Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Тогда достаточно доказать, что гог Действительно, имеем гог — = [гу,-] = г г 643 е1 з зе т ег ез д д зг ду уз га г /. д(-,'), д(-,')~ /. д(-„'), д(-,')~ = е) ~уз — ' - Ь вЂ” ') + ез р —" - уз — ') + др дю ) ~ дх д ) / д(1), д(1)'~ +ез р — с- -у1 — е) = дх др ) = — Ре1 — Яет — Вез, где фуикпии РЯ и В определены выше. На атом мы завершаем рассмотрение вопросов, связанных с векторным анализом. Глава ХХ1 ОВЩАЯ ФОРМУЛА СТОКСА Лекция 16 1 1. ПОНЯТИЕ ОРИЕНТИРОВАННОЙ МНОГОМЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ Общая формула Стокса является естественным многомерным обобщением теоремы Ньютона — Лейбница о выражении определенного интеграла через первообразную функцию. Впервые эта формула была опубликована А.Пуанкаре в 1899 году в знаменитом мемуаре "Новые методы небесной механики".
Чтобы подчеркнуть возможность использования найденной формулы при интегрировании по поверхности ,любой размерности, он назвал ее обобщением теоремы Стокса, имея в виду формулу Стокса, связывающую поток векторного поля через поверхность и его циркуляцию вдоль границы поверхности. Современное изложение доказательства различных вариантов общей формулы Стокса, как правило, опирается на прнменение достаточно развитой теории внешних дифференциальных форм и интегралов от них по поверхностям.
Эта причина, по - видимому, является определенным препятствием для полного изложения ее доказательства в курсах анализа. Здесь мы предлагаем новый вариант доказательства общей формулы Стокса, использующий, по существу, те же средства, что и в классическом трехмерном случае. Сначала с помощью параметризации поверхности мы определяем понятие интеграла от дифференциальной формы. При этом мы показываем, что его значение с точностью до знака не зависит от выбора параметризации. Далее обосновывается связь между выбором параметризации, определяющей ориентацию поверхности, и знаком интеграла.
Следующий шаг — введение правила согласования ориентации поверхности и ориентации ее границы, что одновременно используется для конструирования поверхности путем "склейки" образов выпуклых множеств по общим частям их границ, имеющих противоположную ориентацию. Заметим, что использование выпуклости прообразов этих множеств вносит некоторые упрощения в доказательство основной теоремы без существенного ограничения общности.
Отметим еще раз важность проблемы согласования ориентации поверхности и ориентации ее границы, которая возникает неоднократно в процессе изложения. Уже на примере самой формулы Ньютона— 645 Лейбница эта особенность выявляется как зависимость знака интеграла от направления интегрирования, т.е.
изменение знака интеграла при перестановке пределов интегрирования. Наиболее просто вопрос о согласовании ориентаций поверхности и ее границы решается в случае поверхностей размерности 1 (кривые) и коразмерности О. Данное обстоятельство лежит в основе нашего индуктивного определения ориентации поверхности и ее границы. При этом согласование ориентаций проводится с использованием выпуклости прообраза поверхности. В заключение следует сказать, что основная трудность при выводе общей формулы Стокса как раз и состоит в построении необходимой системы понятий, в то время как само доказательство очень простое.
Пусть /с и и — чатуральные числа, 1 < й < н. Мы определим кусочно-гладкую ориентированную поверхность размерности х в пространстве и измерений индукцией по ее размерности к. Прн й = 1 эта поверхность представляет собой кусочно-гладкую кривую без кратных точек, на которой задано направление обхода, т.е. начало следующего гладкого куска кривой совпадает с концом предыдущего.
При этом под гладхим куском кривой мы понимаем образ направленного отрезка числовой оси при гладком взаимно однозначном отображении, имеющем ранг, равный единице, Пусть й > 2. Тогда поверхность (точнее, гладкий кусок поверхности) размерности и определяется как образ В выпуклого й-мерного множества А в я-мерном пространстве, имеющего кусочно-гладкую границу дА, при гладком взаимно однозначном невырожденном (то есть ранга й) отображении 1о, то есть В = ф(А).
Заметим, что в этом случае д — граница поверхности В является поверхностью размерности (г — 1 > 1(дВ = с(дА)). Прообраз А отображения ф называется картое гладкого куска поверхности В. Само отображение э назовем парамешризациее данного куска поверхности. Пусть заданы две параметризации ф и ьт поверхности В.
Будем говорить, что они определяют одинаковую ориентацию поверхности В, если замена параметров является диффеоморфизмом Л с положительным якобианом Уус Если же якобиан,Ут отрицателен, то параметризации ф н ф задают противоположные ориентации. Заметим, что если якобиан отображения Л положителен хотя бы в одной точке, то он положителен и для всех точек множества А. Этот факт следует из того, что отображения ф и 11 не вырождены, то есть матрицы Якоби Уи и,У; отображений ф и тУ~ имеют максимальный ранг, равный й, и lй — — Ух,У-.
Таким образом, ориентируемая поверхность допускает в точности две ориентации. 'Для того чтобы определить понятие ориентированной поверхности, состоящей из многих гладких кусков, нам прежде всего потребуется "согласовать" ориентацию поверхности и ее границы. 646 1 2. СОГЛАСОВАНИЕ ОРИЕНТАЦИЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕЕ ГРАНИЦЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ Определим сначала внешнюю сторону гранины дА С К". Так как она является кусочно-гладкой поверхностью размерности х — 1, то в каждой точке ее гладкости можно задать вектор нормали к ней (этот вектор ортогонален касательному подпространству размерности х — 1). Прямая, проходящая через рассматриваемую точку хе б дА и коллинеарная вектору нормали, пересекает множество А по некоторому отрезку в силу выпуклости А, Тогда направляющий вектор и луча этой прямой с началом в точке хш не пересекающий множество А, называется внешней нормалью к границе дА в точке хш а вектор ( — й) — внутренней нормалью.
Пусть параметризация т = Х()), т = (ты..., ть), ! = (1ы,1ь 1) задает данный гладкий кусок границы множества А. Будем говорить, что эта параметриэация отвечает (соответствует) внешней стороне границы дА, если матрица Якоби этого отображения. дополненная слева вектором внешней нормали й, т.е. матрица с дх дх ' д! ~ ' ' д1к 1/ ' имеет положительный определитель. Тем самым на прообразе А мы согласовали ориентацию множества А и ориентации его границы дА.
Далее пусть, как и раньше, ф: К" -+ 2" задает параметризапию поверхности В = ф(А) н пусть х: и" ' — ~ Ж" залает пяраметризацию границы дА. Тогда отбражение ф - т задает параметризацию границы дВ поверхности В. Будем говорить, что ориентапия поверхности В и ориентапия ее гранины дВ согласованы, если дВ есть образ границы дА, параметризация которой отвечает ее внешней стороне. Пример.
Пусть множество дВ задается уравнением хэ = у(хы хь-1) на границе дА выпуклого множества А в й — ! - мерном пространстве, где у — кусочно-гладкая функция на А. Тогда множество дВ является кусочно - гладкой поверхностью размерности х — ! и ее параметризацию хс можно задать следующими уравнениями: х| —— Н,, ..,хь 1 —- 1х и хь =.!(П,...,Ф~ ~). Матрица Якоби этого отображения имеет ранг, равный /с — 1, поскольку она содержит единичную подматрицу размерности й — 1.
Внешняя нормаль и к поверхности В коллинеарна вектору / дУ дУ д1 '! Ь А = ~~- —, — —,..., — —, 1~у, я = -, д!, ' д1,' ' дан,' ' Ь' а матрица может быть записана в виде ат аг а( й ам а ''' ам и ее определитель равен (1)-['1+( )+( ) .+( — )) Н г д~ г дУ г1 дг ~ дгг да«, Следовательно, ориентация поверхности В и ориентация ее границы дВ в данном случае согласованы, если Ь вЂ” нечетное число. В случае четного числа Й для того, чтобы согласовать ориентации поверхности В и ее границы, следует ориентацию границы дВ заменить на противоположную.
Определим теперь кусочно-гладкую «-мерную ориентированную цоверхность в и-мерном пространстве, состоящую из нескольких связанных между собой гладких ориентированных кусков с согласованно ориентированными границами, Пусть два таких куска ф1: А1 -+ Вг и фг . Аг -+ Вг соприкасаются по участку (Ь) их границ дВ1 и дВг, причем Вг О Вг — — (Ь) С дВ1 ОдВг. Если при этом: 1) участок (Ь) является кусочно-гладкой поверхностью размерности Ь вЂ” 1 и 2) две ориентации поверхности (Ь), порождаемые фг и фг, являются противоположными, то объединение поверхностей В = Вг ОВг мы будем рассматривать как одну кусочноглацкую ориентированную поверхность В (состоящую из двух кусков поверхности Вг и Вг).
Аналогично поступаем и для случая любого конечного количества связанных между собою подобным образом гладких кусков поверхности. Заметим, что при разбиении гладкого куска ориентированной поверхности на две кусочно-гладкие ориентированные поверхности при помощи кусочно-гладкой ориентированной граничной поверхности эта граничная поверхность относительно каждого из получившихся ориентированных кусков приобретет противоположные ориентации.
Совокупность карт, отвечающих всем кускам данной поверхности, будем называть ее атласом. 848 т 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЪ| Определение. Пусть 1 < й < и. Тогда дифференциальной формой «-го порядка, определенной на открытом множестве У С ж", будем называть следующее выражение (каяояическяй вид дифференциальной формы): Ы(Х> <~Х) ~Х~ ~Х~ Рт| ... т~ (Х) ~~Хт1 Л Л беях 1бтв1«" та<а причем операция Л внешнего произведения дифференциалов (формальная) удовлетворяет условиям: а) (ах Л бу) Л ах = бх Л (ау Л ах) (ассоциативность); б) бх Л ау = — ау Л Нх (антисимметричяость); в) й(ах1+Ьхх~лйул -Лйх = а Их!ЛНуЛ ЛНх+Ь йххлйуЛ Лйх 'ч'а, 6 б ж (полялияейность).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
