Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Ь Тем самым, теорема 1 доказана. Заметим, что в силу аддитивности интеграла формула Грина верна для областей, являющихся конечным объединением выпуклых областей. Примеры. 1. Площадь области Р выражается согласно формуле Грина через криволинейный интеграл в следующем виде: 1 Р р(Р) = еду = — удя = — ~1 яду — у1(я. 23 2. Пусть у: Ре -+ Р— гладкое взаимно однозначное отображение двух плоских областей, Пусть также якобиан етого отображения 1 = Щф не меняет знак в области Ре и р(дРе) = дР. Кроме того, пусть — „-ех„- непрерывна на Ре. Тогда, исходя из формулы примера 1, проведем вычисление меры области Р.
Имеем р(Р) = яду. Далее, пусть задана параметризация вида и = и(1), е = е(1), а ( 1 < 6, кривой дРе. Тогда соответствующая параметризация кривой дР задается уравнениями х = х(и(1), е(1)), у = у(и(1), е(1)). Из выражения криволинейного интеграла через интеграл Римана получим ь ь р(а) = 1 ы, = 1' *щ — а = 1',[~) ( — — + — — ) а.
ЫуЯ ~ 1'ду ди ду дэ'1 Й / 1,ди аг де д1) ап а О Но последний интеграл можно представить как интеграл по кривой дРе. Имеем к се = ~ * ( — а, — ~.), /ду ду [,ди де еп, где е = +1, если кривые дРе и дР имеют одинаковое направление обхода, и -1 в противном случае. Преобразуя последний интеграл, используя формулу Грина, полу- чим = е — я — — — в — ИиЫэ = Поскольку якобиан 1 не меняет знака и величина р(В) неотрица- тельна, то е1 = Д. Поэтому имеем р(В) = ~ /~1(пийи. Таким образом, мы получили формулу для вычисления в криволинейных координатах площади плоской области.
П Лака па юечоичаан егьяя Лекпия 12 3 4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Рассмотрим гладкую поверхность Р в )йз. Будем считать, что она невырождена во всех своих точках, т.е. при ее параметрическом задании т = т(и»и), где й = (х,у,г),(и,и) б Ре, ранг ее матрицы Якоби максимален и равен двум. Допустим сначала, что область Ре является квадратом. Возьмем его размеченное разбиение 1т на равные квадраты Р»1 с разметкой (и»1,и»1), й,1 = 1,...,п. Здесь точка (и»1»и»1) — вершина левого нижнего угла квадрата Р»1 со стороной 6.
Рассмотрим область Р»1— элемент поверхности Р, соответствующий квадрату Р»1, т.е. Р»1 = т(Р»1). Рассмотрим также множество точек В»,1 — часть касательной плоскости к поверхности Р в точке т»1 = т(и»1,е»1), отвечающую квадрату Р»1, На поверхности Р в точке т = т(и, и), (и,и) б Ре, определены два касательных вектора к ней й1 и тг, являющихся первым и вторым столбцами матрицы Якоби дт(и, »), т.е.
д» дв д» д» т1 =т„(и,и) = зд,тг = т„(и,е) = д» д» д» д» В силу условия невырожденности матрицы Якоби имеем, что для любой точки (и,и) б Р векторное произведение [йг,тг] отлично от нуля. Заметим, что особыми точками поверхности называются такие ее точки, в которых ранг ее матрицы Якоби меньше двух. Рассмотрим вектор [т1, йг] ]][т1, тг]]] Определение 1. Вектор й = й(й) будем называть нормалью к поверхности Р, отвечающей параметризации т = У(и, е). Такое название вызвано тем, что вектор й перпендикулярен касательным векторам й1 и тг. В частности, при (и, е) = (и»1, и» 1) имеем, что вектор й перпендикулярен к касательной плоскости Й»1. Заметим, что если 8 — длина стороны квадрата Р»1, то В»1 представляет собой параллелограмм и его площадь р(А» 1) равна ]][тг,тгЩдг, где касательные к поверхности Р векторы т1 и тг взяты в точке й(и»1,и»1).
Заметим также, что если задана другая параметризация р поверхности Р, то всегда выполнено одно из равенств, й(т) = й(р) или 614 б(г) = — й(р). Следовательно, функция «(и, о), равная скалярному произведению векторов й(й) и й(р) принимает всего два значения +1 и -1. Но эта функция является непрерывной на Ро. Отсюда имеем, что она либо тождественно равна +1, либо тождественно равна — 1. Это означает, что при замене параметризации определенная нами нормаль к поверхности Р либо не меняется во всех точках Р, либо меняет свое направление сразу во всех точках Р.
Поэтому говорят, что нормаль к поверхности, отвечающая некоторой параметризации этой гладкой поверхности без особых точек, выделяет на ней ее сторону. Поверхность с выделенной стороной называется двусторонней поверхностью. Определение 2. Выделение одной из сторон поверхности Р с помощью параметризации называется ориентацией поверхности Р.
Далее, пусть на поверхности Р задана функция Ь(г) от трех переменных у = (х, у, «). Рассмотрим следующие четыре интегральные суммы, отвечающие размеченному разбиению $~: оо(1') = ~~' Ь(гьб)Н(йьб); п,($') = ~~~ Ь(гь ~)р(йь ~)(п,е,),« = 1,2,3. ьб Отсюда имеем, в частности, следующие выражения: п1(Ъ«) = ~ Л(го ~)д(йь ~) соеХ = ~ ~ЬЯ «)А(икао» ~)б~, ьб где соэ Х = (й, е1), А(и, о) = » У у» «» Аналогично можно записать и«(»'), пз(»'), с заменой соэ Х на соэ 1' = (й, е«), осе Я = (й, ез) и с заменой А = А(и, о) на В = В(и и) = У У,С=С(и,о) = У УУ х )х х» х» у» Заметим, что вектор нормали б можно представить в следующем виде: б= ( —,—,— (,Г= А +В +С = ЕС вЂ” Е . 1'А В С'1 (,игГ /Г ~Т/ Определение 3. Если существует предел 1з при /з(/ -э О интегральной суммы пе(т'), то ои называется поверхностным интегралом первого рода от функции Ь(г) по поверхности О.
Этот интеграл обозначается так/ /. = / / /(/)/з и Определение 4. Если существуют пределы 1ы 1з, 1з, при /з~ -э О иитеграпьмых сумм п((У),пз(\/),пз(г'), то они называются поверхностнымн интегралами второго рода от функции Ь(к,у,з) по стороне поверхности 12, отвечающей параметризации г = У(и, е). Для интеграла второго рода вводятся следующие обозначения: /, =///(г)/и /*,/, =///(/)/*//*,/. = О/(/)/* ///. Здесь знак Л ставится для тою чтобы отличить поверхностный интеграл второго рода от обычного двойного интеграла по плоскому множеству В. Часто этот знак опускается (в тех случаях, когда это не ведет к двусмысленности). Отметим еще, что вместо дифференциальных форм, участвующих в интегралах 1), 1з, 1з, можно ввести форму ы = Рйу Лез+ Я((з Л((э+ Ме Л((у и рассмотреть интеграл второго рода от этой дифференциальной формы ! = //ь/.
и Приведем два свойства введенных интегралов первого и второго рода. Они вытекают непосредственно иэ их определений. 1з. Справедливо равенство / = // Р/у /*./ е/* /*./ я/ // = и = / ~(Рсоа Х+ Ясов У+ Всоз Я)((5, В где созХ = (й,е)),сов У = (п,ез), созЯ = (й, ез). 2з. Т е о р е м а 1 (о сведении поверхностного интеграла к двойному интегралу). Иусть функция 1)(г) непрерывна на гладкой, невырожденной (без особь1х точек), измеримой по жордану, компакт- ной поверхности П, Тогда имеют место равенства 1е = О И(г)Ы$ = О 6(г(п, е))~/Гя(ия(е, Г = ЬС вЂ” Рг; 1 =Д' РВУЯВ*РЯВ*ЛВ*РЯВ* 22= Р = О' )Р,.-х .~. Я,.-У,. Я,.-В)ВВ = 11' )Рх, ВВ, ЯВ)В В..
Д о к а з а т е л ь с Вв е о. В отличие от криволинейных интегралов здесь по существу нечего доказывать, так как функции под знаками интегралов являются интегрируемыми, ввиду нх непрерывности на компакте П. И поэтому при Ь)Р -+ О соответствующие интегральные суммы )уе(И),...,)Рз(И) обязаны ~ходиться к значениям этих интегралов. Теорема 1 доказана. Замечание. Можно было бы дать определения поверхностных интегралов и в и-мерном пространстве, но они несколько сложнее, и, в основном, из-за понятия ориентации.
К ним мы вернемся позже. Примеры. 1. Рассмотрим поверхность ХР— "внешность" верхней полусферы кг+ уг+ гг = 1. Ее можно представить как образ круга Ое = ((к,у))кг+ уг < 1) при отображении *=*,2=-2 = У):)В+2) г г ' "э Е) [г~, г„) = ег О ез Я 22,2 22 УВ О 1 к у = Е1 +ег + ез. ,'1:**:У' ~1-*'-'У' Следовательно, и( ) = " ,", = (*, у, ) = г. [г [[ г„гк)Ц 617 Покажем, что й = б(г) = г. Действительно, для параметризации г = г(к, у) имеем Вычислим теперь интеграл ! = / ) гИя Асу. Применяя теорему 1, Р получим 1= / / гсозЯИЯ= / ~гсозУ— Ра Ра г = / / г(х, У)охор = з~ й1с / 1/1 — гггйг = -2Я-(1 — гг)згг 3 3' Р.
о о 2. Пусть поверхность Р задается уравнением х = р(я,й), где у(я,у) — гладкая функция, (я,у) б Ре, и интегрирование ведется по верхней стороне поверхности Р, т.е. в этом случае сов Я ) О. Обозначим эту сторону через Р+, Тогда г~ А(я, у, г)~Ь л йу = ~ / Ь(х, р, гг(я, у))Нвосу. :оэ Ра 8 5. СОГЛАСОВАНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ПОВЕРХНОСТИ И ЕЕ ГРАНИЦЫ По существу мы дали определение поверхностных интегралов только в случае, когда область Рд является квадратом.
Для интегралов первого рода это определение тривиально распространяется на случай поверхностей, составленных из отдельных частей, каждая из которых есть гладкий образ некоторого квадрата, и соприкасающихся между собой по обгцим участкам границ. Тогда поверхностный интеграл первого рода понимается как сумма интегралов по составляющим ее частям. Стандартными рассуждениями мы переходим от специального случая х определению поверхностного интеграла для произвольного измеримого по Жордану компакта Рс Более того, таким образом мы можем рассмотреть интеграл первого рода по поверхностям, которые являются границей пространственных тел, например, по поверхности куба или шара в трехмерном пространстве, Во всех этих случаях будем считать, что понятие интеграла по таким поверхностям уже определено и верна теорема о его сведении к двойному интегралу.
Определение 1. Поверхность Р называется кусочно-глццкой, если она связяа и является объединением конечного числа гладких поверхностей, каждая из которых есть образ выпуклого плоского множества, имеющего кусочно-гладкую границу. При этом общие точки у любых двух поверхностей (если ояи есть) обязательно принадлежат образам границ, указанпых выше плоских множеств, 618 Определение 2. Интеграл первого рода по кусочно-гладкой поверхности равен сумме интегралов по ее гладким частям. Более сложная ситуация имеет место в случае интегралов второго рода по кусочно-гладкой поверхности, так как здесь необходимо согласовывать ориентапжю ее частей. Рассмотрим этот случай. Нам будет нужен ряд новых определений.
Определение 3. 1 ранимей Ь = дВ гладкой поверхности Р называется образ границы Л = дРа множества Ра, которое отображается в В прн ее цараметрнзацяи г. При этом считаем, что Л есть кусочно-гладкая замкнутая кривая без кратных точек, а множество Ра — выпукло. Замечание. Очевидно, что поверхность Р может быть плоской, и прв этом не обязательно быть выпуклым множеством, Так что выпуклость не является существенным ограничением. Поэтому можно считать множество Ра образом выпуклого множества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
