Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Заметим, кстати, что при знакомстве с очередным утверждением полезно отмечать для себя, какую из двух указанных сторон теории оно по преимуществу отражает. Обширность темы не позволяет сколько-нибудь полно охватить в программе курса лекций по математическому анализу даже классические ее аспекты, так что ограничимся наиболее простыми теоремами, отражающими общую сктуацию. В конце главы коснемся также и некоторых вопросов элементарной теории интеграла Фурье. Сначала дадим основные определения. Определение 1. Функция Р„(х) вида Р„(х) = — +~~~ (а»сжбх+ 6»о1пбх) ао 2 »»и называется тригонометрическим многочленом степени и или порядка и. Поясним, почему при определении одночлена "нулевой степени" ао/2 коэффициент ао берется с числовым множителем 1/2.
Дело в том, что указанная запись позволяет единообразно представить коэффициенты ао,ам, ..,а„и 6п,..,6„в следующем виде: 1 Г 1 à ໠— — — / Р„(х)соэlсЫх, 6» = — ( Р„(х)о)пбхйх, где й = 0,1,...,п. ол Определение 2. Функциональный ряд вида Г„(х) = — + ~ ~«(а» сов Ьх + Ь» в(п йх) 2 »=1 называется тригонометрическим рядом, точнее, формальным тригонометрическим рядом. Замечание. В определениях 1 и 2 аргумент х может принимать любые числовые значения.,Поэтому вместо независимой переменной х можно рассматривать любую функцию х = у(1).
Полученный таким образом формальный функциональный ряд будем также называть тригонометрическим рядом. Определение 3. Если существует функция д(х) такая, что нсе коэффициенты а» н Ь» тригонометрического ряда ~', Д„(х) могут быть выражены по формулам Эйлера — Фурье вида 1 Г 1 а» = — Г д(х) сов/схах н Ь» = — 1 д(х)в!пlсхах, Ь = О, 1,. х л,/ то этот ряд называется тригонометрическим рядом Фурье функция д(х). При этом интегралы во всех формулах могут быть и несобственными. При научении тригонометрических рядов возникают, в основном, те же вопросы, что и в случае любых функциональных рядов. Например, для конкретного ряда можно ставить задачу определения области сходимости и функциональных свойств его суммы. Можно также рассматривать вопросы о представлении данной функции в виде тригонометрического ряда, о единственности такого представления, о специальных признаках сходимости ряда в точке и на некотором множестве, о правилах почленного интегрирования и дифференцирования ряда и т,д.
С другой стороны, будут доказаны неравенство Бесселя, равенство Парсеваля и другие утверждения, отражающие свойства общих рядов Фурье. Здесь следует сказать, что коэффициенты ряда Фурье конкретной функции несут в себе полезную информацию о ней даже и тогда, когда ряд расходится. В этом случае существуют различные способы ее извлечения. В частности, большую роль играют здесь методы суммирования расходящихся рядов, о которых упоминалось ранее. Но сначала разберем один пример, важный для дальнейших приложений, Рассмотрим тригонометрический ряд Г(х) вида ч- вш лйх тй «=! Его и-ю частичную сумму обозначим через е„(х). Определим функции р(х) и ро(х), полагая р(х) = е — (х) и Р(х), если х — — — нецелое число, Ро(х) = О, если х — — — целое число. функция ро(х) называется функцией Бернулли.
Т е о р е м а 1. При натуральном и справедливы формулы Р(х) = е»(х)+ гго(х), Ро(х) = ео(х)+ г„(х), причем ~ „ьо<в„ь), ~.ьг<в.ьг я.(е= 4 1.', Доказательство теоремы 1 будет проведено несколько позже, поскольку оно опирается на две следующие леммы. Введем еще одно обозначение. Положим Т„(х) = ~~г сое2яйх = 1+2сое2ях+.. +2сое2япх. Л е м м а 1. Имеют место соотношения: 1 а)е„(х) = Т„(х) — 1; 6)~Т (х)~ ( 2п+ 1; в) ) Т„(х)г(х = 1; о ог ( ) = ачоео ео го Д о к о з о ш е л ь с т е о. Утверждения а) — в) очевидны. рассмотрим утверждение г).
Имеем 2 сое ах еш рх = ьбп (а + Д) х — еш (а — гу) х, откуда следует, что о Т„(х) = . 7 2сое2яйхе1пхх = 2е(п хх йж-о — (еш е(21+ 1)х — еш х(2к — 1)х) = 1 2ешхх ешх(2п+ 1)х — ешя(-2п — 1)х ешгг(2п+ 1)х 2егпях е(цех Лемма 1 доказана. етз Л е м м а 2. При О < Б < 1/2 справедлива оценка Т„(х) Их Т„(х)йх г/г /7 о к а з а пг е л ь с пб в о. Т„(х) — функпия периодическая с периодом 1 и четная, поэтому г/г г-б Т„(х)йх = б~ Т„(х)4х = / Т„(х)Йх = А. б -1/г 1/г Положим а = к(2п+ 1). Тогда имеем 1/г 1/г Заметим, что на участке интегрирования функции в1пкх монотонно убывает, а функция 42(х) = 1/вшкх монотонно возрастает, поэтому 1о'(х) > О. Кроме того, ~совах( < 1, и при х = 1/2 имеем совах = = сов -"(2п+ 1) = О.
Следовательно, совах12'(х)Их / г/г 1-б 12'(х)~(х 1 — — — 1 вш хо г/г ставр б) < ' имеем — „„~~~,/~( эТвюу' " Отсюда, учитывая, что )А) < 2 ав1п кб' Далее, так как функция у = вши/х убываег на промежутке (О, 2) и хб < я/2, то имеем вшкб вши/2 2 хб и — <— хо в/2 х' в(пхб — 2' 1 1 — < —. в(п хб 2Б 474 1-б совах И г/г 1-б г/г Следовательно, 2 1 1 — а 2Б аБ я(2п+1)8 Если теперь -„( — „'+ 1 < 6 ( ~, то )А) < 1, а если 0 < б < -~„-'+,), то в силу оценки ~Т„(х) ~ < 2п+ 1 имеем 1 1 1 < — +Б(2п+1) < — + — < 1.
2 2 я Таким образом, справедлива оценка ~ ~ а ~ ~1 и я ! ( 4 (А( < поп 1, . (2ппп 1,, < .....6~ — ( ..;.~) —,б-;-.-Г;;.ъ-;; так как при любых х ) 0 и у ) 0 имеет место очевидное неравенство Лемма 2 доказана. ,г( о к а з а гп е л ь с гп в о теоремы 1. Значения функций р(х) и ро(х) отличаются только в точках вида х = х, где х — целое число. Проверим сначала справедливость утверждения теоремы для этих точек. Действительно, тогда имеем: Во(б) = Ио(0) = Р(0) — З (0) = — < 4 = В„(0), 1 г„(х) = г (0) = ро(0) — о (О) = 0 < 4 = Во(0). Если же х нецелое, то в„(х) = г„(х) и достаточно ограничиться рассмотрением одной только функции вя(х). Поскольку обе функции ~в„(х)( н В„(х) четные и периодические с периодом 1, можно считать, что 0 < х ( 1/2.
В этом случае имеем Х к е„о)о=/ ~-.-2б .г в)Ф= о а к=г я = х+ ~ ~б = х+ о„(х). Г г(о1п2яйу ях г-б )А! = Та(х)г1х !г б 1 à — — — ~ Т„(х)гбх г / о Но так как О < х < 1/2, то (х) = х и р(х) = 1/2 — (х) = 1/2 — х, х = 1/2 — р(х). Следовательно, /. 1 1 Т„(У)ИУ = — — Р(х) + б„(х) = — — еч(х), о откуда 172 11'2 1уг е„(х) = — — 1 Т„(у)11у = — — 4 Т„(у)йу+ Т„(у)1(у = Т„(у)1(у. 1 Г 1 Г 2 ) " 2 ) Теперь для оценки а„(х) применим лемму 2. Получим 172 ] „( )]= ~Т„(у)ау < = й„(х). 4 Теорема 1 доказана.
В качестве простого следствия теоремы 1 докажем еще одну теорему. Т е о р е м а 2. При и -4 оо имеем: а) б„(х) -ь ро(х); б) если Б> О и Г = [8,1 — д], то б„(х) Ьр(х) и е„(х)=$рб(х). 1 1 ,П о к а з а пь е я ь с п1 е о. Утверждение а) эквивалентно тому, что последовательность г„(х) -ь О при и — ь оо. Это действительно так, поскольку гб(О) = О прн всех н, а если х — нецелое число, то ]п„(х)] < В (х) -ь О.
что касается утверждения б), то оно следует из признака Вейерштрасса, поскольку величина ]е„(х)] мажорируется на Г бесконечно малой числовой последовательностью н„(с=7,А т р. ° 2 Т е о р е м а 3 (формула суммирования Пуассона). Пусть а < 6 — полуцелые числа, т.е. числа вида г+ 1/2, где г — целое число. Пусть функция Г(х) имеет производную Г'(х), непрерывную иа Х = (а,б], ]Г'(х)] < М. Тогда при любом иатурапьиом )У справедлива формула ь Я = У Г(п) = ~~ / Г(х) соб2ипхых+ Ви, а<ч<Ь И=-М а 47б где 8М(Ь вЂ” а) !п ()) )й)ч~ <— М В частности, при ))( -ь оо ил(еем ь я = К у( ) = Е 1 у(*).
2-.. а<п<Ь и = — сп Здесь символ ~, '' означает, что сумма ряда берется в смысле главного зиачеяия по Коши. Д о к а з а вь е л ь с и( е о. К сумме Я мы применим формулу суммирования Эйлера. Получим ь ь '=~л ) *-1'(*и'(*) *. а а По теореме 1 имеем р(х) = 8)ч(х) + аа((х). Следовательно, ь ь Я =,((х)дх — 88((х)~ (х)()х+ йгг, О а ь где й(ч = — ) а)ч(х)у (х)(лх. Интегрируя по частям и учитывая, что а зя(а) = 8)ч(ь) = О, получим ь ь За(Х)НХ вЂ” 8Ы(Х)ла (Х)((Х = а а ь Ь Дх)(лв — .Г(Х)8Ы(х)~ + 8Л)(Х)ДХ)((Х = а а ь , )( )ч =17()аа) '()(л 21 -1)а а а ь=-)ч ь — г~ у(х) сов 2к/сх!1х. Осталось оцепить остаток Я!7.
Применяя теорему 1 и учитывая, что (у (х)( < М, получим оценку < 4М !)х а / о!7(х)У (х)!1х « (Вм! < Подыитегрвльпая функция в последнем интеграле периодична с пе- риодом 1 и четпа, поэтому имеем г/г г7!7 г7г ~я,~вамв- )1 * в в«в- ! ./«~ 1' — '* 1~« 2А!х о гуь ( 1 1п Ф/2 1 8М(б — а)!и А! Теорема 3 доказана, Изящное приложение формулы суммирования Пуассона дал Дирихле. Оп нашел точное значение сумм Гаусса вида !7 !Ч 2~я~ ~~! 'сов —, ~ ~'вьв !У ' Ж «м! «=1 Т е о р е м а 4. При патуральяом гУ справедлива следующая формула: О(А!) ~ гк!«~/!7 + ! ! м 1+! „о' о к а з а «г е л ь с «г в о. Сначала напомним формулу Эйлера: ест = сов Вг+ ! В)п 17, 47В Упомянем еще об одном красивом примепепии формулы Пуассона, данном в 1903 г.
Г, Ф. Вороным, к задаче о нахождении асимптотического выражения для количества целых точек под гиперболой (зта задача носит название "проблема делителей Дирихле«). Остановимся на вычислении значений сумм Гаусса. Отметим, что Гаусс в своих "Арифметических исследованиях" предложил несколько разных способов их вычисления, но мы будем основываться на методе Дирк хле. С(Ф) = ~) Е(пя) + В, где Л'+О,о ц 1= Е .'"1(я' ер*.я=о(™), и О,о Преобразуем интеграл Е(ри). Имеем Е( ) / 2я'((я+О,оярМ) (74-р» (р'Е4) Е 0,5 (о(0,5»+11+0,5 =е -2ед а-Д е оиу 2р($.
з 0,5 рт+0,5 Суммируя величины Е(га) отдельно по четным числам 1я (т = 21) н отдельно по нечетным числам пя (еп = 21 — 1), получим аР(1+11+0,5 (о(1+0,51+0,5 2 г 01я1= 2 / . 'яррр 1 "~ Е 15рр'. (01+0.5 И((-0,5)+0,5 (о(5+11+0,5 (о(я+0,5>+0,5 2 г / 02р'% «у».1 (р соя'Ь 1(у.( я— -яре+0,5 -л (5-0,51+0,5 = 'я(ррр-"(Е ""-*р.,-о(жРр-~) тя, так как при (а( < я/14' имеет место неравенство 02ЯРР*рЕ I С яя-1!2)((-1!4 5 /рр'+а 479 где оо — действительное число.
'Записывая формулу суммирования Пуассона в комплексной форме, мы при Ее -+ со получим Переходя к пределу при Ь -о со в последней формуле для С(Ь1), получим С(АГ) = ~IФ (1+1 ~) / е~ " Нх. В частности, при М = 1 имеем о(о=(1+-Ч/ ""~*. Следовательно, Теорема 4 доказана. Далее нам потребуется выражение характеристической функции оо(х) = рг(х) промежутка 1 = [а, 6], где 0 < а < Ь < 1, через функцию Ро(х). Определение 4. Функция 1о(х) = рг(х), заданная на отрезке [О, 1], 1, если а<я<6, р(х)= 1/2, если х=а или х=Ь, О, если х<а или х>6, называется характеристической функцией промеисутка 1. Л е м м а 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
