Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 77
Текст из файла (страница 77)
В качестве примера можно указать ряд По признаку Днрихле он сходится во всех точках х вещественной оси, но можно доказать, что он не является рядом Фурье какой-либо функции. С другой стороны, теорема Рисса — Фишера утверждает, что если сходится числовой ряд з = —.а+~ „»1(а~+аз), то существует функция у(х), коэффициентами Фурье которой являются числа а» и Ь». Кроме того, тогда по теореме Карлесона сумма ее ряда Фурье существует "почти всюду" и равна у(х). Не касаясь здесь этих весьма сложных вопросов.
остановимся на доказательстве следующих утверждений. Т е о р е м а 1. Если коэффициенты с»(у) и с„(у) рядов Фурье стРого РегдлЯРных фУнкпий У(х) б Ит„и У(х) б И'т» совпадают, то у(х) = д(х) при всех вещественных.значениях х. ,О е к а з а т е л ь с т в о. Коэффициенты Фурье ск(Ь) разности этих функций, Ь(х) = У(х) — д(х) б Из„, удовлетворяют соотношению ск(Ь) = сь(у) — сь(у) = О. Поэтому в силу равенства Парсеваля справедливо равенство (Ь,Ь) = ~~ с„(Ь) =О, ьгы а отсюда следует, что Ь(х) = О или у(х) = д(х) при всех х. Теорема 1 доказана.
Т е о р е м а 2. Если тригонометрический ряд ае сеть(х) = — + ~(а„сое ох+ Ь„з1п ох) 2 »»и сходится равномерно на отрезке! = (О, 2я), то его сумма д(х) является непрерывной функцией на 1 и данный ряд является ее рядом Фурье я он допускает почлениое интегрировалие. Д о к а з а ят е л ь с ти в о. Все функции в!ппх н совпх непрерывны на 1, и в силу равномерной сходимости ряда ~ сьЯ,(х) его сумма д(х) является непрерывной функцией.
Отсюда вытекает, что равенство ~~(х)д(х) = 11(х) ~~! с„ 1„(х) пп1 можно проинтегрировать по отрезку ! и при этом в силу равномерной сходимости ряда на 1 в правой части равенства возможно почленное интегрирование. В результате приходим к равенствам сь(д) = (Ь,д) = ~ ~с„(Ь,Уп) = сю и=! поскольку (ую т"„) = 0 при Ь ф тт и (Д,Д) = 1. Таким образом, установлено, что числа стт одновременно являются коэффициентами Фурье функпди д(х).
Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3. Тригонометрический ряд Фурье ~ с„)„(х) строго кусочно-гладкой 2я-пернодяческой функции д(х) сходится к ней равномерно на отрезке 1 = [0,2тт]. Д о к а з а тп е л ь с ят в о. Сначала покажем, что тригонометрический ряд ~Ю сь ть(х) = — е + ~~1 (ап сов пх+ Ь„впч пх) 2 пп1 сходится равномерно на Г.
Для этого достаточно показать, что числовой ряд ~„()атт(+)ваО сходится и тем самым является мажорантой для 2 сь~ь(х). Прежде всего заметим, что функция Ь = Л(х) = д'(х) Е И'з„поэтому (Л, Ь) ( +со, и для функции Ь(х) справедливо равенство Парсеваля, т.е. З тп (Ь,Ь) = — + ~~т,(аь+ Д,), !тп1 где 1 Г 1 оь = — ( Ь(х)сов Ьхйх = — ~ д'(х) совйхт1х, 494 1У . 1У, !1» — — — 1 Ь(х) втп Ьхт(х = — /1 у'(х) втп Ьхт1х. Далее, поскольку у'(х) — строго регулярная функция, то при всех Ь б Н в этих интегралах допустимо интегрирование по частям. С его помощью получим 1 У Ь т" а» = — / у'(х)совЬхт(х = — — ! у(х)в)пЬхт(х = — 66», !У» = — ~ у'(х) втп Ьхт(х = — 1 у(х) сов Ьхт(х = Ьа», т.е. ໠— — р»(Ь, Ь» — — -а»(Ь.
Но тогда имеем !а»1= <~'»+ г )6»)= — <ай+ г Р»! в 1 !о»~ » 1 Отсюда следует, что ~'()а»)+ ~Ь»)) <" (о»+Р»в)+2Š— в < »=1 »=! »=! <(у,у)+2~ +1=(у,д)+3<+со. 1 »=1 Итак, мы доказали, 'что ряд ~ с»у»(х) сходится равномерно на 1 к некоторой сумме вт(х). Но по теореме 1 функция !в(х) должна быть непрерывной и совпадать с у(х).
Тем самым теорема 3 доказана полностью. Т е о р е м а 4. Если 2к-перяодическая функция д(х) д'яфференцяруема и раз, где п > 1, и ее п-я пронзводпая является строго кусочно-гладкой функцией, то: 1) ряд ~Ь" ()а»)+ (6»!) сходится; 2) ряд Фурье функцяя у(х) можно почлеяно дифференцяровать п раз, Здесь числа а» я 6» являются коэффициентами Эйлера — Фурье для функция у(х). Д о к а з а та е л ь с та е о. На основании предыдущей теоремы заключаем, что функция р„(х) = у("1(х) равна сумме своего ряда Фурье, который равномерно сходится на отрезке 1 = [0,2я].
Кроме того, если а» и 11» — ее коэффициенты Эйлера — Фурье, то ряд 2,'(]оь)+]рь]) сходится. Отсюда путем последовательного интегрирования по частям, как и при доказательстве теоремы 3, приходим к равенствам ]оь~ = Ь" ]аь], ]Д] = Ь" ]Ьь], если и четно, ]оь] = Ь" ]Ьь], ]Д] = Ь" ]аь], если п нечетно, Тем самым утверждение 1 доказано.
Справедливость же утверждения 2 следует теперь из общей теоремы о почленном дифференцировании функционального ряда, так как тогда каждый из числовых рядов 2,'Йе'(]аь]+ ]Ьь~) сходится при любом п1 = 1,..., и — 1 и является мажорантой для последовательных проязводных суммы тригонометрического ряда Фурье, т.е. функций 1в (х) = у1 1(х) на отрезке ! = (0,2к]. Теорема 4 доказана. Заметим, что вместе с теоремами 3 и 4 попутно доказана следующая теорема.
Т е о р е м а 5. 1. Если сходится числовой ряд 2,']а„]+ ]Ь„], то тригонометрический ряд по + ~ов совок + Ьвв1пох 2 сходится равномерно на отрезке (О, 2я] к некоторой непрерывной фуякцив д(х), являясь ее рядом Фурье. 2. Есл» при этом сходится ряд ,'> п" (]а„]+]6„]), где Ь > 1, то ряд Фурье функции е(х) можно почвенно дифференцировать Й раз. Лекп;ия 26 6 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЧНОЙ СУММЫ РЯДА ФУРЬЕ.
ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ РИМАНА Одной из важных задач теории тригонометрических ридов Фурье является нахождение условий, обеспечивающих сходимость данного ряда в фиксированной точке к значениьэ породившей его функции. Возникающая здесь ситуация достаточно сложна. Оказывается, что ряд Фурье функции, непрерывной в данной точке, может в ней расходиться. В то же время пример функции ро(х) показывает, что разрывность функции, вообще говоря, не препятствует сходимости ее ряда Фурье к ней самой во всех точках вещественной оси.
Далее мы рассмотрим простейшие признаки поточечной сходимости тригонометрических рядов Фурье, Но для этого потребуется вывести интегральное представление для их частичных сумм. Введем следующее обозначеняе. Будем писать ао д(х) — + '6 а» соэйх+ 6» эш йх, 2 »«и если все числа а» и 6» выражаются через д(х) по формулам Эйлера— Фурье. Другими словами, тригонометрический ряд в правой части последнего соотношения является рядом Фурье функции д(х). Если он сходитси в точке хо к значению д(хо), то можно записать равенство ао д(хо) = — + хэ а» сов бее+ 6» эбп бхо. 2 »«и Преобразуем ряд Фурье функции д(х) с помощью формулы Эйлера е'« = соех+ «э»пх, где «' — мнимая единица, Р = — 1. Для простоты можно эту формулу рассматривать как определение функции е' при мнимых значениях аргумента.
Легко доказать, что тогда основное функциональное свойство экспоненты в этом случае сохраняется на всей комплексной плоскости, т.е. если х = а + 6«(а,6 б Р), и мы считаем, что е" = е"+"' = е«е»', то м+«« ~, е«« где »1 и хз — комплексные числа. Далее, ввиду того что е'»«+ е '»* е'»* — е сов/сх =, эш/сх = 2 ' 2 497 имеет место равенство Е„- — —, + ~ (а» сов Ьх + Ь» огп Ьх) = ~ ~А,е1», »=1 й=-и где 11о — — 1ао и 1(» = 1(а|»| — /»(бр,|) = 2(а|»| — 1Ь!»| огкп Ь) при б 2Е О.
Заметим, что для величин Н» при целом Ь выполнены соотношения го г и» = — / д(х)е ' *11х = — / д(х)(совбх — гоги бх)1гх = 211 / 2х,/ о о го гл /1 д — д(х) соо lсх11х — — д(х) огп Ьхо|х = -(а|И вЂ” 1Ь|»| огеп Ь). 2 ~я,/ 111 / 2 о о Введем теперь для комплекснозначпых 2юпериодических функций Дх) и д(х) скалярное произведение (у,д) по формуле гм 1 (г,д) = — / Дх)д(х)ах. о Как обычно, черта пад знаком функции означает операцию комплексного сопряжения. Тогда имеем (у,д) = (д, у), еса = е' ", откуда следует, что о|й = (д(х),е'» ) и (е'»',е.'» ) = 1 Таким образом, совокупность функций (е1»о), где Ь принимает все целые значения, образует ортонормированиую систему функций относительно введенного выше скалярвого произведения.
Заметим еще, что весовой коэффициент 24 равен здесь Эту комплексную форму записи ряда Фурье мы используем при выводе удобиой для применения формулы для частичной суммы Е„ ряда Фурье функции д(х). Имеем г — й. "* = — г, ""*)' ко.-'"'э = 1 2я »=-» »=-о о 2» го 1 = — / д(1) "1 е1~1~ '|й = /д(1)В„(х — 1)й, 2х/ / о где функция йг„(у) определяется равенством и О„(у) = — ~~~ е1»о 211 498 Определение 1. Функция 1г„(у) называется ядром Днрихле порядка п.
Установим связь между введенной ранее функцией Т„(у) и ядром Дирихле 0„(у). Имеем Т„(у) =, =1+2 у сов2яху= ~~ сов2яху= япгг(2п+ 1)у вгп ггу а л — (сов2ггйу+ 2яп 2хlгу) = ~~) е~г~" = 2я11„(2яу). Полагая у = ~„, отсюда получим равенство 1 / а ~ 1 яп(п+ 1/2)х 2я "~2я/ 2гг в)их/2 Очевидно, что функция ьг„(х) обладает следующими свойствами: 2г 1о )' 11 (х),(х о ' .()= .(-*); Поскольку функции у(х) и Огг(х) являются 2я-периодическими, с помощью замены переменной вида 1 =-х+ у частичная сумма Е„ преобразуется к следующему выражению; е, = е )г)*)) = /ув)а)* — ~)Ф = /ув)Р )1 — *)й = в42г — у(х+ у)0„(у))1у = у(х+ у)В„(у)г(у = 1 Г яп(п+ 1/2) у — у( +у) )1у = 2я,/ вгп у/2 -к 1 у 1 = — 1 у(х+ у) свк — 91п пуг(у+ — Г у(х+ у) сов пуг(у.
2к,/ 2 2я .г Определение 2. Эту цепочку равенств назовем интегральным представлением частичной суммы Е„ряда Фурье. Справедливо следующее утверждение. 499 Л е м м а 1 (лемма Римана). Пусть д(х) Е Иго„и при некотором б > О имеем равенство д(х) = О при всех х Е (хо — б, хо+ б). Тогда ряд Фурье функции д(х) в точке х = хо сходится к нулю. Д о к а з а ш е л ь с гв е о. Пусть функции у1(у) и 5з(у) определены равенствами у1 (у) = -'д(хо + у) сой кз и,6(у) = 2у(хо + у) .
Тогда Л (у) и уз(у) Е Игм, поскольку функция сой х непрерывна вне любой бокрестности каждой точки вида х =- 2я6, где 6 — произвольное целое число, а внутри этой окрестности функпия у1(у) равна нулю. Поэтому при х = хо имеем ~~(д(хо)) У(хо+ У)0~(У)аУ у: = — / -д(хо + у) сОй — ' з)п пуНу + — / -д(хо + у) соэ пуИУ = / 2 2 к,/ 2 где б„(у,) и а„(бз) являются коэффициентами Эйлера — Фурье функций у1(у) и уз(у) соответственно. Поскольку для этих функций справедливо равенство Парсеваля. 6„(,г1) -+ О и а„(уз) э О при и — э со, откуда и следует, что Е„-э О. Лемма доказана. Из леммы Римана вытекает справедливость следующего утверждения. Т е о р е м а 1 (принцип локализации Римана). Поведение ряда Фурье в точке х = хо полностью определяется значениями функции д(х) Е И'~ в произвольно выбранной б-окрестности этой точки. Д о к а з а га е л ь с га е о. Нам, по существу, надо доказать, что если функцию д(х) изменить произвольным образом вне любой фиксированной б-окрестности точки хо, то сходимость ряда Фурье не нарушится и его суыма в этой точке не изменится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
