Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Определение 4. Будем говорить, что параметриэапия г поверхности Р отвечает ориентации ее гранины Ь = дР (яля "согласована" с ориентацией ее границы), если при этой параметризацня й ориентация кривой Ь порождается положительной ориентацией ее прообраза Л (границы множества Ра — прообраза аоверхяост» Замечание. Если т = г,(Я вЂ” касательный вектор к кривой Ь в точке А, отвечающий ее параметризации, и й = а(г) — вектор нормали к поверхности В в точке А, то согласованность ориентации кривой Ь и ориентации, отвечающей параметризации г, означает, что "обход" кривой Ь относительно вектора й совершается "против часовой стрелки". Другими словами, вектор 6 = ~г,ц]) является нормалью кривой Ь,лежащей в касательной плоскости к поверхности Р я "внешней" по отношению к проекции Р на эту касательную плоскость, Это полностью отвечает определению согласованности ориентации в плоском случае.
Определение 5. Будем говорить, что кусочно-гладкая поверхность Р является двусторонней поверхностью с выделенной стороной, если лараметрязацяя ее разных кусков выбраны так, что общие участки границ этих кусков пря указанных параметрязациях ориентированы в нротивоаололснмх направлениях. Пример. Пусть поверхность Р является плоской и лежит на плоскости хОу. Рассмотрим верхнюю сторону Р и пусть Р = Р, О Рю Тогда ориентация поверхностей Р, Р1, Рз будут согласованы с ориентацией их границ Ь,Ь1,Ью если все эти кривые "обходятся 619 против часовой стрелки".
При этом ясно, что общий кусок границ йц и Ьг ориентирован в противоположных направлениях для каждой из них. Поясним определение "согласования" ориентации поверхности В и ее границы 1 = д.0. Пусть задана параметризация г поверхности В, являющейся образом плоского множества ьгс. Пусть также параметризация и = и(1), е = е(1) задает границу Л = дРд и порождает положительную ориентацию.
Тогда параметризация границы Ь: г = г(1) = г(а(1), е(1)) задает с помощью вектора т направление обхода контура (кривой) Ь, которое мы называем согласованным со стороной поверхности В. Пусть задана любая другая параметризация р(11) кривой Ь. Тогда вектор г1 = -3'- задает обход контура 1. Если векторы г и г1 совпадают, А,! то мы говорим, что ориентация поверхности 0 и ориентация кривой Ь, заданная параметризацией р(11), будут согласованы или отвечают параметризации г. Теперь дадим определение поверхностного интеграла второго рода.
Определение 6. Поверхностным интегралом второго рода от функции Л(й) по выделенной стороне двусторонней кусочно- гладкой поверхности тг называется сумма соответствующих поверхностным интегралов по всем, составляющим поверхность гг', гладким кускам. Ясно, что' последнее определение распространяет понятие поверхностного интеграла второго рода на случай поверхностей, являющихся образами при гладком отображении квадрируемых (то есть измеримых по Жордану) плоских фигур.
Вместе с тем в этом случае оказывается верной теорема о выражении поверхностного интеграла второго рода через двойной интеграл Римана. Замечания. 1. (Важное для теоремы Стокса). Указанная выше теорема позволяет рассматривать интегралы типа и и и Сводя по ней эти интегралы к обычным двойным интегралам, получим, что для любых функций Р, Я, Я справедливо равенство о гз и Это замечание позволяет, например, записать формулу Грина в компактной и удобной форме: Рйх+ Яду = (ЙР) Л дх+ (Щ) Л Иу.
620 Лекции 13 1 6. ФОРМУЛА СТОКСА В указанной выше форме формула Грина справедлива не только в плоском случае, но н в трехмерном пространстве, где она называется формулой Стокса, Т е о р е м а 1 (формула Стокса). Пусть Р— гладкая невырожденная (без особых точек) поверхность в Вз, которая является образом плоского выпуклого множества Оо при отображении Р = Р(и, о), причем его координаты являются дважды непрерывно дифференцируемыми функциями.
Пусть кривая Ь вЂ” кусочно-гладкая граница поверхности Р, являющаяся образом кусочно-гладкой границы Л мно«(ества По. Ориентация границы Ь отвечает параметризации г. Пусть также Р, О., — гладкие функции на В. Тогда справедлива формула Ро1х+ Яо1у+ ВоЬ = ~~(аР) Л ~Ь'+ Щ) Л ау+ (о(В) Л Нх = — — — ау Л Й + — — — ах Л й + — — — Их Л о(у. и Д о х а з а т е л ь с га е о. В силу линейности поверхностного интеграла достаточно рассмотреть случай интеграла К = у Ро1х, т.е. достаточно доказать формулу К=У РГ*=ЦФР)ЬН*=)) Р ~ ПИ* — РЬЛЕ=Я Пусть Р(и, о) = (х(и,о), у(и, о), х(и, о)) — параметризация поверхности О, причем (и,о) Е Ро. Кроме того, на границе Л области Ро задана кусочно-гладкая параметризация (и, о) = (и(1), о(1)),1 Е 1 = [О, 1],(и(0), о(0)) = (и(1),о(1)), которая определяет на кривой Ь параметризацию Р(и(1),о(1)). В силу теоремы о выражении криволинейного интеграла через определенный интеграл имеем 1 К = РЙх = Р(Р(и(1), с(1)))Нх(и(1), о(1)).
ь о 622 По той же теореме последний интеграл равен К = ~ Р(г(и, е))(гх(и, е) = ~ Р(г(и, в))(х„(1и+ х„()е). К интегралу К применим формулу Грина. Получим К=уР((, ))К (, )=Ц(КР( (, ))) К*(, ). пк Воспользуемся инвариантностью формы первого дифференциала и непрерывностью вторых частных производных функций х(и, в), у(и, е), х(и, в). Имеем (1Р(г(и, е)) = Р ((х(и, в) + Р„Р1у(и, е) + Р,(кх(и, е), Следовательно, К = Рк(кх(и,е) Л (кх(и,е) — Р„Мх(и,е) Л (1у(и,е) = 5(, ок Здесь Я1 рассматривается как поверхностный интеграл второго рода по верхней стороне плоской области Ве. Но при параметризации г = = г(и, е) оба интеграла Я и Ь1 дают одно и то же выражение.
Для того чтобы убедиться в атом, достаточно раскрыть скобки в выражениях (1х(и е) Л(1х(и в) и Ах(и в) Л((у(и е), считая, что (1х(и е) = х„(ки+х„((е и т.д. Окончательно имеем, что Я и Я) сводятся к одному и тому же двойному интегралу 5 = Я( — ~~(Р, — Р, С)(ки(ке, где х„х„х„ Тем самым, доказано равенство К = 5. Теорема 1 доказана.
Замечание. Применяя формулу Стокса к плоской поверхности О, распространим формулу Грина на случай областей, которые являются образами выпуклых множеств, а затем, уже используя зто утверждение при доказательстве формулы Стокса, мы можем в теореме 1 считать, что область Ое есть образ выпуклого измеримого множества. 623 2 7. ФОРМУЛА ГАУССА — ОСТРОГРАДСКОГО Эта формула является аналогом формулы Грина в трехмерном пространстве. Т е о р е м а 1 (формула Гаусса — Остроградского). Пусть: 1) множество у Е Йз — выпуклый, язмеримый по Жордану, компакт; 2) граница Я множества г' есть невырождениая (без особых точек) кусочно-гладкая поверхность; 3) заданы гладкие функции Р = Р(х,у,г), Ц = Я(х,у,г), Я = Гг(х,у,г) на множестве г.
Тогда имеет место формула Здесь интеграл в левой част» равенства является интегралом второго рода, который берется по внешней стороне поверхности Я+, а в правой части равенства — обычный тройноМ интеграл по множеству г'. Д о к а з а т е л ь с т е о. Как и прн доказательстве формулы Грина, рассмотрим только случай Р = О, Я = О. Спроектируем поверхность Я на плоскость хОу я обозначим эту проекцию через Р. В силу выпуклости $' всякая прямая, параллельная оси Ог и пересекающая Р, пересекает 1' по отрезку.
Пусть (х,у) Е Р, тогда ныжний конец этого отрезка имеет координаты (х,у, р1(х,у)), а верхний конец отрезка — координаты (х,у,~рг(х,у)). Пусть, далее, Л = дР обозначает границу множества Р. Тогда поверхность Р разбивается на три кусочно-гладких части: 51 — — ((х, у, г)~(х, у) Е Р, г = р1(х, у)), Яг —— ((х,у,г))(х, у) Е Р,г = ~ог(х,у)), Яз = ((х,у,г))(х,у) Е Л, (х,у, г) ф Я1 О Яг). Здесь для поверхности Я1 интегрирование ведется по ее ыижней стороые, а для Яг — по верхыей стороне, и, наконец, для Яз, представляющей боковую часть поверхности Я, — по стороне, нормаль к которой перпеыдикулярна оси Ог и является внешней нормалью по отношению к Р.
По теореме о сведении поверхностного интеграла к двойному интегралу Римана имеем зз 624 поскольку сов (й, ез) = О. Далее, /яи,*ар=//я. (яя)ии=-//я(*,р,и,(*,р))и*яр, 5р 5р /яр**яр=//я (ри*)ии=//я(*,р,и,(*,р))и*яр. По формуле Ньютоиа — Лейбиица при фиксированных (х,у) получим и и(я,«) Г (й«1(яр ур «) Я(я, у, рри«(х, у)) — В(х, у, я)1(х, у)) = 1 (1«. и (*,«) Следовательно, (ри(я,т) //и р / ря(*,и, )и ///ия(*,и,*) тр(я И Теорема 1 доказана. Замеча)иол. 1. Тем же способом, что и в случае формулы Грина, зту формулу можяо распрострапить па случай областей У, которые являются образом выпуклой области при иекотором гладком отображении. 2.
Ясно, что если У = У1 ОУ«, где У1 и У«удовлетворяют условиям теоремы 1 и соприкасаются по кусочяо-гладкой границе, то и для У теорема 1 тоже верна. 3. Формуле Гаусса — Остроградского можно придать вид, аналогячпый формулам Грина и Стокса, т.е. ~ Р(1у л И«+ Чи1«л (1«+ Я(1«д (1у = =///(ии) ирли,и(ия)ли*ли*и(ря)ли,лрр. Но это требует введения некоторых новых попятий. В дальнейшем мы предполагаем доказать общую формулу указанного выше вида для пространства и измерений и поверхности размериости й < и.
Она 625 называется обшей формулой Стокса. Доказательство ее проводится по существу так же, как и формулы Гаусса — Остроградского. Правда, при этом в связи с согласованием ориентации поверхности и ее границы возникают некоторые новые сложности. 4. Что такое "внешняя нормаль" к кусочн<ьгладкой поверхности я, которая является границей выпуклого пространственного тела у? Если в точке г б Я существуег вектор й, то из геометрических соображений ясно, что б = (пы пм пз) — внешняя нормаль для верхней части Яэ поверхности Я, если выполняется условие пз > О, а для нижней чести 51 поверхности Я имеем условие пз < О. Для нормали, отвечакяцей парамегризации х = у(х,у), имеем 1 пз = > О.
ф + ь.Р + ь~)* Следовательно, параметризации х = р(з, у) всегда отвечает "верхняя" сторона поверхности и потому при переходе к двойному интегралу в случае поверхности Яэ мы берем знак + перед интегралом, а в случае поверхности Я1 — знак —, Примеры. 1, Из теоремы 1 имеем следующее выражение для объема тела г' через поверхностный интеграл по поверхности Я = ду: ~'=1/.е.ь=11 юьпн.=11*а..е + Я+ Я+ Здесь поверхностные интегралы берутся по внешней стороне поверхности. Отметим, что для определения внешней стороны поверхности Я следует через точку на поверхности провести нормальную прямую к ней и в качестве направления внешней нормали к поверхности Я выпуклого тела И взять то направление луча этой прямой с вершиной в данной точке, на котором не содержится других точек тела К 2. Интеграл Гаусса.
Пусть Я вЂ” кусочно-гладкая, невырожденная, измеримая по Жордану, компактная поверхность. Пусть Р— некоторая фиксированная точка, М вЂ” переменная точка на поверхности Я,г = т(Р,М) — радиус-вектор с начальной точкой Р и концевой точкой М,й — внешняя нормаль к поверхности в точке М. Тогда имеем 4э, если Р б Ъ'~Я, С=уу ' ИЯ= 2я, если Рбе', ГГ соэ(г,б) гз 5+ О, если РфК Рассмотрим сначала случай, когда точка Р й И ~ Я. Пусть точка М имеет координаты (з,у, х), а точка Р— координаты (а, е, с). Тогда 626 г = (х — а, у-Ь, в — с), вектор нормали к поверхности в точке Ы равен и = (сова,сов д,сов у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
