Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Тогда, используя еше и теорему о среднем, получим 0 < и(Р ( ( / "/ 1и г( ~и < Ь(я ( < Ь (Е( Следовательно, (/" /(гг(Ф5~и(Е(. В силу произвольности выбора б > 0 это означает, что )1е) 4л = р(В). Теорема 4 доказана. Т е о р е м а 5 (формула замены переменных в кратном интеграле), Пусть Ра — нзмерямый по Жордану компакт в ф — гладкое взаимно.однозначное отображение компакта Ро на Р. Пусть также функция д(у) ввтегрвруема ва Р, а фувкцвя у(х) = д(ф(х))11а(х)~ внтегряруема ва Рю Тогда имеем Д о к а з а т е я ь с са в о. Возьмем произвольное разбиение Т области Р на измеримые области Нс,..., Яс, и пусть ф(1~,) = В„э = 1,...,1.
Обозначим через пс, = шдд(у), М, — — эпрд(у). По теореме о среднем имеем са, / ° ° ~ Дс(ус < / ° ~д(ф(х)ЯЛа(х)ЯЙх < М, / /~9(с)1с. Из теоремы 4 следует, что сс(В,) = 1'-" ) ~.7ф1с. Поэтому, просуммис1* рован предыдущие неравенства по ь от 1 до 1, получим с с с=1 си1 о т.е.
справедливы следующие неравенства для верхних и нижних сумм Дарбу от функции 9(у) по области Р, отвечающих разбиению Т; в(Т) < ' ' ' 9(ф(х)у,сФ(х)(ссх < о(Т). и, В силу интегрируемости функции д(у) получим 8(Т) -+ А, Б(Т) -+ А при 15т -+ О, где А = ) ) 9(у)ссу. Следовательно, имеем и Теорема 5 доказана. Замечание. В теоремах 4 и 5 в качестве отображения ф можно взять любое ортогональное отображение. Якобяан этого отображения равен 1. Следовательно, мера Жордана и интеграл Римана инвариантны относительно движений пространства и их определение не зависит от $81 выбора прямоугольной системы координат. Отметим, что инвариант- ность меры Жордана ранее была получена нами из геометрических соображений, Примеры.
1, Переход к полярным координатам от прямоугольных координат производится по формулам х = гсоеу,у = гевар,г > 0,0 < ~р < 2я. Якобиан отображения (х, у) — ~ (г, ~р) равен г, Формула замены пере- менных имеет вид В(х, у)дхйу = В(г гов не, ге|в р)гдгИ~р. 2. Переход к сферическим координатам от декартовых прямоугольных координат выполняется по формулам х = гсоеусовд,у = ге(п~осоеВ,х = гипВ, где г — длина радиус-вектора текущей точки М от начала координат,  — величина угла между радиус-вектором ОМ и его проекцией на плоскость хОу, ~р — величина угла между осью Ох и ОМ, и, кроме того, г > О, 0 < у < 21г, (В( < т. Якобиан етого отображения равен гт созВ.
Таким образом, получаем для дифференциального выражения злемента объема еУ следующую формулу: еУ = Ыхеуйг = г~ сов ВИгИрВВ. Лекция 7 » 13. КРИТЕРИЙ ЛЕБЕГА Начнем с определеняя множества нулевой меры Лебега. Открытый параллелепипед назовем стандартным, если его ребра параллельны осям прямоугольной системы координат. Объединение не более чем счетного числа стандартных параллелепипедов назовем простейшей фигурой. Определение 1. Множество А точек в пространстве и» имеет лебегову меру нуль, если для любого е > О существует конечное яли счетное множество открытых стандартных параллелепипедов П», lс = 1,..., с объемом р(П») = б», покрывающих А, А С 0 П», я таких, »»и что ~ б»<г. »»и Л е м м а 1.
Конечное нлн счетное объедвненяе множеств лебеговой меры нуль является множеством лебеговой меры пуль. ,а о к а з а га е л ь с гп в о. Нам дано, что д(А») = О,к = 1,.... Докажем, что р(А) = р( 0 А») = О. Действительно, по определению, »»и для любого е > О существует простейшая фигура П» такая, что А» С П» и р(П») < е/2».
00 СО СО ОО Кроме того, имеем А = О А» С 1з П» и р( О П») < 2 р(П») < е »»п»»п »=~ Следовательно, множество А имеет лебегову меру нуль. Лемма 1 доказана. Л е м м а 2. Пусть В С А, р(А) = О, Тогда р(В) = О. Я о к а з а га е л ь с т е о, Поскольку любая простейшая фигура, покрывающая множество А, покрывает и множество В, утверждение леммы сразу следует из определения множества лебеговой меры нуль. Лемма 2 доказана.
Л е м м а 3. Компакт А С %", и > 1, лебеговой меры нуль измерим по Жордану я его мера Жордака равна нулю. В о к а з а т е л ь с щ е о. Так как лебегова мера компакта А равна нулю, то для любого г > О существует простейшая фигура, состоящая ве более чем счетного множества открытых стандартных параллелепипедов, покрывающая А, и имеющая объем, меньший е. Из этого покрытия можно выделить в силу компактности конечное подпокрытие с объемом меньшим е. Следовательно, множество А измеримо по Жордану и его мера Жордана равна нулю. Лемма 3 доказана. Далее, пусть функция у(х, у) ограничена'на прямоугольнике Р. Обозначим через П = П(б) = П(хо, б) куб, состоящий из точек (хп..., х„) с Условием хоп — б < хв < хол + б,в = 1,...,п, где йо —— (ход, ,хо,„).
Определение 2. Колебанием функпии у(й) в точке хо назовем величину ы(*о) = ыд(йо) = 1щ вир (у(х) — у(у)). П сввп Другими словами, имеем м~(хо) =и~ЯМв(хо) тв(ха)), П где Мв(йо) = виру(х),тв(хо) = )ПАВ у(х), ввП ввп Имеет место следующий критерий непрерывности функции в точке в термиыах колебания функции в точке. Л е м м а 4. Функция у(й) непрерывна в точке йв тогда я только тогда, когда ыд(хо) = О. Д о к а з о т с л ь с т в о.
Необходимость. Пусть функция у(й) непрерывна в точке хо, Предположим, что ыд(хо) = а > О. Рассмотрим куб П1у„. Тогда из определения величины мд(хо) имеем Мц„(хв) — тц„(хо) > а. Отсюда получим, что существуют точки х„ и ув такие, что у(й„) — у(ра) ) — ) О, Кроме того, нмеем 1пп х„= 1пп у„= *о. Но тогда, переходя очос о-~со в предыдущем неравеыстве к пределу при и -+ оо и используя непрерывность функции у(х) в точке хо, получим О > а/2 > О. Это противоречивое неравеыство показывает, что сделаныое предположеыие неверно. Следовательно, ыд(йо) = О. Необходимость доказана. Достаточность. Поскольку ид(хо) = О, для любого в > О существует б = б(в) > О такое, что для любых х,у Е П(б) имеем ~у(*) — у(9)) < в.
Положим у = йо. Тогда последыее условие будет условием непрерывности фуыкции у(х) в точке йо. Лемма 4 доказана. Обозначим через Р(а) множество точек Х Е Р, удовлетворяющих условию ыд(х) > а > О. Л е м м а б. Множество П(а) замкнуто. Д о к в з а т с л ь с т в о. Пусть хо — предельная точка множества 1з(а). Докажем, что оыа принадлежит П(а). Поскольку хо предельная точка В(а), существует последовательность х„Е О(а), сходящаяся к хо. 584 Для любого б > О найдется х„б Пэ(йе), В силу того, что Пэ(хе) открытое множество, существует б1 > О такое, что Пгч(х„) С Пэ(йе).
Отсюда имеем Мэ(ХО) — Гнэ(ХО) > Мэ,(ккь) — т51(ХХь) > ЫЕ(й„) > а. Следовательно, ыд(йо) = (п((М5(хе) — пы(хе)) > а, то есть точка и ххо б Р(а)- Лемма б доказана. Т е о р е и а 1. Ограниченная на прямоугольнике фуикпи» интегрируема по Рима»у тогда и только тогда, когда для любого а > О множество Р(а) ямеет лебегову меру нуль. Д о к в з а т е л ь с гп в о.
Необходимость. Предположим, что существует а > О такое, что множество Р(а) не является множеством лебеговой меры нуль, т.е. найдется ее > О такое, что для любой простейшей фигуры,содержащей Р(а), ее объем не меньше 55. Рассмотрим любое разбиение Т прямоугольника Р на прямоугольники Рь ь Пусть Пе — множество всех тех прямоугольников Рьц внутри которых находится хотя бы одна точка множества Р(а). Плошадь простейшей фигуры Пе не меньше ее. Если бы это было не так, т.е. плошадь р(Пе) = 81 < ее. Покроем границу дПе стандартными прямоугольниками общей площадью, не превосходящей -'(гв — 51). Тем самым множество Р(а) покрыто открытой простейшей фигурой площади, не превосходящей 81+ э(ео — 51) = -(во+ 51) < ее. Это противоречит нашему предположению.
Следовательно, р(Пе) > ее. Заметим, для любого стандартного прямоугольника из Пе колебание функции на этом прямоугольнике не меньше, чем а. П.этому для любого разбиения Т имеем П(Т) > аге > О. Отсюда получим, что 1пГЙ(Т) > аее > О. Но это означает, что рассматриваемая функция не т интегрируема на прямоугольнике, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение не имеет места, и, значит, для любого а > О лебегова мера р(Р(а)) = О. Необходимость доказана.
Достаточность. Положим а = е/(4р(Р)), б = е/(4М), М = шах)у(х)~. Так как множество Р(а) имеет лебегову меру нуль, хеР то его можно покрыть простейшей фигурой с общей площадью, меньшей, чем б. Множество .0(а) — замкнуто и ограничено, следовательно, оно — компакт. Выделим из системы стандартных прямоугольников, из которых состоит эта простейшая фигура, конечное подпокрытие 1. Рассмотрим множество К = Р~ К Оно является компактом. Для любой точки х б К имеем, что ые(х) < а.
Из определения ые(й) получим, что существует квадрат Пт(х),т > О такой, что колебание функции у(х) на нем меньше, чем 2а. Квадраты П„уэ(х) образуют покрытие 585 множества К. Выделим из него конечное подпокрытие у'. Продолжим стороны прямоугольников, составляющих 1 и ~Г до пересечения со сторонами Р. Получим разбиение Т прямоугольника Р. Сумму П(Т) представим в виде П(Т) = ~ ~~~ !сй,!бйхйбйу! + ~~ ~ ~ай !Ьхйбйу! = Е! + Ею (й,!) (й,!) где в сумму ~„~, входят те слагаемые. для которых элемент рэзбие(й,() ния Рй ! С 1, а в сумму 2, 2„— те слагаемые, для которых Рй ! С У'. (й,!) Имеем Е! < 2М~~~ ~~ ЬхйЬу! < 2Мб, (й,!) Е! < 2а~~~ ~~! < 2ар(Р).
(й,!) Следовательно, П(Т) = Е! + Ет < 2Мб+ 2ар(Р) = е/2+ е/2 = е. Таким образом, имеем !пГП(Т) = О, т.е. функция у(х) интегрируема т на прямоугольнике Р. Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2 (критерий Лебега). Ограниченная функция д(х) интегрируема по Риману иа прямоугольнике Р тогда и только тогда, когда множество Р точек разрыва ее имеет лебегову меру нуль. ,У о к о з о и! е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
