Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Отсюда окончательно имеем х' е ~ах= Ыт х' е *их= — /-- п~чсо 1 о о 1 ~'~ — 1пп й (е)+Р +~(в) 1+ — ) ) = О+Г(е) 1=Г(е). Теорема 3 доказана. Замечение 1. Идея изложенного доказательства теоремы 3 высказана Шлемильхом (1879). Замечание 3. С помощью интегрирования по частям из тееремы 3 выводится следующая формула Коши, справедливая при всех значениях в вида -(гл+ 1) < е < — гп, где гл б г(: Г(е) = х' (е * — р (х))ех, о м где 1е„,(х) = ~ (:„'-1)-". ехе Здесь условии, наложенные на е, обеспечивают сходимость несобственного интеграла, имеющего две особые точки: х = О и х = +оо. Действительно, в окрестности особой точки и = 0 подынтегральная функция эквивалентна величине а+тл ( ) (пг + 1)! а в окрестности точки * = +оо является величииой порядка 0(*"+ '). Отсюда по признаку сравнения следует сходимость интеграла.
Далее нам потребуется представление функции е1пие в виде бесконечного произведения. Приведем его в качестве следующей леммы, которая будет доказаиа при изучении рядов Фурье. Л е м м а 1 (лемма Эйлера). При всех веществениых нецелых е имеет место формула Т е о р е м а 4 (формула дополнения Эйлера). При всех нецелых в справедливо равеяство Г(1 — е)Г(е) =— 81п ях В частности, Г(1/2) =,„/х. Д о к а з а пг е л ь с пг е о. Из формулы Эйлера и леммы 1 имеем Г(1 — в)Г(е) = -еГ( — в)Г(е) = — Д (1 — — ) (1+ — ) н=! и я = — П (1 — — ) е аа ~, пг/ ивД„кп (1 — хг/пг) е(пих Второе утверждение теоремы прямо следует из первого. Теорема 4 доказана.
Т е о р е м а Ь (формула удвоения Лежандра). Справедливо равенство Г(2е) Г 2гг- г Г(е) Г /г о к а з а пг е л ь с пг е е. Состава,:и произведение Р (е), где 2г~-гР (,)Р (,+1/2) Р гт (28) Рп, (1/2) Выпишем явное выражение для Р (о). Имеем 2г' ((т — 1)!т'(т — 1)!т~+((г 2з... (2о + 2т — 1) г... (т — г() (2т — 1)!(2т)"-'(т — 1)!т'(го...
(о+ т — 1)(о+ -')... (о+ т — уг) что равно 1. Устремляя т к +со, приходим к равенству 2г' 'Г(о)Г(о+ 1/2) Г(2з) Г (1/2) Тем самым теорема 5 доказана. Рассмотрим теперь интеграл Эйлера первого рода, т.е. бета- функцию Эйлера. Определение 1. При а > О и (1 > О бета-функпзои Эйлера В(а, В) залаегся равенством В(а, В) = х -'(1 — х)О-',(х. о Т е о р е м а 6. При а > 1 и В > 1 справедлива формула Г(а) Г((1) В(а, (У) = Г( + Ф) . ,В о к а з а т е л о с т е о.
В интеграле, определяющем функцию В(а,В), выполним замену переменной вида х = ф-. Тогда имеем «-1 (у В(а,В) = ( о Отсюда следует, что Г у 'Г(а+')1)((у Н = В(а, (1)Г(а + (г) = / о Далее„если у > О, то Г(а+(1) = х"+ е ((х = о (1 3 )а+33 / ха+Р 1е-аРО+1)ррх О Поэтому г а-131 + 1а+33 7 Н = / / х +33 е Р"+ 13(х 33у= (1 ~ у)а+33 О О (ху)" 1хае 1 "+113(х 3(у. О О В последнем интеграле получим рр =1 1 [*рр -"-"ерр) *р-"-*а= О О = Г(а) / хн 'е 3(х = Г(а)Г(33), о Остается только обосновать перестановку порядка интегрирования. подынтегральная функция у(х, у) = у 'х +33 'е *1Оеп всюду положительна и непрерывна.
Кроме того, каждая из функций, т,е. интегралов у(у) = дх, у) 6х = , й(х) = Г(х у) 31у = Г(а)хх 'е ', О О непрерывна и неотрицательна на (О,+со) х [О,+со), а несобственные интегралы ) у(у) 3(у и г33(х) их сходятся. следовательно, порядок О О интегрирования действительно можно изменить. Теорема 6 доказана. Замечание. Поскольку гамма-функция Г(О) определена при всех О ф О, -1, -2,..., то формула теоремы 6 позволяет распространить определение функции В(а, Зу) на все множество ве3цественных значений (а, 3З), за исключением точек (а, Д, где либо величина ор либо величина )3 равна О, — 1, — 2,.... Лекция 22 5 11.
ФОРМУЛА СТИРЛИНГА Изучение эйлеровских интегралов завершим доказательством важной для приложений формулы Стирлинга, дающей приближенное значение для гамма-функции или для функции и!. !пГ(в) = в+ -/! 1п(в+-( — ( в+ -) — 1пв+со+/(р где со = 1и ~/2я, а для величины остатка В выполняются неравенства 0 > /! > -1/(85+ 4).
,П о к а з а пв е л ь с пв в о. Воспользуемся равенством 1пп Р„(в) = Г(5). Далее имеем и — 1 )пР«(г) = 0!и п — 1пв+ ~~р (1п(в — 1п(1+в)) . Применяя формулу суммирования Эйлера, получим )пР«(в) = А — В, где «-0,5 «-О,5 /! Р= 1 Р,.-Р.Р,Р.ОРР.Р„-Р,. в= ! р[)(-— х х+5/ 0,5 0,5 Сначала рассмотрим величину А.
Имеем «-0,5 и — 0,5 1пхр(х — / 1п(х+ 5)р)х = О,5 О,5 «-0,5 и+в-о,о 1пхв1х — / 1п хр!х = р+0,5 0,5 оет Т е о р е и а 1 (формула Стирлинга). При в > 2 имеет место равенство «Сс-а,о с+0,5 — / 1пхс(х — / 1пхс1х = Ас — Аг. -О,з 0,5 Интегрируя, находим с+о,о сс 1 с / !'! !п 2 Ас — - (х!пх — х)~' ' = ~з+- 1п з+- з+ Далее будем считать, что п > 2з.
Тогда, применяя формулу 1п(1+х/и) = О(х/и), получим с-0,5 «+с-0,5 а — ! «с*=— пс -0,5 -0,5 = ) о(5)с*=о( — ') -О,з Таким образом, приходим к соотношению А = з+ — 1п з+ — — з — !пз+ сс + О где сг — постоянная. Рассмотрим теперь велячину В. Заметим, что неравенство с 1 -- < / р(х) ссх < О з-/ 0,5 справедливо при всех ! > О, б. Поэтому по признаку Дирихле интеграл ссх сходится. Следовательно, О,з «+0,5 Вг'= ! — с!х = сг + о(1). р р() 0,5 Для оценки величииы «+0,5 Вг = / — сгх г р() х+з О,о зоо применим вторую теорему о среднем. Тогда получим с 1 Вг = ) р(*) Нв, о,з откуда имеем -8;+4 < Вз < О.
Но по определеняю имеем В = В~ -Вю Следовательно, из равенства 1пР„(в) = 4 — В вытекает соотношение !пр„(в) = в+ — 1п в+ — — в+ — — !пв+ со + Вз+ О Здесь со — некоторая абсолютная постоянная. Устремляя и к бесконечности, мы приходим к равенству з !иГ(в) = в+ -) 1п ~в+ -) — ~в+ -) — 1пв+ со — —, 8в+4' где И = О(в) — некоторая функция с условием О < д < 1. Осталось вычислить значение константы со.
Для етого применим формулу Леясандра. Тогда при в -+ оо будем иметь (2в — 1)1п2+ 1пГ(в) + 1пГ в+ -) = 1иГ(2в) +!пГ ~ -), 11 /11 2) 1,2)' в+ — !п в+ — — в+ — — 1ив+со+ 11 Г1~ +(в + 1) !и (в + 1) — (в + 1)'- !и в + -) + со + О ~ -~ + (2в — 1) 1и 2 = 2) в 2 + — 1и 2 + — — 2в+ —, — !п(2 )+со+1 ~/я+О Далее воспользуемся соотношением а /11 1п(в+ а) = 1пв+ — + О ~ — ), в вз Получим в+ — 1и в+ — + Π— — в + — + со — !ив+ /! 1 +(в+ 1)1пз+ 1+ 0 ~-) — (в+ 1) + со — !ив+ (2в — 1)!п2 = — 2в+ — 1п2+ 2в+ — 1пв+ — +О 2в+ -) — 1п2 — 1пв+ со+ с/ж Приводя подобные члены, приходим к равенству г'1г со = 1п т/2я+ О ~ -), откуда имеем со —— 1п ~/2яя.
Теорема 1 доказана, Отметим, что если снова воспользоваться соотношением а г'1! 1п(в+ а) = 1пв+ — +0 ~ — ~, то нз теоремы 1 можно получить еще одян вариант формулы Стир- линга вида /!'! 1пГ(в) = в — -))пв — в+!п~/2яя+О (-) . 2) в В частности, при в = и+ 1 отсюда имеем 1п Г(и + 1) = )п и! = и + -) 1п и + 1 — (и + 1) + 1п ~/2гг + 0 ( — ) = 11 г' 1 1 2) (~и) г'! г = и1пи — и+1пъ'2яи+ 0 1 — ) .
!,и) Следовательно, справедлива асимптотическая формула и" в и! = ~I2яи — е"П~"! = ъ~2яи — ~1+ О ев еп 1и// которая тоже называется формулой Стирлинга. Более тщательные вычисления позволяют получИть оценху вида О > В > — 1~(24в+ 12) для остатка гг в асимптотической формуле теоремы 1.
Этот результат был установлен Гауссом. Он же доказал, что величину е~рг "1 в асимптотической формуле для и! можно заменить на ев", где О < д„< 1/(12и). Разумеется, теория эйлеровских интегралов далеко не исчерпывается доказанными здесь утверждениями, однако рамки нашего курса треоуют ограничиться рассмотренными вопросами. Глава ХУ1П РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ Лекции 23 6 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДРОБНОЙ ДОЛИ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ. ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ПУАССОНА. СУММЫ ГАУССА Эта глава в основном посвящена изучению тригонометрических рядов Фурье. Важность рассматриваемой темы обусловлена той большой ролью, которую играют ее приложения не только в математике, но и в механике, физике и других научных дисциплинах. Во многом это обусловлено тем, что тригонометрические ряды Фурье соединяют в себе особенности как тригонометрических рядов, так и общих рядов Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
