Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Это связано с тем, что подынтегральная функция (хе+уз)т Гх 1 хе+узы Гу 1,ха+уз имеет разрыв в точке (0,0), в частности, при подходе к этой точке по прямым у = йх. При (й~ ) 1 имеем 1ппДх, йх) =+оо, а при )Ц < 1 е-+О имеем 1цп у(х, йх) = -со. е-~0 Но для двух повторных интегралов от этой функции справедливы равенства 1 1 Г Иу я Иу у(х,у)вх = — 1 — = --, 1+ ут 4' о о Отметим, что данный пример относится к несобственным интегралам второго рода, которые будут рассмотрены в следующем параграфе. Лекции 20 6 8.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА Здесь мы сформулируем основные понятия элементарной теории несобственных параметрических интегралов второго рода и приведем формулировки некоторых утверждений, соответствуюпьих доказанным нами теоремам об интегралах первого рода. Рассмотрим множество Р = Х х У, где Х = (а,6], У С Е. Пусть функция у(к,у) задана на Р и не ограничена как функция от к хотя бы при одном фиксированном у б У.
Далее, пусть при любых у б У и Ю > 0,6 б (0,6 — и) функция у(я,у) интегрируема по Риману на отрезке [и+6,6] как фунхция от я. Определение 1. Введенное выше формальное выражение вида ь ) у(к, у)пх называется несобственным параметрическим интеграа лом второго рода с одной особой точкой к = и. Определение 2. Если при любом фиксированном значении У б б У этот интеграл сходится, то множество У называется областью ь сходнмости интеграла н его значения у(у) = ] у(в, у)лк порождают а функцию, определенную на множестве У.
Подобные определения имеют место и в случае, когда особая точка находится на правом конце промежутка интегрирования Х = [а,6], т,е. в точке 6. В случае когда особая точка к = ив лежит внутри отрезка Х, его можно разбить на две части этой точкой хв и рассматривать каждую часть отрезка отдельно. Аналогичные рассуждения позволяют рассматривать несобственные интегралы с переменной особой точкой кв — — хь(у), но здесь мы входить в детали ие будем. 1 Пример.
Интеграл 1 = ] — т4 — сходится на У = [О, 1] и его можно о ~~~' И вычислить. Действительно, имеем ах 1 ьЬ У(У) = У1(У) + Ут(у) = / + / = 2уУ + 2ф — у. l л= — * l л=-у 456 Определение 3. Несобственный интеграл второго рода ь д(р) = у(х, у)б(х а называется равномерно скодяшимся по у на множестве У, если для функции д(б, у) = ~ б(х, у)йх б -+ О+ а+б выполнено условие д(б, р) =ь д(0, у) = д(у) . Исходя из общей формулировки критерия Коши можно сформулировать его для равномерной сходимости несобственного параметрического интеграла второго рода.
Но мы ограничимся формулировкой одной сводной теоремы, содержащей утверждения, важные для практических применений, Т е о р е м а 1. Пусть функция б(х,у) непрерывна на Р = Х х У, где Х = (а,6], У = (с,с(). Пусть а — особая точка несобственного параметрического интеграла д(р) = / У(х, р)йх а Тогда справедливы следующие утверждения. ь 1.
Если интеграл )'Дх, у)б(х сходится равномерно на У, то функщбя д(р) непрерывна прн всех р б У. 2. В этом случае имеем 4 ь б т' юь>Ф = ) ~*) тзвФ. ь 3. Если интеграл ) Дх, р)ох сходится, частная производная ~„(х, у) а ь существует н непрерывна на Р, а интеграл ) ~„(х, у)б(х сходится О равномерно на У, то существует д~(у), причем ь д'(р) = У„(х, у)йх.
Если особая точка хе является внутренней точкой отрезка Х = [а, 6), то, как было отмечено выше, необходимо отрезок Х разбить этой точкой на две части и рассматривать каждый из двух получившихся интегралов отдельно. Тот же подход можно применить н в случае, кргда бесконечный промежуток интегрирования Х = [а, +оо) содержит конечное число особых точек хм..., х„.
Тогда этот промежуток можно разбить на 2п промежутков точками П < гз «: 1з„таким образом, чтобы на каждом отрезке вида [1„4,41), где 4 = 1,...,2п — 1, лежала бы ровно одна особая точка, а на промежутке [гз„, +ос) особых точек не было. В результате получим 2п — 1 несобственных интегралов второго рода и еще одия — первого.
На этом мы закончим изложение теории несобственных параметрических интегралов и займемся ее приложениями. з 9. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ Начнем с вычисления интеграла Дирихле Р[а), называемого еще разрывным множителем Дирихле. По определению имеем В[а) = Их. о Эаметим прежде всего, что точка х = О не является особой, так как подынтегральная функция ограничена.
Очевидно, что В[О) = О. Далее, если а > О, то интеграл сходится по признаку Дирихле, поскольку с 1 — соз а1 2 81пах~1х = < —, о В этом случае возможна линейная замена переменной интегрирования вида ах = 1, и тогда имеем ь'(а) = и[ах) = — Й = В[1) = П. у ах у о о Если же а < О, то а = — )а[, 81п ах = — 81п [а[х, откуда П(а) = г — нх = — / «х = — П. Г 81пах Г 81п [а[х х „/ х о о 458 Таким образом, имеем Р при а>0, Р(а)= 0 пря а=О, — Р при а<0. Теперь перейдем к вычислению значения .Р.
Т е о р е и а 1. Справедливо равенство Р = х/2. ,Ы о к а э а т е л ь с т е о. Рассмотрим параметрический интеграл у(у), где у Е У = [О,Ф], У.Е В и Г е "*о)их у(у) = / 4х. о Подынтегральная функция /(х,у) = е " о1пх/х будет непрерывна всюду на Р = К х У, где Х = [О,+оо), У = [О, М], если положить /(О, Убедимся, что интеграл у(у) сходится равномерно на У. Для этого воспользуемся признаком Абеля. Положим а(х,у) = о1пх/х, ))(х,у) = е '". Тогда функция Д(х,у) монотонна и 0 < )у(х,у) < 1, а интеграл [ а(х,у)Их сходится равномерно на У, поскольку а(х,у) не о зависит от у. Заметим, что равномерную сходимость у(у) можно было бы установить и непосредственно из определения с помощью интегрирования по частям. Возьмем теперь на отрезке У произвольную точку уо ф 0 и окружим ее некоторым отрезком Уо = [уо — о,уо+о], целиком принадлежащим множеству У.
На этом отрезке интеграл Ц„(х, у)ох = — / е " о1п хнх / о о сходится равномерно. Это следует из признака Вейерштрасса, поскольку ]е *"о1пх] < е '<о' о>, а интеграл [ е *~"' о~ох сходится. о Кроме того, подынтегральная функция е *" о(п х непрерывна на Ро = Х к Ую Поэтому по правилу Лейбница для несобственных интегралов имеем у'(у) = — е " о|пЫх. о Последний интеграл можно вычислить путем интегрирования по ча- стям. При зтом получим Итак, мы показали, что функция у(у) непрерывна на У = [О,Гтт], а ее производная у'(у) существует при всех у ф 0 и равна -1/(1+ у ).
Отсюда по формуле Ньютона — Лейбница при всех у Е (О, Ф) вытекает равенство Г о'1 у(у) = у(Г1') — / — = у(Ф) + агс1й Ф вЂ” агсок у. / 1+1г Пользуясь непрерывностью функции у(у) в точке у = О, мы получим у(0) = 1ип у(у) = 1ип (у(Ф) + агсцйФ вЂ” агс$йу) ж г-~о+ г-+се = у(Ф) + огсойФ. Теперь, устремляя Ф к +оо, приходим к соотношениям агс1й Ф вЂ” г х/2, [у(Ф)[ < е — Их < е тдх = — -+ О.
Г от [з(пх[ Г и 1 х — /. Ф о о Отсюда следует, что В = у(0) = !ип (у(Ф) + атсох У) = х/2. Теорема 1 доказана. Непосредственно из теоремы 1 вытекает справедливость следующего утверждения. С л е д с т в и е. При всех а Е Ж имеет место равенство Г1(а) = — е(кп а.
2 Лекции 21 $ 10. ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА Гамма-функция Эйлера, которая была определена ранее, и бетафуикция, определение которой мы дадим ниже, называются соответственно интегралами Эйлера второго и первого рода. Начнем с дальнейшего изучения свойств гамма-функции. Т е о р е м а 1 (формула Эйлера — Гаусса). При в ф О, — 1, — 2, имеет место равенство Г(в) = 1пп Р (в), где (!и — 1)!гп' в(в + 1) ...(в + гп — 1) Д о к а з а та е л ь с и! в о.
Применяя формулу Эйлера, получим выражение для Г(в): — )пп П (в). е-+оо Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2. (формула Гаусса). При в ) О в обозначениях теоремы 1 справедливо равенство ,й о к а з а о! е л ь с и! е о. С помошью замены переменной и интегрирования по частям получаем = (т+ 1)' — /(1 — я)~ е'Нх = о гп! = (го + 1)' е(е + 1)...(з + гп — 1),/ а гп! = (го+1)' ' = Р ~~(е). е(е+ 1)...
(з+ гп) Теорема 2 доказана. Имеет место следующее Представление гамма-функции в виде несобственного йнтеграла. Т е о р е м а 3 (интегральное представленке для гамма-функции Эйлера). При е > О справедливо равенство 1 (е) / еа- с- о . ,л. о к а з а ш е л ь с я в о. Прежде всего заметим, что при е > 1 рассматриваемый параметрический интеграл является несобственным интегралом первого рода, а при О < е < 1 он имеет особую точку е = О.
Но в обоих случаях он сходится, поскольку в окрестности нуля подынтегральное выражение мажорируется функцией х' ', а на бесконечности — функцией е 1т. Рассмотрим разность й (е), где ~п =„~х' (е ~ — (1 — — ) )пя. В силу выпуклости графика функции у(у) = ет — 1 — у при всех у имеем 1+ у < е", поэтому неравенства 1+ — <е ~", (1+-) <е* и и справедливы при всех вещественных х и натуральных и, Кроме того, заметим, что из неравенства Бернулли при О < у < 1 следует, что (1 — у) > 1 — гну, т.е.
1 — (1 — у) < глу. з Отсюда при О < х < гп и у = -'-т получаем оценки О<е ' — (1 — — ) =е (1 — е'(1 — — ) ) < е ехт =е *(1 — (1 — у) )<е еглу= Но тогда величина В (е) оценивается так: Гх+е™ 1 Г, м О < Й„,(е) < / ~1х < — / х'+ е Их. от гл Здесь е+ 1 > 1, и поэтому последний интеграл сходится, откуда О < В (е) < -"-, где А, — некоторая величина, зависящая только от параметра а. Следовательно, В (е) -~ О при гп -+ со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
