Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Тогда имеет место следующий равномерный предел =$ О пря !!Ьх!! -+ О. !! ( .~*)!! )!Ьх(! о, Другими словами, существует числовая функция а(сьх) -+ О при сьх -~ О такая, что для всех х Е Ос справедливо неравенство !(г(х, Ьх)!! < а(Ьх)(!гьх)!. Д о к а з а гп е л ь с п1 е о. Рассмотрим х-е координаты векторов Ьф и Иф. По определению имеем Щ = (Ьх,Осадишь(х)), а из теоремы 1 при некотором ~ получим Ь~рь =- ьгь(х+ Ьх) — 1гь(й) = (Ьх, игам 1гь (~г)). Следовательно, ь1п» вЂ” ичко = (лх, игам Фь (с) — игам уь(х)). Далее, так как частные производные отображения 1с непрерывны на компакте Ле, то в силу их равномерной непрерывности на Ое будем иметь дрь(г,) д1пь(х) ! где аь(Ьх) зависит только от сьх и аь(Ьх) -+ О при Ьх -> О.
Отсюда, используя неравенство Коши, получим !Ьуь — Щ! < !!Ьх!!. /поь(Ьх). Следовательно, ь ь !!г(х,сьх)!! < ~~ !Люсь — ы1гь! < (!дх(). го~~~ оь(~1ьх) — о(ах)!!дх!! Ьп1 ь=! причем а(Ьх) -~ О при Ьх-+ О. Теорема 3 доказана. Лекпжя 6 ~ 12. ОБЪЕМ ОБЛАСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ. ТЕОРЕМА О ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ Докажем теорему об объеме области в криволинейных координатах. Т е о р е м а 1, Пусть (,) выпуклый измеримый по Жордаву компакт я В образ его при гладком взаимно однозначном отображении ф.
Тогда: !) множество В измеримо по Жордаву; 2) р(В) < ( " ) (У(Нр, .где,У вЂ” определитель матрииы Якоби (! (якобнав) отображения р. Напомним, что определение матрицы Якоби и дифференцяала отображения дано в конце предыдущего параграфа. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ограничимся рассмотрением случая плоских областей (~ СРс~. Заметим сразу, что так как модуль якобиана отображения (в является непрерывной функцией на Я, то эта функция интегрируема на (!. Пусть Р— некоторый стандартный квадрат, содержаший компакт Я. Пусть, далее, квадраты Рь ~ со стороной Ь составляют разбиение квадрата Р. Тогда множества Яву = Я О Рь~ образуют разбиение г компакта 0 на выпуклые измеримые множества.
Зафиксируем произвольное е1 > О и возьмем величину Ь столь малой, чтобы общая площадь всех квадратов Рь ь содержащих хотя бы одну точку границы д(,"( компакта Я, была бы меньше е1. Назовем такие пары (Ь, !) особыми, а остальные — обычными. Диаметр 42 каждого множества Яь~, отвечающего особым (Ь,!) при отображении л, по теореме 2 возрастает не более, чем в с раз, т.е. его образ Вь ~ можно накрыть кругом радиуса, не превосходящего сЬ или квадратом со стороной, не превосходящей 2сЬ. Его площадь не превосходит 4сзЬз, Обозначим через р1 сумму по особым парам (Ь,!) площадей Вал = ф(ф,л). Имеем р1 = ~~~ р(Вь ~) < ~~~ 4сзр(Раз) < 4сте1. (ьЛ (ьЛ Поскольку дВ принадлежит объединению этих В» ь р(дВ) < 4сзе1.
Ввиду произвольности выбора числа е1 > О отсюда имеем, что р(дВ) = О, т.е. множество В измеримо по Жордану. Обозначим через р(В) меру Жордана областя В. Тогда имеем р(В) =,и1+ рз, где величина п1 определена выше и пз = 2 р(Вь(). (ьЛ П Символ 2 означает, что суммирование ведется по обычным парам 1», () (Ь, 1). Рассмотрим теперь какой-либо квадрат Р» и целиком лежащий внутри Я. Тогда имеем Я» ~ = Р» ь Обозначим его вершины через хо йо + амхо+ аюхе+ а~ + аг, причем Ца~Ц = Цю»Ц = Л. Очевидно, что для любого й Е Р»у имеем Цй — хэЦ = ЦЬхЦ < 2Л. Пусть А— матрица Якоби отображения у. Тогда при линейном отображении с этой матрицей А квадрат Р»~ перейдет в параллелограмм К с вершинами йо = ф(хо), у~ = ф(ххо) + Аа~ = да+ был = ф(ххо) + Ааз = йв + 6з 9з = ф(ххо) + А(а1 + аз) = рэ + (Ь| + Ьз) Пусть а(г»*) — функция, определенная в утверждении теоремы 3 311.
Заключим стороны параллелограмма в "рамку" Кы образованную точками, отстояшдми во внешнюю сторону от параллелограмма иа расстояние, не превосходящее р = п(2Ь) . 2Ь. Тогда К С К~. Докажем, что В»у С К~, то есть, что для любой точки х Е Р» ~ ее образ у = р(х) Е К». Действительно, так как У Е Р»у, то уе+4ф(х) Е К. Поэтому имеем ЦР(*) — уЭ(хо) — Ыр(х)Ц = ЦУ(хо, с»х)Ц < 2Ьа(2Ь) = р, то есть ф(х) Е К~.
Теперь заметим, что множество В» ~ измеримо по Жордану по тем же причинам, что и В, Периметр параллелограмма К не превосходит с 4Ь. Поэтому, исходя из построения фигуры К~ будем иметь Р(К~) < р(К) + р с 4Ь+ 4ярз, Поскольку В»у С Кп то величина р(В»у) удовлетворяет неравенству р(В»~) < р(К~). Используя эти неравенство, приходим к оценке р(В» ~) < р(Кд) < р(К) + р с 8Л+4ярз = р(К) + Ь(Ь).
Из линейной алгебры известно, что для линейного отображения с матрицей А, определитель которой равен,У, и при котором квадрат Р» ~ переходит в параллелограмм К, справедливо равенство Р(К) = Фр(Р»у) Используя это равенство, получим Р(В»у) < Мв(*»у)(Р(Я»у)+ МЬ). Далее, для каждой особой пары (Ь,!) выберем произвольным образом точку й» ~ б Я»8 и образуем сумму ) ув(йкд!Р(як, ), 576 где у„означает, что суммирование ведется по особым парам (Ус,1). Так как функция /,Уо(й)( непрерывна на компакте Я, то по теореме Вейерштрасса она ограничена некоторой постоянной ст > О. Поэтому ~а~( < св ~~' р((3ьу) = сэр~ < схем Пусть а = а~+от, где ат = 2 ~,Уе(йьу)(р(Яьу), причем в последней сумме суммирование распространено на обычные пары (Ь,(). Оценим разность между интегральной суммой а и величиной р(Я).
Имеем (р(У() — а( = ) ~ (р(Яку) — )Уи(йьо))рфьл)) + ~ р(Яь ~) — аг( < н < (~ (+ )~~~ (+ )а~!. Воспользуемся ранее доказанными неравенствами. Получим ( ~Х' ) < т р(С~) ~~'„Ь = ~Х'. иЯ~О) < р(Ю) < 4стеы (а~( < сзсь Сумма о представляет собой интегральную сумму для функции ~Уи(й)~ по множеству Я. При Ь -~ О эта сумма сходится к ицтегралу Поскольку ьо' стремится к нулю при Ь -+ О, то из полученных а~и выше оценок при Ь -+ О находим р(Н) < У+ (р(У() — У) < У+ е~(4с + ст).
В силу произвольности выбора числа е~ отсюда получим, что р(й) < У. Теорема 1 доказана полностью. Т е о р е м а 2. Пусть Ц вЂ” измернмый по Жордану компакт в пространстве Й" н В образ его прн гладком взаимно однозначном отображении 1о. Тогда 1) множество Й измеримо по Жордану, 2) р(В) < ) .) (,У)Ыр, где У =,Уо — якобиап отображения 1о. Я 21 о к а з а т е л ь с т е о.
Покажем, что в условии теоремы 1 можно отказаться от требования выпуклости множества ф. Для Н:!ещпи на манане.'ана жоан ватт где к(Т) — нижняя сумма Дарбу по неразмеченному разбиению Т множества Я. » Имеем з(Т) = 2 ткрк, где Я» — элемент разбиения Т множества к»м Я на области Я9,...,Я», измеримые по Жордану, т» = 1п! !l-~, и» = о» р(Як) и Я» = Ф(В»). По теореме 2 при всех» от 1 до и справедлива оценка р(Ф) < |Уй! Ф Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получим /~ Ц~ »(р < ММ»(В»), где М» = зор(Уе(, Теперь заметим, что,Уе — — /„,, позтому тк = М и» Но тогда приходим к неравенству » » к(Т) < ~ ~т»М»р(Я») = ~ ~р(Я») = р(К).
к=! к=! Тем самым получены неравенства р(К) < (Уи1»(к! < р(К), е которые равносильны равенству Теорема 3 доказана. Т е о р е м а 4. Утверждение теоремы 3 остается в силе и без ограничения иа значение якобвана Уз. Д о к а з а т е л ь с т е о. Рассмотрим множество К точек и Е !»7, в которых якобиан У(й) = Уи(й) обрап!ается в нуль.
Покажем, что множество точек К вЂ” замкнуто. Действительно, если хо — предельная точка для К, то найдется последовательность й„б К такая, что и» -+ йо при п -+ оо. Тогда У(я») = О н в силу непрерывности функции У(й) справедливы равенства У(йо) = У( 1(п! й») = 11!в У(й») = О. !9' »79 Следовательно, йе е К. Зафиксируем произвольное число б > О. Каждую точку и Е К окружим окрестностью, в которой функция 1(й) удовлетворяет неравенству ~,7(й)) < 6.
Поскольку К вЂ” компакт, то из всей совокупности окрестностей можно выделить конечное подпокрытие. Обозначим выделенные окрестности через Ка и разобьем множество 9 на два множества Юо н (~(, полагая Яо = Ко ОЯ и Я( = 9 ~ Юо Тогда (е = Яе О Я( и Яе О ~( — — З. Оба множества ( >е и Ям очевидно, измеримы по Жордану. Кроме того, (~е — открыто, а Я вЂ” замкнуто, поэтому Яг — тоже замкнуто. Тогда по теореме Вейерштрасса функция )У(У)~ достигает на ь„(( своего минимального значения гп в некоторой точке й0 б Я(. Число т больше нуля, так как йо не входит в К С Юо, поскольку Яе н Я( не пересекаются. Следовательно, к образу В( множества Щ при отображении (е можно применить теорему 3, а к образам В и Ве множеств Я и Язв теорему 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
