Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Следовательно, (г,п) (х — а) саво+ (у — Ь)совд+ (в — Г) сов7 сов(г,й) =— )Я) г Используя формулу Гаусса — Остроградского, получим (гз ) + (Кгч ) + ( гв ) Далее имеем 3(у — Ь)г„ 3(х — а)г д(Кт-) 1 д(к„=вв) 1 гв ' ди гв гв дх гв д(кгзв) 1 3(в — с) г, х — а у — в — с Следовательно, получим 11 1 3 3((х — а) +(у — Ь) +(в — с) ) П ~" =11 ьв=ЯОЫУ.
515, У1г, Но поскольку имеет место равенство, которое символически можно записать так: то, в силу равенства О г дд=41г, 5, имеем, что значение 'С интеграла в случае Р Е У 1Я равно 41г. евт Если точка Р Е 1''1 Я, то окружим ее шаром У, целиком лежащем внутри У 1 К Поверхность этого шара обозоначим через Я,. В силу предыдущего имеем Р Е Я рассматривается аналогично. Случай, когда е фо м лы Гаусса— м ла Грина. Замечательыым следствием,+,ор у 3. Формула рина. а фо м ла Грина, имеющая важыые Остроградского является еще одна формула приложения в математичес ф кой физике. е неп ывные втои и е — гладкие функции, имеющие непрерывные в Пусть и и е — г рые частные производные и и,и . усть д'г' ю ейся о ан, компакт с границей, являюще ся клый измеримый по Жордану, к ваныой поверхностью.
усть, кроме кусочно-гладкой орнентированыо п — — и " + 8 " + к-г обозначает оператор Лапласа, — „" — произг~" = ехт+ 8»т+ е,т ей но мали к поверхности дК Тогда водную по направлению внешней нормали к по справедлива следующая формула Грина Ц( ~" —.~") е — Я'~.ь — ьеа 8 Действительыо, по формуле Гаусса — рогр — Ост адского получим „х Ч(( ~ В, '("й), ~ ~ В) =И вЂ”.-'" ( ( ~ 1 де де ( ~и — соа(й,ег) +и — сов(й,ег) + и — соз(й,ез) нд = = Ои — оК Далее, имеем ив ) дв де дге г йк — +„ дх дх дх дхг ' д (як„.) дв де д'е ду ду ду дуг ' д(а ) д д дг„ = — — + я —. д» д» д» д»г Используя полученную для величины фор у у, А фо м л, найдем 9(==" ВФ ВВ"= и — дд — иЬе оК.
8 628 Лекции 14 ~ 8. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ТОЛЬКО ОТ ПРЕДЕЛОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Будем считать, что Р,ф  — гладкие функции. Сформуляруем н докажем теорему о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, имеющего фиксированные начальную и концевую точки. Т е о р е м а 1. Пусть Б — кусочно-гладкая иевырожденная кривая. Тогда для того чтобы интеграл — Рдх+ ф~у+ 1Их ь не зависел от пути нвтегрироваявя (а зависел только от начальной и концевой точек кривой Ц, необходимо и достаточно, чтобы существовала функция 6(х, у, х) такая, что ~й = Рйх+ ~'„Ыу+ Мх. Мы считаем, что Р,О,В,Б определены внутри некоторого шара Пауз Д о к а з а т е л ь с т е о. Необходимость. Пусть интеграл Г не зависит от пути интегрировании. Обозначим через гд центр шара П и через г, г1 — произвольные точки шара П.
Поскольку интеграл Г зависит только от начальной и концевой точек кривой Ь, интеграл м,м = Рйх+ ЯНу+ Вбх, есть функция от г. Обозначим ее через А(г). Пусть точки г1 и г лежат на прямой, параллельной оси Ох. Тогда Дифференцируя это равенство по первой переменной х, получим дй(г) Аналогично, имеем дй дА — =Я,— =В. др ' дх Следовательно, дифференциальная форма ы есть полный дифференциал.
Необходимость доказана. ,достаточность. Пусть г1 и гт — любые точки, принадлежащие й, и Ь вЂ” кусочно-гладкая невырожденная кривая, имеющая своими концами точки г1 и гю Пусть г = г(1), 8 б (О, 1], — параметризация этой кривой. Тогда, переходя от криволинейного интеграла к определенному интегралу от одной переменной, получим 1 нЬ = Ь,(г(1))М = Ь(гт) — Ь(г1).
ь а Это означает, что интеграл от полного дифференциала зависит от начальной и концевой точек пути интегрирования, но не зависит от самого этого пути. Теорема 1 доказана. Выясним теперь условия, при которых дифференциальная форма ы есть полный дифференциал от некоторой функции Ь(б). Для простоты рассмотрим только двумерный случай. Т е о р е м а 2. Пусть й — выпуклая область в й~. Для того чтобы дифференциальная форма ы = Рдх+ Яну на й оыла полным дифференциалом, необходимо н достаточно, чтобы для всех точек й выполнялось равенство у- = а аР ао ,д о к а а а т е л ь с т в о.
Необходимость. Если дифференциальная форма ы является полным дифференциалом, то есть ы = дЬ, а1 ао то равенство — = — означает равенство смешанных производных. ар = а Необходимость доказана. ,достап1очиость. Пусть выполняется равенство дР д(~ ду дх ' Рассмотрим функцию га Уа где (ха, уа) — некоторая фиксированная точка области й.
Тогда имеем дЬ дх — = Р(*,у). Далее, по правилу Лейбница получим — =1ч(ха,У)+/ п1=9(ха,У)+/ п1= дЬ Г дР(1, у) Г дЯ(1,у) ео ее ЕЗ1 = 9(хо,у)+Я(' у) — Фхо,у) = Я(х,у) Таким образом, дифференциал функции Ь(х,у) совпадает с дифференциальной формой о(. Теорема 2 доказана. Аналогично доказывается следующее утверждение.
Т е о р е м в 3. Пусть Й вЂ” выпуклая область. Дифференциальная форма м = Рс(х+ Я(!у+ тсн» тогда н только тогда является полным дифференциалом, когда для всех точек области й выполняются равенства дР дЯ дР .дй дЯ дВ ду дх' д» дх' д» ду' И вообще, в выпуклой области й С И" условие, что дифференциальная форма о( является полным дифференциалом некоторой функции Ь, т.е. ы = (й, эквивалентно условию (ко = О. Пример. Пусть !(») — функция комплексного переменного» = = х+1у, х,у Е (к, принимающая комплексные значения !(») = и(х,у) + и(х,у) = и+ (и, где и,и — вещественнозначные функции и !(») — однозначная в некоторой области й комплексной плоскости С. Пусть Š— простая спрямляемая ориентированная кривая, Ь Е Й, Определим криволинейный интеграл ! от функции у(») но кривой ! следующей формулой: Пусть функции и = и(х, у) н и = е(х, у) являются гладкими в области й. Далее потребуем, чтобы интеграл ! не зависел от кривой интегрирования Ь, а зависел только от начальной ее точки »о и концевой точки ».
В силу теорем 1 и 2 в этом случае имеем ди ди ди ди дх ду' ду дх' Эти условия называются условиями Коши — Римана. Отметим, что при наличии гладкости функций и и и в области Й они являются необходимыми и достаточными условиями дифференцируемостн функции комплексного переменного. Итак, пусть функции и и о являются гладкими. Рассмотрим интеграл Р(») = ~ !(») ((» = / »(») (!» = !!(х, у) + оЪ'(х, у), Ь Ло 632 где о = о'(х, у) = ~ Ых — эпу, У = У(х, у) = / епх + иду. го м Отсюда получим дП дУ дП дУ дх ду ' ду дх Следовательно, функция г(г) является дифференцируемой и дП .дУ г' (г) = — + ' — = и + 1 = 1(г).
дх дх Таким образом, функции Р(г) является первообразной функции Дг), и для интеграла от функции Дг) имеет место теорема Ньютона— Лейбница. Простым следствием теорем 1 и 2 является следующая теорема. Т е о р е м а 4. Пусть функция Дг) — одяоэяачпа и непрерывна в областя П, принадлежащей комплексной плоскости С.
Тогда дпя любого простого спрямляемого ориентированного замкнутого контура Ь б Й спгавепляво равенство Дг) сЬ = О. ь Полученная теорема называется основной теоремы Коши в теории функций одного комплексного переменного. з 9. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Рассмотрим выпуклую область У в трехмерном пространстве )кз. Пусть на этой области задана скалярная функция 6(й),и б У и отображение ф(й) области У в трехмерное пространство. Традиционно в приложениях анализа к математической физике и механике ряд вопросов, связанных с изучением функций Ь(й) и ф(6), выделяется в отдельный раздел, который называется еекюорммм анализом или таеориео (еекюормого) воля. По существу, этот раздел ничего нового, кроме обозначений, не содержит.
Но язык этих обозначений надо знать. .". Зееэ ~ю мнэеэее П 1пвм езз Определение 1. Функция Ь(й) называется скалярным полем, а отображение уз(й) называется векторным полем на области К Если функция Ь(й) и ссо(й) — гладкие, то соответствующие паля гоже называются гладкими. Далее будем считать, что Ь(и) и оо(й) — гладкие функции на К Определение 2. Векторное лоле А(й) = (ф, ЗейЬ, ф) = кхас1Ь(й) называется градиентом скалярного поля Ь(й). Определение 3. Производной по направлению 1 скалярного поля Л(и) в точке йо называется величина Ь(йо + 1е) — Ь(йо) дЬ 1пп с-+о д1 ' где е — вектор, определяющий направление 1.
Известно, что дЬ вЂ” = (кхас1 Ь(й), е). Примеры. 1, Множество всех точек й, удовлетворяющих условию Ь(й), равно некоторой постоянной величине а, называется мновсеством уровня функции Ь(и). Пусть множество уровня Ь(й) = Ь(ио) = а представляет собой гладкую поверхность П = По в окрестности точки и = ио. Тогда в любом направлении 1 для кривой Ь б П, имеющей это направление, т.е.
касательный вектор к кривой Ь в точке йо совпадает с вектором направления 1, справедливо равенство ~- — — О, поскольку для точек кривой Ь имеем ел схЬ(йо) = Ь(йс) — Ь(йо) = О. Отсюда получим дЬ д1 — = (йхас)Ь(и),е) = О. Следовательно, если вектор йхас) Ь(ио) ф О, то вектор градиента функции Ь(й) в точке ио ортогонален вектору е, касательному к поверхности уровня П. 2, Рассмотрим функцию Ь(й) = )(г), где г = Ой — йо'О.
Поверхностью уровня П = П, этой функции является сфера с центром в точке ио и радиусом, равным а. Тогда вектор градиента функции у(г) направлен по нормали к сфере, т.е. по ее радиусу г = и — йо. Следовательно, йхас( ~(г) = у (г);-.
В частности, имеем йхас1 (--,') = ~с. 3. Пусть в точке йо помещена пробная единичная точечная масса, а в точках ис — масса тх,..., йь — масса тю Пусть гс —— = й, — йо,..., гь = йь — йо. Тогда сила притяжения, действующая на пробную массу, равна гс г(йо) = т,— + +ть —. гз ''' гз. 1 о Из предыдущего примера получим Р(ие) = яга(1 рми 4. Пусть на измеримом по Жордану компакте 1» Е 1кз задана кусочно-непрерывная функция распределения р(М),М Е К массы тела К Положим р(М) = О, если М й КПусть Р— некоторая фиксированная точка, М вЂ” любая переменная точка и пусть г = = г(М) = г(Р,М).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
