Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 89
Текст из файла (страница 89)
НеоБходимость. По теореме 1 для любого натурального числа и множества Р(1/и) имеют лебегову меру нуль. Отсюда получим, что лебегова мера Р = () Р(1/и) равна л=! нулю. ,7осн!оп!очносп!ь. Для любого а > О имеем Р(а) С Р. Поэтому, если мера р(Р) = О, то р(Р(а)) = О. Из теоремы 1 следует интегрируемость функции у(х) на прямоугольнике Р. Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3. Пусть функция у(х) интегрируема на прямоугольнике, и! = )п(у(х), М = зару(У) и пусть функция /(!) «епрерывиа на р отрезке [т, М). Тогда /(д(х)) иптегрируема иа прямоугольяике Р.
,7 о к а з а !л е л ь с и! в о. Точка непрерывности функции д(х) будет точкой непрерывности функции /(у(х)). Следовательно, вав точками разрыва у оу могут быть только точки разрыва функции у. И поэтому множество точек разрыва у оу имеет лебегову меру нуль, как подмножество множества меры нуль (по критерию Лебега мера множества точек разрыва у(Я) равна нулю). Теорема 3 доказана.
Определение 1. 1) Число 1 называется несобственным двойным интегралом первого рода от функции д(х,у) по неограниченной области Р, если для любой последовательности областей Р„, являющихся ограняченными, открытьгми, связными, измерямыми по Жордаиу, и удовлетворяющих следующим условиям: а) для любого натурального числа и имеем Р„С Р„+! С Р (условие монотонности); б) !.! Р„= Р (условие исчерпывания),/пев!!пе имеет место соотоси ношение 1!гп 1„= 1, где 1„, = Ц д(х, у)с(р. о-+со о„ 2) Число 1 называется несобственным двойным интегралом второго рода от неограниченной функции д(х,у) по ограниченной измеримой по Жордану области Р со множеством особых точек 1, С Р (Р— замыкание Р), если для любой последователыикти областей Р„, являющихся открытыми, связными, измеримыми по Жордану, и удовлетворяющих следующим условиям: а) для любого натурального числа п имеем Р„С Р„+! С Р (условие монотонности); б) !! Р„ = Р (условие исчерпывания); оо! в) Х г! Р„= ю, имеет место соотношение В!и! 1„= 1, где о-Ссо Последовательность (Р„) в определении несобственных интегралов первого и второго рода будем называть допустимыми (нлн Р допустимыми) .
Замечания. 1. Ясно, что для существования несобственного интеграла второго рода необходимо, чтобы р(Л) = О. 2. В обоих случаях несобственного интеграла первого и второго рода мы сохраняем стандартное обозначение 1 = Цд(х,д)с!и. о 3. Точно такое же определение несобственного кратного интеграла имеет место и в случае кратности, большей двух. Т е о р е м а 1. Пусть д(х,д) > 0. Тогда для сходимости несобственного интеграла 1 = Цд(х, у)с(д необходимо и достаточно, и чтобы числовое множество (1„= Цд(х, у)од) было ограничеяо хотя В„ бы для одяой последовательности Р-допустимых множеств Р„. Д о к а з а гп е л ь с т е о.
Необходимость. Если интеграл существует, то последовательность интегралов 1„сходится к 1. 589 Следовательно, последовательность (1„) ограничена. Необходимость доказана. ~7осшаглочносьчь. Пусть (1„) ограничена. Тогда по теореме Вейер- штрасса существует предел 75 — — !ип 1„, где Уо = вар 7„. э-эсс Пусть 10„) — другая Р-допустимая последовательность и 0 д(я, у)папу — соответствую5цая ей последовательность интегралов. р'„ Зафиксируем теперь некоторое множество В и рассмотрим последо- вательность Р„= Р й Р„.
Очевидно, последовательность (0„) является Р - допустимой. В э СО частности, для любого п имеем Р„С В„+,, о В„= В, и все акч множества Р„являются открытыми, связными и измеримыми по Жордану, Для дальнейшего будет необходима следующая лемма 1, имеющая и самостоятельный интерес, Л е м м а 1 (лемма об исчерпывании). Справедливы соотношения: !!гп р(0„) = р(0 ), 1пп р(0 ~ 0„) = О. ~7 о к а з а т е л ь с т в о. Последовательность р„= д(0„) неубывающая и ограничена сверху числом р(0 ). Следовательно, существует число ро — — !пп р„, причем ра < д(0 ).
Надо доказать, что дс — — д(0 ). Рассмотрим замыкание Р множества Р, то есть множество В = В„, ОдР„,. Так как множество Р измеримо, то д(дР ) = О. Следовательно, для любого е > О существует открытое простейшее множество И' = И', б П такое, что д(И~) < с, дР С И~. Множество Р— компакт, а множества (0„), и = 1,2...., и И' образуют его покрытие открытыми множествами.
Из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие множества Р: Р„, С С Р„, и И! Отсюда имеем Р„„О Иг З В, Следовательно, д(0„„)+д(И') > р(0 ), и„„+с > р(0 ), т.е. для любого е > О справедливо неравенство ДО+5 > ил~+с > д(Цд). Поэтому имеем ра > д(0„,). Но мы уже показали, что до < р(0,„). Таким образом, получаем, что до = р(Р ). 590 Далее, в силу того что (Р,„~1 Р„) О.Р„= Рт и (Р,„1Р„) О Р„=. 1в, из свойства аддитивности меры имеем р(Р 1Р.)+р(Р.) =р(Р ) Ф и Следовательно, 1пп р(Р, 1, Р„) = О.
Лемма 1 доказана. о-~во С л е д с т в и е. Пусть выполнены условия леммы 1. Пусть Р также д(х, у) интегрируема на Р . Тогда имеет место равенство !пп у(х,,у)дхду = у(х, у)дхду = 1 О" О' ,с7 о к а з а т е л ь с т в о. В силу свойства аддитивности интеграла имеем 1,„ — / / у(х,у)дхду = ~ / у(х,у)дхду. ОМ О'„' Поскольку функция у(х,у) ограничена на Р, т,е. существует число с > О такое, что для любой точки (х,у) Е Р„, имеем ~д(х, у)~ < с, при и -э сю получим у(х, у)дхду) < ср(Р ~ Р„) -+ О.
О'„' Следствие доказано. ЗавеРшим тепеРь доказательс1аво теоРемы 1. Так как Р„С Ро, то справедливо неравенство Перейдем в этом неравенстве к пределу при и -'-+ со. Используя следствие, получим = 11п1 1 у(х у)др < 1а н-+оэ у О'„' Отсюда имеем, что существует 1 = 1пп 1, причем 1 < 1о. Но т-~со ™ если теперь в наших рассуждениях последовательности Р„и Р„ поменять местами, то получим противоположное неравенство 1о < 1 . Следовательно, 1 = 19.
Теорема 1 доказана. 591 Т е о р е м а 2. Пусть функции д(х, у) я до(х, у) янтегрнруемы на любом измеримом по Жордану компакте, содержащемся в множестве Р, я пусть на этом множестве Р справедливы неравенства О <до(х,у) < д(х,у). Тогда имеем: Ц если несобственный интеграл Цд(х, у)((р = 1 сходится, то схо- Р дится интеграл Оде(х у)((р = 1о,' 21 если же яесобствеяный яятеграл Оде(х,у)(1р расходятся, то Р будет расходиться и интеграл Д д(х, у)((р.
Р Д о к а з а я( е л ь с (и е а. !) Так как интеграл 1 сходится, то существует Р-допустимая последовательность (Р„), такая, что прн и -+ со имеем 1 = у(х,у)Ф -+ 1. Но тогда справедливы неравенства уо(х,у)с(И < 1„< 1 и, кроме того, последовательность 1„является неубывающей. Следовательно, существует предел 1пп 1„= 1о < 1. По теореме 1 имеем, п -+оо что существует несобственный интеграл 1о = Д до(х, у)((р Р 2) В силу расходнмости интеграла Д'до(х,у)ар для любой Р Р допустимой последовательности Р„при и -+ оо имеем 1„= до(х, у)4~ -+ +со.
Следовательно, при и -+ оо получим 1„-++со, поскольку 1„> 1„. Теорема 2 доказана. С л е д с т в и е теоремы 2. Пусть несобственный интеграл сходится. Тогда сходится интеграл 592 Д о и а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функции 91+и !М вЂ” д д+ = 2 ' 2 д- =- Поскольку О < д < 1д( я О < д+ < )д), по теореме 2 сходятся интегралы Д д йр, Д д+йи Но тогда сходится интеграл от функции д = д+ — д и и Следствие теоремы 2 доказано. Определение 2. Если сходятся интеграл Д' )д(к, у)(ад, то говорят, и что интеграл Д'д(я, у)йд сходится абсолютно. и Последнее следствие можно сформулировать так: если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он сходится. Заметим, что утверждения, аналогичные теоремам 1 и 2, имеют место и для несобственных интегралов второго рода.
Оказывается, что в случае несобственных кратных интегралов обычная сходимость влечет за собой и абсолютную сходимость. В случае однократных интегралов это не так. Приведем только формулировки двух теорем, полезных для приложений. Т е о р е м а 3. Если интеграл Д д(к, у)ар сходятся и существует и повторный интеграл от функции д(т,у) по области Р, то двойной интеграл равен повторному.
Т е о р е и а 4. Если интеграл Д д(у)йд сходится и у = аг(й)— гладкое отображение области Ра в Р, взаимно однозначное для внутренних точек Ра, то справедлива следующая формула замены переменных: )) кр)ь =)) ккг)м (~мг и па Примеры. 1. Интеграл Ясу>1 ° )и=аг1т" +м, ~ ) ~ '* ~ < Рассмотрим множество Ел точек й, удовлетворяющих неравенствам А < ЯЦ < 2А. Положим А = Ах —— 2", к = О, 1,2,....
Получим < ~'. рог~) < ~~' 2 .2 / д пипа — 2ьа О Я к=а 593 Последний ряд сходится при — а+и < О, т.е. при а > п. Пусть Кд— множество точек х вида ))х)) < А. Тогда имеем И(од) = И(Кг») И(Кд) = А (И(Кг) И(Кг)). Отсюда =„> ~~~ 1ь+,«2 "(И(Кг) — И(К!)). ~ ((и(( — „,2~" '- 11в11>' Последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2" . Следовательно, по признаку сравнения интеграл расходится при а < и. 2. Интеграл 11*И>г где аы...,а„< О, сходится при — '+ + „— ' < ! и расходится при — +.. + — '>1. «, « Пусть Яд — множество точек, для которых справедливо неравенство А < (х1(«~ +...
+ 1х„(«. < 2А Тогда для любой точки и Е Ьд имеем )х,) < (2А)'~"', о = 1,..., и. Следовательно, 1 И(Я~) < — 2" 2- + 2 ! 2" Отсюда получим, что интеграл сходится прн ~ + + ~ — ! < О. Пусть Кд множество точек х с условием )хг( '+ +)х„)'" < А и 5д — — Кгд 1Кд. Очевидно, имеем И(од) = И(Кгд) — И(Кд) = А" + +" (И(Кг) — И(/»г)).
Следовательно, интеграл > ~~~, — „2 ! '+' + "1(И(Кг) — И(Кь)) »=о расходится при — + . + — — 1 > О. 1 1 На этом мы завершаем рассмотрение теории несобственных кратных интегралов. Лекция 9 ~ 15. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Наша задача со< тоит в том, чтобы распространить понятие измеримости на множества, расположенные на двумерных поверхностях в пространствах размерности три и выше. Для этого нам необходимо ответить на следующие вопросы. Что такое поверхность? И какие поверхности мы будем рассматривать'? Раньше (во втором семестре) мы называли поверхностью О множество точек (я,у, э), удовлетворяющих уравнению г = у(к,у) для некоторой функции у(х,у) от двух переменных я и у, причем точка (я, у) принадлежит некоторому множеству на плоскости иОу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
