Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Таким образом, объем Р = д(В„-) параллелепипеда Щ равен ЕО1 ~/Г1 = ))а1~) = К, ~/Гз = 1"1 61 = ~'яСледовательно, Ц = Г~~. Докажем, что Ь~ = — г -, где 6 — расстояние вектора а до т — 1 — мерного пространства с базисом а1,..., ат-1. Представим а в виде а = Ь + 6~, где Ь Е (й1,...,а 1) = Ь, Ь .1 Е. По условию существуют некоторые вещественные числа с1,...,с 1, такие, что Заметим, что Г > О. Это следует из равенств = Ь~„> О, Г1 — — Ца1))~ > О. Г Следовательно, имеем сг(Т) = ~ /Г(г~,(йй),...,г,(хй))р(Г!й).
Перейдем в этом равенстве к пределу при Ьт -+ О. Получим хю ..схм. Это и есть формула для вычисления плошади т - мерной поверхности в о мерном пространстве. При гп = 1 она дает формулу длины дуги гладкой кривой р(1~) = )' ((г (!)((й, а при гп = п мы приходим к формуле замены переменных и в и — кратном интеграле дЯ) = / ./ Лдхю ..й.
= / / ~.Цх))аахм ..Нх где Д(х) — - якобиан отображения г = г(й). Замечания. 1. Пусть А = (ап...,а,„) — матрица из гп векторов— столбцов в и — мерном пространстве и Л' — транспонированная к ней матрица. Тогда из формулы Бине-Коши имеем а!,з . аб,м 1б с < бл Это равенство означает следующее. Квадрат объема параллелепипеда равен сумме квадратов объемов его проекций на все координатные гп - мерные подпространства (обобщение теоремы Пифагора).
2. Справедливо неравенство Адамара Г(ап, .., а„,) < Г(а~)... Г(а„,), причем равенство достигается только, если векторы а; и а,! ф !', ортогональны для всех 1 < 1, ! < п1. 3. В силу своего определения величина плошади гп-мерной поверхности не зависит от выбора параметризации. Глава ХХ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекции 10 з 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейные интегралы — зто интегралы по кривой б в пмерном пространстве. Мы рассмотрим два вида таких интегралов: интегралы первого и второго рода. Сделаем некоторые допущения. Пространство, в котором задана кривая б, будем для простоты считать двумерным.
Саму кривую Ь будем считать кусочно-гладкой, т,е. ее можно разбить на конечное число гладких кусков (участков). Будем рассматривать только один такой кусок. Как известно, кривая Ь является образом некоторого отрезка [а,6) при отображении и = т(1),1 б [а, Ь], где т(1) = (х(1), у(1)), причем х(1) и у(1) — гладкие функции на отрезке [а,Ь). Кроме того, внутренние точки отрезка переходят во "внутренние" точки кривой, а концы отрезка — точки.
а и 6 — переходят в граничные точки кривой А и В, т.е. т(а) = А,т(6) = В. Будем предполагать, что кривая 1, невырождена, т.е. не содержит особых точек. Другими словами, для любого 1 б [а,6] вектор т (1) отличен от нуля. Пусть Т вЂ” размеченное разбиение отрезка [а,Ь): а = Фе < 1» < < 1 = 6, (ы...,б — точки разметки, х» = х(с»),у» = у(с»), Ь = 1,..., тп; Ы» — длина части кривой Е,, которая является образом отрезка »» = [1» цг»). Для рассматриваемой кривой 1 длина кривой выражается по формуле »1„(х (1))з+( '(1))г,Р Пусть функция д(х, у) определена на кривой Ь. Определение 1.
Если существует предел пря Ьт -+ 0 интегральных сумм а~(Т) = ~ д(х»,у»)Ы», »=! то он называется интегралом первого рода от функции у(х,у) по кривой 1,. воз Этот интеграл обозначается так: ~г = / у(х. у) й Е Рассмотрим интегральную сумму аг(Т), где аг(Т) = ~ ~д(хмуь)ЬхюЬхь = х(гь) — х(1ь 1). ее! Определение 2. Если сушествует предел !г интегральных сумм пг(Т) при Ьт -э О, то ои называется интегралом второго рода от функции у(х, у) в направлении от А до В.
Обозначается этот интеграл символом !г = /у(х,у)Их. лв Аналогично определяется еше один интеграл второго рода Уз = / у(х,у)Ф. Для интегралов 1г и 1з обычно употребляют обозначения 1г — — / Р(х,у)(х, ~з = ~ О(х,у) (у. Выражение 1 = Р(х, у)Их+ (~(х, у)Ыу лв называется общим криволинейным интегралом второго рода по кривой Е = АВ от линейной дифференциальной формы РЙх+ Яду (здесь кривая обозначается своими начальной и конечной точками). г 2. сВОЙстВА кРиВОлинейных интеГРАлОВ 1.
Пусть х = х(г) — постоянная величина. Тогда имеем )г — — Р(х, у)Их = О. лв Действительно, так как для любого разбиения Т величина Ьхь О, то о'г(Т) = О. Отсюда следует, что !г = О. 2. Т е о р е м а 1 (выражение значения криволинейного интеграла через интеграл Римана). Пусть функция д(х, у) непрерывна на А. Тогда криволинейные интегралы 1с, 1г, 1з существуют и они равны у(х«), у«)) (*'«)) + (у'«))г (г, а 1г = ~д(х«), у«))х «)Й, 1з = ~у(х«), у(1))у «)сй. а а Д о к а з а пс е л ь с св е о. Рассмотрим сначала интеграл 1с.
Интегральная сумма Ес(Т) для интеграла с(*(),сь»~Ф(')Р-;(сг»Гсс а отличается от интегральной суммы сгс(Т) криволинейного интеграла тем, что вместо Ы» там должна стоять величина при некотором ~» Е с.'»», т.е, дифференциал длины дуги кривой, взятый в точке б» и отвечающий приращению с»с» переменной 1. Далее можно было бы сослатьси на определение интеграла Стильтьеса, ь 1с — — у(х«), у(с))сИ«), а с ' ° '(»=с /с Ю+(с'сс~)) 4 "*'" ' сс ство равенства интегралов. Но мы дадим прямое доказательство этого факта. В силу непрерывности производной 1 «) на отрезке [а, б) имеем равномерную непрерывность ее на нем.
Тогда для любых точек С,б» Е (1» с, С»] имеем /( «) — 1 ((»)) <»с(с»С»), причем !пи ы(з) = О. с -с 0 Отсюда получим с11» = з~ («)й = 1'(б»)Ы»+ / (1'«) — 1'(У)))а = сь =1 Дь)О1ь+ 0(м(Ь 1ь)ЬЛь). Поскольку у(з,у) непрерывна на компакте А, она ограничена на нем, т.е. найдется М > О такое, что для любых (а,у) б Ь имеем Ы ,уН < М. Преобразуем интегральную сумму о~(Т).
Получим у(*ю уь)1 Яь)~11ь + 0 ~~' М~Иьм(~А ) ь ~ к = Е~(Т) + 0(Я), где В < Мтахы(Л1ь) ~~~ Ь1ь < М(6 — а)таха(Ыь). Так как Я -+ О при Ьт ~ О, то это значит, что о~(Т) и Е~(Т) одновременно сходятся и имеют один и тот же предел. Теорема 1 доказана. Эта теорема дает универсальный метод вычисления значений криволинейных интегралов. Следующие следствия нз теоремы 1 получаются простым переходом от криволинейных интегралов к интегралам Римана, поэтому мы не будем приводить их доказательств.
1е. Справедливо следующее равенство: Рйх + ЯНу = ~(Р соз а~ + Ясов ат) И1, где т = (я,у ) — касательный вектор к кривой Ь в точке (х, у), а ег и ез — единичные орты, направленные по осям координат 0* и Оу. 2~. Если для любых точек (я,у) б Л справедливо неравенство у~(я,у) < уз(я,у), то имеем ~У~ й < ( дтй. ь ь З~. Выполняется неравенство )1 уе1! < 1 )фН1. ь г, 4е. Если У непрерывна на кривой Ь, то существует точка б б Ь такая, что ) уо( = у(б),и(Х), где р(Ь) — длина кривой Ь.
АВ Рс1з + ЯИу+ В Ь = / (Рз (1) + Яр (М) + Вз (М))а1 = = ~(Рсозо|+ Ясозаз+ Всозоз)й, с где т = и /(г (,созоц — — (г,еа),й = 1,2,3. На атом мы завершаем изучение общих свойств криволинейных интегралов. Лекция 11 1 3.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА ПО ЗАМКНУТОМУ КОНТУРУ. ФОРМУЛА ГРИНА В силу аддитивности интеграла второго рода для любых хривых Ь» = АВ и Ьт — — ВС в случае, когда кривая Ь = Ь» О Ет не имеет кратных точек, получаем вс лс По этой же формуле определяется и понятие интеграла по кривой Ь в том случае, когда точки А и С совпадают. В этом случае объединение кривых Ь = Ь» 0Ьт называется замкнутой кривой. Дадим точное определение. Кривая Ь называется замкнутой кусочно-гладкой кривой (без кратных точек), если: 1) Ь=ь»иьт; 2) Е» и Ьт — кусочно-гладкие кривые, концы которых совпадают; 3) других обп»нх точек кривые Л» и Ьт не имеют.
Если на кривой Е» задано направление обхода, т.е. задана начальная точка А и концевая точка В, и если на кривой Ьт за начальную точку принять В, а за концевую точку А, то на кривой Ь будет задано направление обхода в том смысле, что для любых трех различных точек А», Аю Аз б В всегда будет иметь место один из двух порядков следования точек: А»АтАзА» или А»АзАтА». Поскольку на любой замкнутой кривой Ь имеется в точности два направления обхода, одно из них, естественно, считать положительным, а другое — отрицательным. Заметим, что при этом для интеграла ! от дифференциальной формы Рйх+Я»1у по замкнутой кривой Ь, взятому в положительном направлении, используется обозначение 1 = ~ Р»1х+ 9»1у. ь Дадим определение того, как выбирать положительное направление обхода замкнутой кривой.
Сначала рассмотрим важный пример окружности Л: аз+ у2 = 1. За положительное направление обхода окружности берется "направление обхода против часовой стрелки". Оно определяется так. Разобьем окружность на верхнюю полуокружность Ь»: а~+у = 1, у > О, и нижнюю полуокружность Ью На верхней И.»»»алема»уча»вазов ее»»» б09 Равенство же ь Р доказывается аналогично. Пусть отрезок (а, Ь] является проекцией области 0 на ось Ох.
Через точки (а,О) и (6,0) проведем вертикальные прямые х = а и х = 6. В силу выпуклости множества В граница его Е = дР разбивается на четыре участка: отрезки Аг и Ьз, лежащие на прямых х = а и х = 6 (каждый из них может состоять только из одной точки), н кривые Ьг и Ь4, лежащие в полосе между этими кривыми. На кривых Сг и Ьз величина х постоянна, поэтому / Рдх = / Рдх = О. Всякая прямая х = хо при хо Е (а, Ь) пересекает (в силу выпуклости Р) каждую из кривых Ьг и Е..~ строго в одной точке, которые обозначим соответственно рг(хо) и рг(хо), т.е.
кривая Аг является графиком функции у = )рг(х), а кривая С.ь — графиком функции у = рг(х). Заметим, что из кусочной гладкости кривой Е следует кусочная гладкость функций рг(х) и )ог(х). Из теоремы о выражении криволинейного интеграла через интеграл Римана имеем ь ь Р(х, у)дх = Р(х,ггг(х))дх, Р(х, у)дх = — Р(х,~рг(х))дх. Отсюда получим Р(х, у)дх — (Р(х, у1(х) ) Р(х, 'Рг(х)) ) дх — Н. ь2оь4 Поскольку функция — непрерывна на Р, по теореме Ньютона ар дь Лейбница имеем т (~) р дР Р(х, ьг1(х)) — Р(х, ьгг(х)) = — ( — ду. д, е1) ) Следовательно, ь ура) о = — ) ~* ) — е= — ~/ — ~*о а т1(х) еы В силу того что Рдх= Рдх=О, справедлива формула Н = у Рдя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
