Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Пусть у(х) Е Ь'. Тогда из теоремы 1, в частности, следует, что если, кроме того, функция у(х) является кусочно- гладкой в некоторой Ю-окрестности точки хе, то выполняется условие Дини, поэтому интеграл Вт сушествует, а следовательно, интеграл Фурье функции у(х) в точке хе сходится к у(хе).
Из теоремы 2 следует сходимость интеграла Фурье в точке хс к У'(хе), если абсолютно интегрируемая функция у(х) в некоторой окрестности точки хе является не только абсолютно интегрируемой, но и кусочно- монотонной.. Л е м м а 5. Пусть функции 1(х),...,т1~1 б б ( — со, +оо) и пусть при х -э оо справедливы соотношения у,(х) -+ О,...,у(" П(х) -+ О, Тогда имеем (д(у)( = о ((у( ") . „7 о к а з а и( е л ь с и( е о. Интегрируя по частям, при любом А > О будем иметь (А т 1" 1(х)е1™((х = (~1" '1(х)е'*") ~ -А + (1~~ ~1(х)( — (у)е'*")~ + + (-1У) ~ у(х)е(вшах, Устремим А -э оо.
Получим т("1(х)е1™ах = ( — 1у)" / Дх)е(*"(1х = ( — 1у)"д(у) По лемме Римана имеем 1цп г1~1(х)е""((х = О, у-+(ю ( поэтому (д(у)( = о (/у/ ") . Лемма 5 доказана. Т е о р е м а 3 (равенство Планшереля). Пусть Дх),1'(х),(' (х),(р(х) Е Ь'(-со, +со) и при х -+ со имеем Дх) -+ О,Г'(х) э О. Пусть д(у) и (г(у) преобразования Фурье соответственно ('(х) н (с(х). Тогда справедливо равенство 1 Р у(х)(р(х)Йх = —, / д(у)Цу)(1у где черта над функцией (1((у) обозначает операцию комплексного сопряжения. Д о к а з а и( е л ь с га е о.
Пусть А > Π— любое число. Преобразуем интеграл = — / / у(х)емелях д(д)оу =,— / г'(х, д)Нд. Перемена порядка интегрирования в последнем несобственном интеграле обосновывается тем, что при некотором с > 0 имеют место неравенства )д(иИ < с(1 + Ь!'Г' )Р(х дН < 1 ) , ( !'р(х) дх — 1+ЪР у и, следовательно, несобственный интеграл сходится равномерно на отрезке ( — А,А). Более того, в силу признака Вейерштрасса имеет место и равномерная сходимость по параметру А при его изменении на всей числовой 'оси. Поэтому возможно перейти к пределу под знаком несобственного интеграла, и мы получим равенство, утверждаемое в теореме.
Теорема 3 доказана. Наконец, в качестве приложения теории интегралов Фурье дохажем важную формулу Котельникова. Назовем функцию Дх) сигналом, а ее преобразование Фурье д(у) спектром сигнала. Возникает задача восстановления сигнала по его спектру, т.е. функции по ее преобразованию Фурье. Часто известен спектр на конечном промежутке, т.е. фннитный спектр, и мы желаем восстановить сигнал, отвечающий этому спектру, по некоторому дискретному множеству значений сигнала. На этот вопрос и дает ответ формула Котельникова.
Пусть существуют следующие интегралы; 7 д(у) = г(у) = — 1 у(х)еы"Ых, ~/2кя а 1 ~,(х) = — / д(у)е ' "оу. ~/2кя — а Разложим функцию д(у), определенную на (-а,а) и периодически продолженную на всю числовую ось с периодом 2а, в ряд Фурье. Имеем +со д(у) = ~~~ с„е'"" °, где а с„= — / д(у)е '"" ° Ыд = — уа (и-) . -а эзг Следовательно, получим г,(е) = — ! ~~~ — г„(п — ) е'""= е г*Ыу = — а т г. ("') /,- (.—.еь е= — оо Гпггт з(п(ае — пя) — 1а~ ) =Е () а ае — пгг Если ряд Фурье функции д(у) при ~у) < а сходится равномерно, то его можно почленно проинтегрировать.
Поэтому мы получим (пя) ап(ая — пгг) Эта формула называется 4ормулогг Когнельнеяоеа. Лекция 30 ~ 13. МЕТОД ЛАПЛАСА И МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ Лаплас разработал метод для изучения асимптотического поведения при п -+ со интегралов вида ь з'(и) = / у(х)~р" (х)ах, а где у(х) положительна при всех х б [а,б). Суть его метода состоит в следующем. Пусть у(х) и р(х) гладкие функции и фх) имеет только один строгий максимум в точке х = с.
Тогда прн и -+ оо этот интеграл с большой точностью можно заменить на интеграл от этой же подынтегральной функции в некоторой достаточно малой окрестности точки х = с. Но в ней можно воспользоваться разложениями Тейлора функций у(х) н р(х) и затем последний интеграл достаточно точно вычислить. Здесь мы дадим изложение метода Лапласа в несколько нетрадиционной форме. Т е о р е м а 1.
Пусть А, ЛюЛз — некоторые положительные постоянные, г'(х) — вещественная функция, непрерывная со своими производными до третьего порядка на отрезке [а, о), я при всех х б [а, 6) справедливы неравенства О < Лз < — Р (х) < АЛт, [Р (х)[ < АЛз. Пусть также существует точка с, а < с < 6, такая, что Р (с) = О. Тогда справедлива формула В < В "'~'1Л "ьЛП'+ з ек( ) я(ь) +В ппп,, е~~'~Лз ~ + ппп —,, с~ВОЛ где  — некоторая абсолютная постоянная, ,о о к а з а т е л ь с т е о.
Из условия теоремы следует, что функция г (х) является монотонной и, следовательно, обращается в Ьза нуль не более чем в одной точке. Это и есть точка х = с. Положим б = (ЛсЛз) '66. Пусть сначала для точки с выполняется условие а+ б < с < Š— 6. Тогда имеем б с-6 с+б 6 / е' * с(г = / + / + ~ = 11 + 1г + 15. а с-6 с+б Интегралы Уб и Уг оцениваются одинаково. По второй теореме о среднем имеем с-б <, с(е (') 1 )г'(с — 6)) )16) = г' (х)е~(с) / г '(х) 16,! = <е ('+) 1 (г" (с+ 6)( Кроме того, справедливы неравенства с+б с+б К (х)ах = !К (х)~Ь > ~Л, с с )г (с+с)~ = !К'(с-6)! > ЮЛ,. Следовательно, )Еб! < Е~(') —, )(З( < Ег(с)— бЛт' — БЛр ' Воспользуемся разложением Тейлора функции г'(х) на (с — б, с+6). При некотором С б (с — б,с+ 6) получим сьб 6 б г( ),1 г( +я),( ~( )+се'+ся,( с-б б б ес(с) е "с( +ес(с) е " е с "— 1 Н 6)вл(с)РМ 535 с †у г' (х)е~(с) Р" (х) с < е~(с 1 !Р" (с — Ю)! ' а Р ' Г (~* 3 +В1еР(') / е а "Лзу~Иу= о еР(') ()~ ' = 1/2~г „, + ВзеР(') ~ — +Лай у( = ссйя я+ Ве ( )Л Ч Лзй, ЕР(с) -45 1$ (В (с)(11з где В, В1, Вз — некоторые абсолютные постоянные.
Если а < с < а+ 6, то интеграл 11 оценивается так: !11! < а е (*)дх -б В (х)еР(') В (х) < еР(а) 1 (г' (а)( Аналогично, если Ь вЂ” Ю < с < Ь, то щ< ', (ь) (Ь"'(Ь) ) Отметям, что всегда имеет место оценка е (~)с(х а /' а а 1()(з,) а ь а ( -я)а Р(с) — а 1 < Р(с) а Позтому (11( < п)(п(е~(')(г (а)! ',1/2яе~(')Л., ), 1!з( < 1пгд(еР(ь)(Р (Ь)) ', а/2яеР(с)Л ~ ). Теорема 1 доказана полностью. Пример.
Найти асимптотическую формулу при Л ~+ос для Г(Л+ 1) = Сье 'юй. о Л 2Л г (Ф) = Л 1п г — 1, В (() = — — 1, В (б) = — — )г (1) = — . П (з ' 536 Приводя подынтегрзльное выражение к виду, данному в условии теоремы 1, получим В точке 1 = Л функция Р(1) имеет максимум. Представим интеграл для Г(Л+ 1) в виде суммы трех интегралов: л~г гл го..ц= /,.) -/=о — л — ь о л(г гл Интегралы па промежутках (О, Л/2), (2Л, +оо) оценим исходя из второй теоремы о среднем. Получим цг гле-'61 «, — е-л~г = о Уз« ' ' 2(2Л)л,-гл На промежутке [Л/2,2Л] применим теорему 1. Будем иметь 2Л 16 г (1) = — < — = 16Лз гз Лг 4 о 1 16Лг = — > — г' (1) ~ — = Лг, Л 4Л гл 1ле ~(~1 = лУ2яЛ вЂ” +  — Л~~~Л Таким образом, при Л вЂ” ~+оо получим Г(Л+ Ц = %Л вЂ” +  — Лг~', т.е. при Л -++ос имеет место асимптотическаи формула Лл л Г(Л+ 1) = ъ'2яЛ ~ — ~' (1+ ВЛ '~'о) .
ззт Мы видим, что доказательство теоремы 1 основано па прииципе локализации, т.е. иа получении асимптотики интеграла в окрестности особой точки. Аналогичное применение припципа локализации к интегралам от тригонометрических функций называется методом стационарной фазы. Приведем формулировку этого метода в виде теоремы. Следует отметить, что доказательство ее в основных чертах повторяет доказательство теоремы 1. О < Лг < Р' (х) < АЛю [Р (х)! < АЛз. Пусть также существует точка с, а < с < 6, такая, что Р' (с) = О. Тогда справедлива формула ь 1я/4+ья(с1 е'Ш*~Их = з/2Я Яс + Н, ! Р" (с) ! '1з а где  — некоторая абсолютная постоянная.
Заметим, что если при всех х е [а,6] справедливы неравенства О < Лт < — Р (х) < АЛз, то из теоремы 2 следует формула для функции 0(х) = — Р(х), т.е, мы получаем соответствуюшую формулу ь для интеграла вида [е гя(*)Нх. а Д о и а з а пь е я ь с т е о. Функция Р (х) обрашается 'в нуль только в точке х = с, поскольку Р (х) является монотонной с функцией ввиду положительности Р (х) на отрезке [а,6]. Положим 6 = (ЛтЛз) '1ь. Пусть сначала для точки с выполняется условие а+ 6 < с < 6 — Ь. Тогда имеем с-ь с+Я ь [ 'Ш' ( = ~+ ~+ ~ =1, +1,+1..
а с-с с+6 Оценим сверху интегралы [11! и [1т!. По второй теореме о среднем имеем с-б Р (х) в1п Р(х) Р'(х) 1" Р (х) сов Р(а) Р" (х) с-б с-с Р (х) з(п Р(х)с(х Р (х) сов Р'(х) Нх + 1 < [Р,( 6)! 538 Т е о р е м а 2. Пусть А,Лю Лз — некоторые положительные постоянные, Р'(х) — вещественная функция, непрерывная со своими производными до третьего порядка на отрезке [а, 6], и при всех х Е [а, 6] справедливы неравенства 4 4 4 — < !Р (с с)! ! с, сЛг с-6 Точно та же самая оценка имеет место и для величины !1з!. По формуле Тейлора при некотором с Е (с — Ь,с+ 8) получим с+б 6 б , — /, (»с.-/, »+»с„-~,с»+-"~ »+~'.с»с- с-б с бс (с) + сс еб" 1 И + =(Р(.)) ~ /' " -",Р-(.))» ./' Ос 6(я»( Иа/с б ~6(4~+Н(~)) / 1 +Вг Лгу~Ну = ~/2г „+ Вг ~ — + Ласс» о — 2 ВЛ 1Л~ ч2Я(Р'( )р1г + ВЛг Лз где В, Вы Вг,(), О < () < 1, — некоторые абсолютные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
