Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Обычно от функции п(я, у) требуют непрерывности всюду, эа исключением, быть может, множества Ь нулевой меры Жордана. Проекцией поверхности 1~ на плоскость вОу является область Р. Предположим, что область Р— иэмеримый по Жордану компакт. Пусть измеримые множества Р,,..., Р, образуют его разбиение т.
Возьмем точки Мм.,., М~ на границе соответственно каждой иэ областей Р,,..., Р,. Этим точкам при проекции на плоскость соответствуют точки Ям...,лч на поверхности 9. Пусть 1м..., и — углы между нормалью к поверхности 1~ в точке Ф„э = 1,...,1, и осью Ок Рассмотрим части касательных плоскостей О„э = 1,...,1, проходящих через точки Ф, и имеющих своей проекцией на плоскость яОу область Р,. Получим "чешуйчатую" поверхность, Иэ линейной алгебры известно, что ее площадь дЯ,) равна Назовем площадью поверхности О величину Поскольку уравнение поверхности имеет вид г = й(я, у), то нормаль ее в точке Ф поверхности О. можно представить в виде Следовательно, имеем 1 соз у = ф +Р г г ь,'г Отсюда получим р(д) — 1+ ( ')з+ (у')г,у 1й и Итак, из не вполне строгих геометрических соображений мы получили формулу площади поверхности в трехмерном пространстве.
Далее мы дадим некоторое уточнение и обобщение этого понятия. Определение 1. Поверхностью 1~ в п - мерном пространстве %" называется множество точек (й),г = (гы.,,, г„), таких, что г = г(й), где 2 = (ямвт) Е Р, причем область Р является ограниченной и измеримой по Жордану, отображение г = г(2) есть взаимно однозначное отображение внутренних точек множества Р на точки множества (~ и г = б(х) непрерывно всюду, за исключением множества 1„имеющего нулевую меру Жордана. Напомним, что отображение г = г(й) = (гы ..,, г„) непрерывно в точке 2, если непрерывны функции га — — гь(Х),к = 1,..., в.
Назовем отображение г(й) = (г~(з),...,г„(й)) гладким, если для любой точки й Е Р функции гь(х),1 = 1,..., и, имеют непрерывные частные производные (на границе дР рассматриваются односторонние производные) . Замечание. Поверхность 1~ можно задать различными способами. Указанное выше задание поверхности О называется параметрическим (или параметризацией множества Ч).
Выбор параметризации также может быть разным. При любых фиксированных значениях с~ и сз кривые на 1й' вида г = г(хмсз) и и = б(сыаз) называются криволинейными координатами на поверхности Я. Каждой точке г б О соответствует пара (сысз) криволинейных координат. Определение 2. Поверхность 1г называется гладкой, если задающее ее отображение г = г(х) является гладким. Гладкая поверхность называется иевырожденной, если ранг матрицы Якоби отображения г = г(й) максимален, а именно: он равен двум. Мы стремимся определить меру, то есть понятие площади множеств на иеемрозюдеиямх поеерхиосщях.
Для этого сначала уясним какими свойствами должна облапать площадь или мера множества. Кроме обычных свойств меры (монотонность, апдитивность, инвариантность относительно ортогональных преобразований пространства, независимость от параметризации) необходимо, чтобы в случае гз = О,..., г„= О, то есть "плоского" отображения г = г(х), мы имели формулу р(ч) = Ц ~3г(х)~г!хАхг, .О где '!г(х) якобиан отображения г = г(х), ! (х) = зг„ з. Для простоты рассуждений предположим, что плоское множество Р есть замкнутый квадрат. Тогда в этом случае мера р(!)) образа Р есть предел при Ьт -+ О интегральных сумм а(Т) для разбиения Т квадрата Р на равные квадраты Рь !, lс, ! = 1,..., п, со стороной й (р(Рм ) = б') и а а(Т) = ~~ь ~' )!г(ххь ~Яр(Рь а), ь=1 1=1 где ххк ! левая нижняя вершина квадрата Рь и При выводе формулы площади фигуры 1,! мы видели, что число 17г(хьу) ~р(Рьп) равно площади параллелограмма, в который переходит квадрат Рь ~ при замене отображения Ьг = г(й) — г(ххь !) на линейное отображение р вида р = р(й) = А(хь ~)(х — ххь ~) = Нг(хьу), где А(ха !) — матрипа Якоби отображения г = г(х) в точке х = ххя ь Итак, при вычислении р(!'„1) мы берем разбиение Р на квадраты Рь и а затем для каждого квадрата Рь ~ заменяем отображение Ьг на линейное отображение Иг(хь ~), При такой замене мы можем сказать чему равна плошадь образа.
Сумма же полученных плошадей по всем парам (lг,!),1,! = 1,...,и, дает нам интегральную сумму а(Т). Естественно ту же самую схему положить в основу определения площади поверхности ь! и в общем случае, т.е. надо взять разбиение Т квадрата Р на равные квадраты Рь ~, х, ! = 1,..., и. Далее, заменить отображение Ьг на линейное отображение р, р = рь ~(х) = Нг(ххк ~), и просуммировать меры Вь ! = р(Рь !). Тогда мы получим и и а(Т) = ~~~ ~ ~р(йь ~).
ь=!1=1 597 Определение 3. Если существует предел а(Т) при Ьт -+ 0, то этот предел мы и будем называть плошадью поверхности Я. Осталось провести явное вычисление величины а(Т) и найти ее предел р(Я). Для этого заметим, что векторы ег = (6,0) и ег = (0,6) при отображении р = Нг(хха~) переходят в векторы дтг дг„ аг — — р(ег) = 6(,.,., ) дхг'''''дхг дгг дт„ аг Р(сг) й( .
) дхг'' ' '' дхг Теперь надо найти плошадь параллелограмма, образованного векторами а| и аг. Для этого мы воспользуемся формулой из линейной алгебры, которая утверждает следующее ~(а;,а1], (аыаг) Е Р г 1(аг, а1), (аг, аг) Р С Приведем простой вывод ее. Очевидно, формула площади параллелограмма, составленного нз векторов а1 и аг, имеет вид Р =1!аг11 !айаг — г 11 МР Преобразуем эту формулу. Получим Да~// р = (агЦаг(( — аг(амаг),агЦ~ад// — аг(амаг)) = = 11!аг//~,/аг// — 2!/аг!! (амаг) + //аг!( (амаг) .
Следовательно, рг = 1~а1'0911аг11г — (а,, аг)г = ЕС вЂ” Ег = Г(й). Таким образом, будем иметь ь п а(Т1 = ~~~ ~»;(Г(хха ~)р(08 ~), 1=1!=! Функпия ~/Г(х) непрерывна на П, поэтому существует предел 1пп а(Т) = / / ~Т(х)Ихп1хг = р(Ф. ат а и 598 Другими словами, мы имеем ,%) = Д' ЛС - Г пь, Ь, Заметим, что последний интеграл может оказаться как собственным, так и несобственным, Отметим, что величина площади параллелограмма, образованного сторонами а~ = Ьг„,аа = Ьг„, как известно, равна дФьх) = 6'П(.„г.Я. Отсюда мы получим еще одну формулу для площади поверхности д(Я) = / / ))[г~,, г ЦЫс~йхг.
и Примеры. 1. Площадь поверхности верхней полусферы х~ + ут + г~ = 1, г > 0 равна 2х. Имеем им)= // ~~+у~(1 ° ° ° =(*,а ).*=Л:*':Р, е,*)=* Следовательно, получим Перейдем к полярным координатам. Будем иметь 2. Площадь двумерного тора Я Е Йа, задаваемого уравнением г = г(у,д) = ((6+ асоай) сов ~р, (6+ асоаВ) яв и,агйпд),6 > а, на областя П изменения параметров, 0 = ((~р, 9) )О < ~р < йх, 0 < 0 < 2и), Имеем в = ( — (Ь + а сов В) з1п р, (Ь + а сов В) сов ~р, 0), гв — — (-а в1п В сов ~р, -а в1п В в1п 1а, а сов В), Е = (В, г ) = (Ь+ асов В), Р = (гв, гв) = О, С = (гв, бв) = а~, ес — Р = /ь.~ ° з = з.~ в. Отсюда получим Ь 16. ПЛОРДАДЪ М -МЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ М ИЗМЕРЕНИЙ Пусть и», и — натуральные числа, 1 < и» < п.
Назовем и» вЂ” мерной поверхностью О в В." множество точек (г),г = (г»,...,гп), таких, что г = г(в), Где х = (вп...,*,д) б П, причем множество .0 ограниченно и измеримо по Жордану, а отображение г взаимно-однозначно отображает В на»в' и оно непрерывно всюду на П, за исключением множества ь, имеющего нулевую меру Жордана.
Будем говорить, что гладкая поверхность Я невырождена, если ранг матрицы Якоби отображения г = г(х) максимален, то есть равен Пусть для простоты множество П есть куб и пусть Т вЂ” разбиение его на равные кубы В» со стороной Ь. Пусть, также, йй — левая нижняя вершина куба П».
Положим р = р»(2) = Иг(У»), г»» — — р(0») и определим интегральную сумму а(Т) = ~ ~д(1Ь»). Определение 1. Плон»адью поверхности (в назовем величину р(»г) = 11ш а(Т). Для вычисления а(Т) нам необходимо найти объем параллелепипеда В»-, образованного векторами й~ — — Ьг,..., ам = Ьг Из линейной алгебры известно, что где Г = Г(а1,, а ) — определитель матрицы Грама, (а1, а1) ... (а1, а,„) Г(а1,...,а,„) = (а,„, а1) ...
(а,„, а,„) Дадим прямой вывод формулы для У . 'При п1 = 1,2, очевидно, имеем Ь„, = с1 а1 + + с,„1а Тогда справедлива следующая цепочка равенств -г '- г (а1, а,„) Г (а„, а1) ... (а,„, ае,) Гл~-1 (а1, а1) Гю-1 (а1,а„, 1) (а1,Ь„,) (а~-1,а1) (а -1 а~-1) (а~-1,Ьт) (Ь„„, а1) ... (Ь„„а1) ЦЬ„,)/~ + Г Г О (Ьт, й1) ... ~(Ьт)( так как определитель в числителе первого слагаемого равен О (последняя строка в нем есть линейная комбинация предыдущих).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
