~ из основной последовательности окончаний и обозначим через хо и уо соответствуюшие ему точки хо, и ум. Точка хо не может принадлежать сразу всем окончаниям 6, так как их пересечение пусто. Поэтому найдется 6 Е В с условием х, К 6. По лемме 2 найдется число 6, такое, что 6„, С 6, и для него также имеем хо к 6»,. Теперь в качестве хо и уо возьмем точки хт — — ху, Е 6», и уо — — у»у, Е У и повторим указанную процедуру снова и снова. Таким образом мы получим последовательность точек х„и у„, для которых справедливо неравенство ~,Г(х„,у„) — у(у„)~ > е при всех и Е И. Покажем, что последовательность х„является монотонной по базе В.
Для этого установим сначала ее фундаментальность. Заметим, что последовательность натуральных чисел Ь„монотонно возрастает. Но всякое окончание 6о Е В по лемме 2 1 2 содержит некоторое 6»„ а при 6„> Ьо имеем х„+~ Е Ь», С Ь», С Ьо, значит, вне Ьо лежит не более Ьо точек из последовательности (х„), т.е, она фундаментальна. Чтобы доказать монотонность *„, заметим, что х„ ф Ь», а х„+о Е 6»„. Но если для некоторого Ьо ф. 6»„мы имеем условие х„Е Ьо, то из двух допустимых включений Ьо С Ь»„или Ьо Э Ь»„может иметь место именно второе, так как иначе хо Е Ьо С 6»„, т.е, х„Е Ь»„, что неверно.
Но тогда х„»» Е 6»„С 6о, т.е, последовательность (х„) монотонна. Итак, мы построили монотонную последовательность точек х„Е Х такую, что при соответствуюших у„Е У справедливо неравенство 'ц (х ,у„) — у(у„)~ > е при всех и Е го. Это значит, что равномерная сходимость функциональной последовательности у„(у) = у(х„,у) к функции у(у) при и -+ оо не имеет места, что противоречит нашему предположению. Таким образом, утверждение 1 доказано. Рассмотрим утверждение 2. Поскольку у(х,у)Фу(у), при любом г е > О найдется окончание 6 = 6(е) Е В, такое, что при всех у Е У и при всех х Е 6(е) имеем ~Дх, у)-у(у) ~ < е. Пусть теперь (х„) — любая монотонная последовательность по базе В.
Тогда вне 6(е) лежит лишь конечное множество точек х„и при достаточно большом и > по(е) имеем, что х„б Ь(с), откуда при тех же и имеем Щх„,у) — у(у)~ < с, а это значит, что 1(х„,у) =гу(у) при и -+ оо. Утверждение 2 и теорема 1 полностью доказаны. В заключение подчеркнем, что в теореме 1 на базу В мы накладываем следующие ограничения: 1) каждое окончание 6 базы В непусто, но пересечение всех окончаний пусто; 2) для любых двух окончаний 61 и Ьт имеем либо включение 61 С Ьт, либо включение Ь1 З Ьт, 3) существует хотя бы одна монотонная по базе В последовательность. На первый взгляд может показаться, что эти ограничения весьма обременительны, особенно условие 2, которое ужесточает обычное условие, указывающее на существование 6з С 61йЬь Но это не совсем так, поскольку вместо базы В практически всегда можно рассматривать базу Во, эквивалентную В в том смысле, что существование предела по базе В влечет за собой сходимость по Во, и наоборот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
