Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Пря х Е [0,1] справедливо равенство уг(х) = (6 — а) + ро(х — а) — ро(х — 6). Д о х а з а ло е л ь с м в о. Обозначим через у(х) правую часть доказывйемого равенства. Очевидно, при всех х оЬ а илн 6 имеем У ( ) = РЬ( — а) — р (х — 6) = — 1+ 1 = О. Следовательно, у (х) — кусочно-постоянная функция, как и функция рг(х). При этом точки их разрыва совпадают. Кроме того, 1 1 у(а) = Ь вЂ” а+ ро(0) — ро(а — Ь) = Ь- а+ро(6 — а) = Ь вЂ” а+ — — (Ь вЂ” а) = —.
2 2 Аналогично проверяется равенство у(6) = -'. Имеем также У 2 = 6 — а+ Ро 2 — Ро — = Ь вЂ” а+ 2ро Ь вЂ” а /а+ Ьг =6 — а+1 — 2 — =1= рг ~ — ). 2 [, 2 )' В точке х = а обе функции имеют скачок, равный +1, а в точке 6 этот скачок равен — 1. Это значит, что обе функции совпадают во всех точках отрезка [О, 1]. Лемма 3 доказана. Из леммы 3 и теоремы 1 непосредственно вытекает справедливость следующей леммы. 480 Л е и м а 4. При всех п > 1 имеет место формула ~рг(х) = Я вЂ” а) + ее (х — а) — е„(х — 6) + Е„(х), где )Е„(х)) ( Аналогичное утверждение имеет место и для любой кусочно- постоянной функцин, периодической с периодом единица и равной полусумме своик предельных значений слева и справа в точках разрыва.
и ясквв и месютнесмиу впеизу Лекпни 24 С 2. НЕРАВЕНСТВО БЕССЕЛЯ. ЗАМКНУТОСТЬ И ПОЛНОТА ОРТОНОРМИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ Начнем рассмотреияе со следующего определения. предложенного Лебегом. Определение 1. Точка хе яазывается регулярной точкой функции Дх), если существуют ее левый и правый пределы при х, стремящемся к хе, а ее значевяе ~(хе) в этой точке равно их полу- сумме. В этом случае говорят, что фуикцяя у(х) регулярна в точке х = хо. Очевидно, что каждая точка непрерывности даииой функции является ее регулярной точкой. Определение 2. Функция Дх), регулярвал в каждои точке промежутка 1, яазывается регулярной на этом .промежутке. Определение 3.
Периодическая функция, имеющая ковечяое число точек разрыва яа каждом отрезке веществеяной прямой и регуляряая в этих точках, называется строго регулярной функцией. Определение 4. Если периодическую фуякцию у(х) можно представить в виде у(х) = / у(С)с(С+у(а), а где у(С) — строго регулярная фуякция, то функция у(х) яазывается строго кусочно-гладкой функцией. Эти определения мы будем использовать при язучеиии тригоиометрических рядов Фурье. Множество И' = Ис всех строго регулярных функций, имеющих один и тот же период С > О, образует линейное пространство. Справедливость этого утверждения легко проверяется.
Для каждой пары фуикций Дх) и у(х) яз этого множества И' зададим фуикциоиал Т(у,у) по формуле Т(),у) = и у(х)д(х)йх. о Здесь и > 0 — проиэвольиое фиксироваииое число, которое назовем весовым коэффициентом. Перечислим ряд свойств, которыми обладает функционал Щ, у). 1~. Симметричность, т.е. Т(у,д) = Т(я, у). 2е. Вилинейность, т.е. прк любых а и ьу б К и /,у,1ь б И' Т(1,ау+ ьзьь) = аТ(1,у) + 11Т(1, 1ь). 3~. Положительная определенность, т.ез а) Т(), у) > 0 при всех у б И', б) Т(), 1) > О, если только у(х) отлична от нуля хотя бы в одной точке. Последнее неравенство следует иэ того, что если у(хо) = уо ф О, то либо левый предел 1ь, либо правый предел !т этой функции в точке хв отличен от нуля, и тогда прн некоторых е > 0 и б > 0 для всех точек левой илй правой 8-полуокрестности точки хе справедливо неравенство Щх)~ > е.
Следовательно, ТЦ, ~) = ьг / ~э(х)йе > ььбеэ > О, о что и означает справедливость утверждения 36). Другими словами, билянейный функционал Т = Ть,„, заданный на декартовом произведении Н = Иь х И', можно рассматривать как скачярное произведение, определенное на пространстве Иь. Поэтому вместо символа Т(),у) можно писать просто (~,у). Определение 5. Функциональная последовательность 1„(г) б И' называется ортогональной системой функций, если при всех пь ф ьь имеем (ь'„, ~„,) = О, т.е.
~„, н Д ортогопальяы между собой. Если при этом лля всех и б М выполнено условие «Я„, у„) = 1, то эта последовательность яазывается ортояормированяой системой функций Напомним, что величина Я,у) = 'Оп называется нормой функции у(г) относительно введенного нами скалярного произведения. Заметим, что одновременно это число является нормой функции )'(э) в пространстве Ьз всех функций, заданных на отрезке (0,1), квадрат которых интегрируем по Лебегу на этом отрезке. Известно, что функциональное пространство Ет удовлетворяет аксиомам гильбертова пространства. Однако ввиду того, что понятие янтегрируемости по Лебегу осталось за пределами нашего курса, этого вопроса далее мы касаться не будем.
Итак, ортонормированная система функций — это такая функци.ональная последовательность у„(х) б И', все члены которой взаимно ортогонэльны и норма каждого члена равна единице. ьм Определение 6. Число с„= с„(у) = (Д,д) называется коэффициентом Фурье функции у(х) б И' по ортонормировавной системе функций Р = ((„). Функциональный ряд ~ с„Д„(х) называется п=! рядом Фурье функции у(х) по ортонормированной системе функций Г. Введенное понятие и есть общее определение ряда Фурье по ортонормированной системе функций. Конечно„коэффициенты Фурье с„можно вычислить и для функций у(х), не обязательно входящих в И'.
Например, для интегрируемых на ! = [О,1[ в собственном или даже в несобственном смысле, если ! только все интегралы ),(„(х)у(х)!)х су!цествуют. И в этом случае о ряд ~с„Д„(х) можно было бы назвать рядом Фурье функции д(х) по системе г. Однако такой подход будет вполне оправданным лишь в том случае, когда функция у(х) принадлежит области определения введенного нами ранее скалярного произведения. В частности, это означает, что для этой функции существует ее скалярный квадрат (у,у) = и) у~(х)!1х. Именно это условие мы положим в основу опрев деления общего понятия ряда Фурье по ортонормированной системе функций г.
Определение 7. Пусть функция у(х) удовлетворяет условию (у,у) = х д~(х)!(х < +со. о Тогда функциональный ряд,) с„~„(х), где Д(х) б Р' и с„= (д,Д„), называется иствндартным" рядом Фурье по ортонормированной системе Р = (~„). В случае, когда скалярный квадрат (у,у) расходится, но все коэффицненты с„= (у, Д) существуют, соответствующей ряд Яс„,(„(х) будем называть "нестандартным" рядом Фурье по системе функций г'.
Важным примером ортонормированной системы на отрезке [0,2х] относительно скалярного произведения с весовым коэффициентом х = 1 является сястема функций Если же положить х = 1/х, то ортонормированной системой будет система функций ( 1 гт = 1( —,совх,ипх,...,соапх,вшпх,... 1л' Во втором случае ряд Фурье можно записать в следующем виде: 1„(х) = — + ~~~ (в„сових+ Л„в(пох). Л о=1 По существу, мы получаем определенный ранее тригонометрический ряд Фурье. Легко убедиться, что н рассмотренный выше тригонометрический ряд 2 ипткак является рядом Фурье функции рс(х) по тж1 ортонормированной системе функций Рв = (1, Ясов 2тх, ~/2 в1п 2тх,..., ~/2 сов 2гг~х, ~/2 в1п 2тпх,... ) на отрезке (0,1) со значением вг = 1. Аналогично, иа отрезке (О, 1) при м = 1 ортонормироваиной является система функций гв '- 1 Г2 2тх Г2 .
2ггх Г2 2тях Г2, 2тпх Д'Ч« 'Ч« '"'Ч1 1 'Ч1 Т е о р е м а 1 (неравенство Бесселя), Для любой ортоxормироваиной системы Р = (Д„) и любой функция у(х) с условием (у,у) < +со при произвольном гп б 1ч справедливо неравенство се~ < (у,у), где св = (в,~в), Л = 1,...,гп. выг Д о к а з а гп е л ь с гп в о. Рассмотрим функцию м у„, =у (х) = ~~~ сей(х). в=1 Положим Л = Л (х) = у(х) — у (х).
Тогда получим <~.я = 2=,~|г.,в) = ( вжг 0 при п<пг, при п>гп; ( ст (Лет~Хе) = ст (увъ~Ут) = ~ '(о при п>гп, пря п < гп. Ряд Фурье по системе функций Рв будем называть тригонометрическим рядом Фурье по отрезку (0,1]. Для козффициентов Фурье с„функции у(х) справедлива следующая теорема. Отсюда имеем (д,у ) = 1 сала, ~ с„Д = ~~~ 1 сьс„(1"д, Д) = ~~ с~а. сю1 / Ью1аю1 Мю1 Следовательно„ (ум, Ь) = (Ь,ум) = ~ сь(д,~ь) = О. ьж1 Позтому (у,у)се (у +Ь,у + Ь) = (д,д )+2(у,Ь)+(Ь,Ь) = =(у„,у )+(Ь,Ь) >(у,у ) =~~, ",.
ью1 Теорема 1 доказана. Заметим, что попутно мы доказали равенство (у,д) = ~~ь сь + (Ь, Ь). ье~ Определение 8. Функцию у (х) теоремы 1 будем называть пь-м миогочленом Фурье по ортонормированной системе Р, Из теоремы 1 непосредственно следует справедливость двух утверждений, которые мы сформулируем в виде следующей теоремы. Т е о р е м а 2. В условиях теоремы 1: а) справедливо неравенство сь < Цу)( = (у,д); а=1 б) с„= с„(у) — ~ О при и -+ оо. Определение 9. 1. Ортонормироваияая система Р = (У„) называется замкнутой, если 'ОУО = ~ сь. а=1 Это равенство называется равенством Парсевали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
