Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Будем считать, что символ 2,2, означает, что суммирование ведется по тем парам (х,1), (ь) ' для которых внутри отрезка 2„находится по крайней мере одна точка разбиения Т1(х), а переменная 1 принимает все возможные значения, определяемые разбиением Т. Аналогично определяется символ При проведении оценки воспользуемся следующими неравен- (1) ь ствами ыь( < 2М, Ьхь < 6, Ау~ < е, ~ ахь < Н, ~Ау~ < И. ь Тогда будем иметь а(Т,Т1) < ~ ~~ ыь~АхьЬу~ < [ь,() < ~~~ ~~~ шь ~Ахеяну(+ ~~~~ мьуАхьАу~ < (ь) ! (() 2Ме ~ ~~~ 2 у( + ~ ~~ ~саха < < 2МИ ~~~ 1+~1 < 2МИе < —, (ь) р) Следовательно, е е П(Т) = а(Т ) + а(Т,Т,) < — + — = 2 2 Утверждение в) доказано, и тем самым теорема 1 доказана полностью.
1 4. СПЕЦИАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ Рассмотрим последовательность разбиений Т„прямоугольника Р, отвечающую разбиениям каждого из отрезков [ам61], [аю6т], на н равных частей, т.е. разбиение Т„будет состоять из ат равных между собой прямоугольников. Соответствующие разбиению Т„верхнюю н нюкнюю суммы Дарбу обозначим через У„н а„, а омега-сумму— через П„. Т е о р е м а 1. Для янтегрируемости ограниченной функции иа прямоугольнике необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие !пп й„= О. ь-+еа Д о к а з а щ е л ь с щ е о. Необходимость утверждения следует из теоремы 1 предыдущего параграфа, поскольку из условия 1нп й(Т) = О получим, что 1пп й„= О. ат а и-+си Достаточность. Для любого разбиення Т имеем а(Т) < 1, < Г < Я(Т), Следовательно, з„<1,<1'<Я„.
Отсюда получим, что Й„=К,— з„>à — у, >О. Но так как предел 1нп й„= О, то !' = 1, = У. В салу условия 2 ь-+сю теоремы 1 предыдущего параграфа отсюда следует ннтегрируемость рассматриваемой функции по Рнману. Теорема 1 доказана. Следующая теорема служит дополнением н уточнением теоремы 1 предыдущего параграфа Т е о р е м а 2.
Для интегрируемоств ограниченной функцни на прямоугольнике необходимо в достаточяо, чтобы выполнялось одно вз следующих эквивалентных условий: 4) 1)п1 й„= О; ь-всо б) 1пуй„= О. ь Д о к а з а т е л ь с т в о, В салу теорем 1 этого н предыдущего параграфа имеем цепочку заключений: 5) ==э 3) =с~ 1) =ь 4) ~ 5). Теорема 2 доказана. Утверждения этого параграфа представляют интерес для вычнслнтельных целей. Из них следует, что достаточно рассмотреть лишь одну последовательность разбиений Т„. В силу теоремы 2 для любой последовательности ($~„) разметок, соответствующих последовательности неразмеченных разбиений Т„, имеем 1ип п(К,) = У, причем ошнбка при замене 1 на п(г'„) не ь~ьь превосходит Й„, т.е. (о(1л) ~( < Йя ° На самом деле справедливо более обшее утверждение: для любого размеченного разбиения У и для Т = Т(У) имеем ) г(У) — 1~ < й(Т(У)).
Действительно, справедливы неравенства з(Т(У)) < я(У) < Я(Т(У)), з(Т(У)) < 1 < 5(Т(У)). Это означает, что отрезку [а(Т(У)),5(Т(У))), длина которого равна Я(Т(У))-з(Т(У)) = й(Т(У)), принадлежат оба числа ~т(У) и 1, откуда имеем 'Кг(У) — 1) < й(Т(У)), что я утверждалось выше. Лекння 3 ~ 5.
ИЗМЕРИМОСТЬ ПО ЖОРДАНУ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ФИГУРЫ Напомним определения, связанные с понятием измеримости по Жордану трехмерной фигуры. Определение 1. Фигура Р называется простейшей, если оиа является объединением конечного числа параллелепипедов, стороны которых параллельны осям координат. Такие параллелепипеды назовем стандартными. Обозначим через П = Пз множество всех простейших фягур в пространстве жз.
Очевидно, что мера (или объем) Жордана простой фигуры — это сумма объемов открытых непересекающихся стандартных параллелепипедов, иа которые эту фигуру можно разбить. Определение 2. Верхней мерой ЭКордана д'(Р) ограниченной фигуры Р' называется величина Реп,гсг т.е, точная нижняя граяь объемов всех простых фигур, содержащих Р. Аналогично, нижней мерой хКордана д,(Р) фигуры Р называется величина а,(Р) = зпр п(Р). Реп,гсг Если д,(Р) = р"(Р), то фигура Р называется измеримой по 2Кор- дану и ее мера (объем) Жордаяа равна р(Р) = д,(Р) = р'(Р).
Заметим, что объем любой ограниченной части плоскости всегда равен нулю. Напомним критерий измеримости фигуры Р по Жордану. Обозначим через дР гранину фигуры Р, то есть множество точек в В.з, не являющихся ни внутренними, ни внешнимя для фигуры Р Т е о р е м а 1. Для измернмости фигуры Р по Жордану необходимо и достаточно, чтобы мера ее границы д(дР) была равна нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о этого критерия мы проводить не будем, поскольку оно ничем не отличается от его доказательства 556 в двумерном случае. Отметим только следующие четыре свойства величины р(Р) 15.
Если Р и С измеримы, то фигуры ГО О и РО 0 измеримы. 25. Если Р и 0 не пересекаются, то р(РОС) = р(Р)+р(С) (свойство аддитивности). Зэ. Если Р С О, то,и(Г) < р(С) (свойство монотонности). 45. Сдвиги и повороты фигуры Р не изменяют значения меры этой фигуры (свойство инвариантности). Т е о р е м а 2. Для интегрнруемости ограниченной функции д(х,у) на прямоугольнике Р необходимо н достаточно, чтобы пнлиндрическая криволинейная фигура Р, отвечающая поверхности х = д(х, у), была измерима по Жордаяу. Д о и а з а т е л ь с т е о.
(Необходимость). Пусть функция д(х, у) интегрируема на Р. Нам надо доказать, что фигура Р измерима. Граница дР этой фигуры состоит вз шести поверхностей: дР=Н»ОН70 . ОН5, где Ны ..,, Н5 — часть границы фигуры Р; состоящэл из частей плоскостей, параллельных координатным плоскостям, и Не — поверхность х = д(х,у), (х,у) б Р. Заметим, что р(дН») = = р(дН5) = О, так как всякий прямоугольник или его часть имеют нулевой объем. Из критерии интегрируемости по Риману функции д(х,у) имеем, что 1п1й(Т) = О. Следовательно, для всякого е > О существует раз- Т биение Т такое, что справедливо неравенство й(Т) < е. Для этого разбиения Т рассмотрим простую фигуру О,которая есть объединение замкнутых параллелепипедов (брусов) й» б соответствующих разбиению Т прямоугольника Р, Каждый брус 0»~ состоит из точек (х,у,х) таких, что для всех (х,у) б Р»~ имеем т») < х < М») (напомним, что т»у = )пГ д(х, у), М»д = эпр д(х, у)).
)г,у)5Р»з ' 1» у)ер»а Тогда, очевидно, фигура с) содержит все точка поверхности Н5. Далее, имеем р(й) = й(Т) < 5. Поскольку Нэ С Р, получим, что р'(На) < ц В силу пронзвольностя е > О это значит, что р(Н5) = О. Отсюда следует, что р(дР) = О, и тогда согласно критерию измеримостн фигура Р измерима по Жордану. Необходимость доказана. Достаточность, Мы имеем, что Р измерима. Из критерия измеримости получим, что р(дР) = О. Это значит, что для любого 5 > О существует фигура Р б П такая, что Ну С й и р(й) < 5.
Фигура В есть объединение нескольких замкнутых брусов й„, г = 1,...,1. 557 Можно считать, что проекция фигуры Р на плоскость с = О совпадает с Р. Если это не так, то можно вместо Р взять ее пересечение с бесконечным цилиндром, состоящим из точек (х,у,х) с условием (х,у) б Р. Проекции всех брусов Р„г = 1,...,1, на плоскость х = О дают разбиение прямоугольника Р на прямоугольники 1'„)„.
Продолжая стороны каждого прямоугольника )й, до пересечения со сторонами прямоугольника Р, получим некоторое разбиение Т прямоугольника Р на прямоугольники Р» ь Заметим, что для любой точки (х,у) б Р» ~ имеем (х, у,гн» )) б Р н (х,у, М»3) б Р, где га»у = ш1 у(х,у),М»у = зпр у(х,у) Это 1х,а)е)ч ~ (а у)5Ра ~ утверждение имеет место, поскольку На С Р. Обозначим через Р»у брус с условием (х, у) б Р» ь го» ) < х < М» ). Пусть Ро — объединение всех таких брусов Р» ь Тогда получим, что Ро С Р и р(Ро) < р(В) < 5. Отсюда имеем, что д(Ро) = П(Т) < е. Следовательно, )пт О(Т) = О, т.е. у(х,у) интегрнруема на Р.
Теорема т 1 доказала. $ 6. ПОНЯТИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА РИМАНА ПО ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ, ИЗМЕРИМОЙ ПО ЖОРДАНУ Для дальнейшего нам потребуется ввести понятие предела еще по одной базе множеств. Рассмотрим функцию д(х, у), определенную на ограниченной области В, измеримой по Жордану. Определение 1.
Разбиением т области Р будем называть конечный набор измеримых по Жордану множеств Р»,..., Р» с условиями: 13 Х)»0 ОР~- — В; 23 нрв всех га,и <1, го ф и, имеем р(Р ОВ„) = О. Совокупность всех разбиений т обозначим через Ао. Определение 2. Диаметром Н = Ы(Р) миозкества В называется величина зир р(а,ь). а,беР Диаметром с», разбиения т области Р будем называть величину ~Хт = птахИ(Р„). ч(С Точки аы...,ао а, б Р„1 < з < 1, будем называть разметкой данного разбиения г и обозначать символом 13 = )3п, а разбиение )3 будем называть размеченным разбиением.
558 Множество всех размеченных разбиений множества Р обозначим через Ар. Определение 3. Интегральной суммой размеченного разбиения г» будем называть величину о()У) = ~~г д(ап)!1(Р»), ап = (хп, уп). п=1 Определение 4. Число ! называется обобщенным двойным интегралом Римана функции д(х, у) по ограниченной области Р, измеримой по Жордапу, если для любого 5 > О найдется число а = а(е) > О, такое, что для любого разбиения ~3 = г»р с' условием гав < а имеем )гг()г) — !~ < ж Обобщенный двойной интеграл можно рассматривать как предел по базе, Ее мы будем Обозначим эту базу символом Ьд -г О: она будет состоять из окончаний 55~ С Агг», определяемых условием г Очевидно, что функция гг(,д) = !, д(ап)р(Р») определена на множе»=1 стве Агг», а ее предел по базе гагг — г О и есть обобщенный двойной интеграл по области Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
