Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 95
Текст из файла (страница 95)
'Тогда сила, действующая на пробную точечную единичную массу, помещенную в точке Р, по аналогии с дискретным случаем равна р(р) яр(м) (м) где (Лр'(М) = ох(М)(1у(М)!1»(М). Силовую функцию Г(Р) можно представить в следующем виде: Р(Р) = яга() р(Р), где ° (р) = - я р(м) а (м). Действительно, имеем 1 , 4 р(Р) = ф р(М) р Р( )Рр(м) = г(Р, М) = Щ р(м) ",(; '") рр(м) = р(р), Определение 4.
Пусть ф(У) = (Р, Я, В) — гладкое векторное поле. Тогда величина дР дЯ д — + — + — = (»1ч~О дх ду дг называется дивергенпней векторного поля, а вектор дВ д1~ дР дВ д(,) дР! — — —, — — —, — — — ! = го! (() ду дг ' д» дх ' дх ду ( называется ротором векторного поля ((р. 635 Если введем в рассмотрение оператор "наблв" сс, полагая то предыдущие определения можно формально записать в виде йч ф = ( ч, ф), гос ф = [сс, ф], к тасс Ь = сс Ь, где символические выражения (, ),[, ] обозначают соответственно скалярное и векторное произведения. Можно также определить йчф я гофф из тождества для дифференциальных форм: ссшт = (ссР) Л ссу Л ох + (с(С6) Л с(х Л с(х + (сИ) Л с(х Л йу = (йч ср) с(х с(у йс, с(ш с —— (ссР) Л ох + (с)сГ) Л ау+ (сИ) Л с(х = е1 ссу Л с(х + ех сЬ Л ссх+ ез ах Л с(у, где гоФф = (ес,еюиз), йЬ(й) = (ягайЬ(й),йй).
Отсюда, используя соотношения с(х Л ох = О, Их Л ссу = — с(у Л йх и т.д., получим соответственно выражения для йчф н гофф. Отметим два полезных тождества гоСбгас)Ь(и) = О, йчгосф(й) = О. Их доказательство получается прямыми вычислениями. Оно является следствием того, что для дифференциальной формы ш справедливо равенство сгтш = О.
Действительно, первое тождество следует из формулы с((с(Ь(й)) = с(зЬ(й) = О, а второе тождество — из формулы сстшс = сс(ссР Л ох+ Щ Л ссу+ сИ Л ос) = О. Определение б. Криволинейный интеграл се второго рода 16 ~ Рс(х+ ~Иу+ Жх по кусочно-гладкой ориентированной замкнутой кривой Ь называется циркуляпиесс вектора ф = (Р, с',,), В) по замкнутому контуру Ь. Если г — еднничный касательный вектор в положительном направлении обхода контура ь, то интеграл 16 можно записать в виде где сс( — элемент длины дуги кривой Ь. 636 Определение 6. Поверхностный интеграл второго рода по выделеяной сторояе'двусторонней кусочво-гладкой измеримой поверхиости Я вида ! = Рйулйг+Щтлйя+Ж*ЛНу яазывается потоком вектора ф = (Р, Я, В) через поверхность о'.
Если через б обозначим нормаль к поверхности, соответствующую выбранной стороне поверхности, то поток У через поверхность Я можно записать в виде Переформулируем в векторном виде теоремы Стокса и Гаусса— Остроградского. Пусть сторона поверхности Я, отвечающая вектору нормали й, согласована с направлением обхода коитура, отвечающим вектору г, единичному касательному вектору к кривой Ь. Это можно сделать, например, так. По непрерывности определим вектор нормали на кривой Ь, а затем вектор г направим в ту сторону, чтобы относительяо й обход контура совершался "против часовой стрелки". Т е о р е м а 1 (формула Стокса).
Циркуляция вектора ф по кусочяо-гладкой гравице Ь кусочно-гладкой поверхности Я равиа потоку гоФф через эту поверхиость, т,е, Т е о р е м а 2 (формула Гаусса — Остроградского). Поток вектора ф через кусочяо-гладкую гравииу о выпуклой трехмеряой области У равея тройному явтегрэлу от дивергенция вектора ф по миожеству У, т.е.
где й — внешняя яормаль к поверхяости Я. Отметим еще три интересных следствия формулы Гаусса — Остроградского. Справедливы следующие равенства: Ф) Ц(й,ф)йЯ= Ш(У,ф)йУ, 2) Ц(п,ф)еЯ= Ш('У,ф]еУ, 637 5 Действительно, рассмотрим, например, формулу 2). В ней первая акоорднната векторного равенства имеет внд Для векторного полн ф~ —— (О, Л, -Я) предыдущее равенство представляет собой обычную формулу Гаусса — Остроградскою. Аналогично устанавливается равенство вторых, третьих координат равенства 2). Равенство 3) следует из формулы Гаусса — Остроградского для векторных полей (Л,О,О),(О,Л,О),(О,О,Л). Обозначим через Н диаметр области $', а через р(г') ее объем.
Тогда, используя теорему о среднем для каждой компоненты векторных полей го1у = (~7,1з) и кгЫ Л = тУЛ в равенствах 1),2),3), а затем, переходя к пределу при а -+ О, получим 4) Йт 1г = 1пп -„+ ) ) (й, ф) сБ, 5) го1 у = 1пп -„+ () [й, ф) 4Я, б) бган Л = 1пп-()~) ЦйЛ (о. Ы-+О 5 Интеграл в равенстве 4) представляет собой поток векторного полн ~р через замкнутую поверхность Я, являющуюся границей тела К По аналогии с этим интегралы в равенствах 5) и б) назовем еекторямми поювоками соответственно векторного поля у и схалярного поля Л через поверхность К Отметим также, что эти формулы дают инвариантное относительно выбора прямоугольной системы координат определение градиента, дивергенции и ротора.
Лекция 15 1 10. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Определение 1. Векторное поле Р(М), М б У, называетсв потенциальным в области У, если найдется скалярная функция Ь(М) такая, что Р(М) = йгас(Ь(М), сама функция Ь(М) тогда называется потенциалом векторного поля Р(М). Если величину Р(М) рассматривать в качестве силы, действующей в точке М на пробную точечную единичную массу, то потенциал Ь(М) будет иметь смысл работы по перемещению этой точечной массы из бесконечности в точку М.
Действительно, пусть задана кривая Ь с начальной точкой А н переменной точкой М Обозначим через ЦМ) длину дуги АМ этой кривой, а через й(М) — единичный касательный вектор к ней в точке М. Тогда работа И~(Р) силы Р(М) по перемещению пробной массы по пути АР равна 'гУ(Р) = (Р(М),й(М))ЩМ) = (кгм(Ь(М),г(М))Н!(М) = АР Определение 2. Циркуляцией векторного поля Р(М) по замкнутому контуру Ь назовем величину Из предыдущего выражения длв работы УУ(Р) силы Р(М) по контуру Т имеем, что циркуляция потенциального поля по любому замкнутому спрнмлнемому контуру равна нулю. Отметим, что в теоремах 1, 2 и 3 18 мы получили необходимое и достаточное условие потенциальности поля. Сформулируем зти условия, используя новую терминологию. Т е о р е и а 1.
Дчя того чтобы гладкое векторное поле было потенциальным в выпуклой области Й, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из эквивалентных условий: 639 1) для любой кусочно-гладкой замкнутой кривой Ь Е Й (Р(М), г(М))<й = О, 2) го4Р(М) = О. Напомним, что для отображения Р(М) = (Р(М),Я(М),В(М)) в силу определения имеет место равенство Гдй дЯ дР дВ дЯ дР гот Р(М) — ~ ~,ду дх' дг дх' дх ду Определение 3. Векторное поле ф(й) называется соленондалы ным (или трубчатым), если существует векторное поле ф(й) такое, что ф(й) = гоь ф(й), а векторное поле т)(й) называется векторным потенщгалом поли ф(й).
Т е о р е м а 2. Пусть й — выпуклый компакт. Для того чтобы векторное поле ф было солеиоидальиым, необходимо и достаточно, чтобы для всех точек Й выполяялось равенство г(1чф = О. Д о к а з а т е л ь с т е о. Необходимость. Поле ф является солеиоидальным. Следовательно, ф(й) = го4ф(й). Но поскольку для любого векторного поля ф справедливо равенство йчго4Ч' = О, имеем йчф = О на области й. Необходимость доказана. Достаточность.
Пусть теперь г(гчф = О на области й. Докажем, что существует векторное поле ф такое, что го4ф = ф. Поставим в соответствие векторному полю ф = (Р, гч, В) дифференциальную форму ы = ы(г, г(г) = Рг(у Л Иг + фЬ Л их + ВИх Л Иу, г = (х, у, г), Иг = (ах, Иу, пг) . Тогда условие огчф = О на й эквивалентно тому, что Им = О на й. А условие существования векторного поли ф = (А, В, С), удовлетворяющего равенству гоГф = ф, означает, что найдется дифференциальная форма а = Айх + Вду+ С~Ь такая, что Иа = ы. б40 Будем искать форму а, исходя из равенства 1 Г сС(Стас(Сг, сСг)) сСС о Рассмотрим сначала только одно слагаемое ые — — В с)х Л с(у. Имеем сС(С В(Сг, с)г)) 2сСВ дВ дВ дМ Гд(Вх) д(Ву) дВ'~ 2В+х — +у — +х — ) = С ~ — + — +х— дх ду дх ) (, дх ду дх ) ' Далее воспользуемся тем, что с)ьс = О, т.е.
дР д9 д — + — + — = О. дх ду дх Получим с)(ССВ(Сг, с)г)) (д(Вх) д(Ву) дР дЯ') сСС (, дх ду дх дуГ д(Вх — Рг) д(Ву — Ях) дх ду ~ ~ С ~ х ~ у Отсюда имеем 1 сС(ССВ(Сг, сС )) — дС дхЛЫу= Ж е 1 1 д/Г д с'à — / (Вх — Рс)С сСС сСхЛ сСу+ — ) фс — Ву)С сСС сСуЛ с)х. дх ду ~) о о Аналогично получим соотношения 1 сС(ССЦ(Сг, дг)) сСС сСС с)х Л с)х = а д д С Г вЂ” / (Ях — Ву)С сСС сСх Лс)х+ — (Ру — Ях)С сСС сСх Л сСС, дг )(,/ дх о о 641 »(!»Р(!г,)г)) !й й~уЛ»= о 1 1 — — (Ру — Яя)! !!! ИуЛ !2»+ — Г(Ях — Р»)С й о» Л Ир.
др д» „! о о Следовательно, форму а можно взять в виде 1 (Я» — Р»у)1 ~И <1*+ о ! ! + (Ве — Р»)С М ф+ (Ру — Ях) сЫ !!». о о Теорема 2 доказана полностью. Замечание. Теорема 2 — частный случай теоремы Пуанкаре о множестве замкнутых ы точных дифференциальных форм. Форму а в, доказательстве достаточности теоремы 2 можно выбрать не единственным способом. Например, условию теоремы удовлетворяет любая форма вида а+од, Отметим также, что любое векторное поле можно представить в виде суммы потенцяального и соленоидального полей. Пример. Пусть Ъ' — некоторый выпуклый измеримый по Жордану компакт, г' С )кз. Для любой фиксированной точки Р б Нз и любой точки М б Ъ' определим радиус-вектор' б = б(М) = (я(М), у(М), »(М)), г = и элемент объема сП/ области Ъ' в виде !П' = ох(М) Иу(М) !!»(М). Пусть на области $' задано векторное поле !' = у(М).
Тогда можно определить силовое поле Й = Й(Р) векторного поля у(М) по следующей формуле: Й=Й(Р)= ~,"~ П. Отметим, что в любой точке Р б !кз определено силовое поле Й(Р). В случае Р бйз!! )» интеграл, задающий поле Й, представляет собой обычный тройной интеграл Римана от гладкой функции. Если же Р б К то этот интеграл является несобственным и его сходимость следует из признака сравнения (для этого область Р можно разбить на шаровые слои с центром в точке Р и радиусом г с условием 6(г<26, 6=2 ~, АХЕИ) Покажем, что для любой точки Р ф У имеет место равенство ЙуЙ=О, т.е.
в силу теоремы 2 поле Н является соленоидальным в области )йз~ у Действительно, если еы ег, ез — орты, направленные по осям координат Ох, Оу, Ог прямоугольной системы координат, (гг уг гз) г = (х,у,г), то имеем ег ез уг Зг Зз з у г (г,г) 1 гз гз ггз — узу узх — ггг угу — угх Отсюда дР Зх дО,, Зу дй ., -Зг — = (гзу — ггг) —, — = (31з —,гзх) —, — = (3гх — ггу) —, дх гз ду ге дг Следовательно, дР дЯ дЯ ЙуЙ= — + — + — =0, дх ду дг т.е, поле Н является соленоидальным в области гсз ~ У. Покажем теперь, что при Р ф У векторным потенциалом поля Й является векторное поле Я1 й т.е. поле Й представляется в виде Й = го~ Х. В силу гладкости подынтегральной функции можно поменять порядок следования оператора гог и тройного интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
