Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 85
Текст из файла (страница 85)
ПуСтЬ гап = 1ПГ д(а), Мп ап Вцр д(а),агп ап Мп — гап. ТОГда ОнрЕдсаеР аер лим верхнюю и нижнюю суммы Дарбу соответственно следующими выраженяями: о(т) = Е М !г(Р ) 6(т) = Е !г(Р ), п=1 п=1 г и омега-сумму — выражением Й(г) = ! ыпр(Р»), «=1 Дадим еще одно определение кратного интеграла от ограниченной функции д(х, у) по ограниченной, измеримой по Жордану, области Р. Пусть для некоторого прямоугольника Р имеем Р С !».
Доопределим функцию д(х, у) на весь прямоугольник Р, полагая ( д(х, у), если (х, у) б Р, ( О, если (х,у) б Р 'гР. 559 Определени 5. Если де(х,у) янтегрируема по Риману на прямоугольнике Р, то двойной интеграл Х от де(х, у) по Р называется двойным интегралом Римана по множеству Р от функции д(х, у), то есть по определению имеем ~~д(х, у)ИхИу =,1 = ~~де(х, у)йхйу. На первый взгляд может показаться, что понятие обобщенного интеграла 1 расширяет класс интегрируемых функций по сравнению с понятием интеграла Х но на самом деле это не так. Т е о р е м а 1.
Для существования обобщенного двойного интеграла 1 необходимо я достаточно, чтобы существовал интеграл Х причем тогда 1 = Х Д о х а з а т е л ь с я» в о. Сначала заметим, что теорию Дарбу и критерии интегрируемости можно перенести на случай обобщенного двойного интеграла. 1. Пусть существует интеграл Х по прямоугольнику Р. Тогда в силу критерия интегрируемости ((п1П(Т) = 0) имеем, что для всякого Т е > 0 найдется разбиение Т такое, что П(Т) < е, причем Т состоит из прямоугольников Р» ь Возьмем в качестве Р» ~ = Р О Р» ь Тогда получим разбиение т множества Р.
Колебание функции д(х,у) на множестве Р» ~ не превосходит ее колебания на Р»д поэтому имеем П(т) < П(Т) < б, т.е, согласно критерию интегрируемости существует обобщенный интеграл 1. Аналогично можно получить неравенство Я(т) < Я(Т), поэтому < Б(Т) 1' < Х',1 = 1' < Х* =,1, 1 < Х Из подобного неравенства для нижних сумм Дарбу имеем е(т) > е(Т), 1 = 1, > Х, = Х Из этих неравенств следует, что 1 = Х Необходимость доказана. 2.
Пусть существует обобщенный интеграл 1 по ограниченному измеримому множеству Р. Надо доказать, что существует интеграл Х от функции де(х, у) по прямоугольнику Р, содержащему Р. Из критерия интегрируемости имеем, что существует разбиение т = (РО,.,,Р~) такое, что Й(т) < е. Для каждого г = 1,...,1 множество Р„измеримо, поэтому р(дР,) = О. Следовательно, найдется простейшая фигура Р, состоящая из прямоугольников Р» ц и, такая, что суммарная площадь всех Р» ь содержащих хотя бы одну точку границы дР„г = 1,...,1, не превосходит е, т.е.
р(Р) < е. Продолжим прямолинейные отрезки границы Р до пересечения со сторонами прямоугольника Р. Получим разбиение Т этого прямоугольника. Вклад ы» в омега-сумму П(Т) тех прямоугольников, эбо которые принадлежат Р ~Р, не превосходит й(г) < е. Вклад же ыт в 11(Т), тех прямоугольников, которые принадлежат Р, не превосходит ыт < 2Мр(Р) < 2Мс. Следовательно, имеем й(Т) = ьч +ыт < (2М+ 1)е.
Отсюда в силу критерия интегрируемости функции по прямоугольнику следует, что существует интеграл Х Рассуждая аналогично для верхних сумм Дарбу получим неравенство о(Т) — 2Мс < 5(г). Следовательно, У < 1+ 2Мс. В силу произвольности выбора положительного числа г отсюда будем иметь У < К Из оценок для нижних сумм Дарбу получим противоположное неравенство l > К Таким образом, ! = Х Теорема 1 доказана полностью. Из зквивалентности определений интеграла Римана видно, что можно было бы ограничиться при построении теории квадратами К Э Р и разбиениями их на о~ равных квадратов, и при атом класс интегрируемых функций был тем же самым, что и при определении обобщенного интеграла.
Но- при таком построении теории есть одно неудобство, связанное с тем, что в пересечении двух квадратов не обязательно получится квадрат, позтому мы и ограничились рассмотрением прямоугольников. Лекция 4 $7. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА Приведем свойства двойного интеграла, а в случае существенного отличия их от свойств однократного интеграла дадим их доказательства. Пусть Р, Рю Рю...
— измеримые по Жордану множества, и функции д(х, у), д|(х, у), дт(х, у) — интегрируемы по Риману на рассматриваемых множествах. Тогда имеют место следующяе свойства. 1о. Справедливы равенства: а) Д(д1(х,у) +дг(х,у))НЫу = Цд1(х,у)дхйу+Цдз(х,у)дхЫу, и о о б) Цсд(х,у)НхНу= сЦд(х,у)ИЫу Чс б 2 (свойство линейно- и о сти) . 2о, Пусть функции д1 и дт интегрируемы на Р, тогда д1дт интегрируема на Р. Зо. Пусть на Р справедливо неравенство д1(х,у) < дт(х,у). Тогда а) Д д~(х,у)ахар < Цдт(х,р)ахар (свойство монотонности), и и б) Пусть также (д(х,у)~ интегрируема на Р. Тогда д(х, у)ахи) < !д(х, у)р(хау, в) ПУсть у(х,у) > О, гп = )пГд(х,у), М = бцрд(х,р).
'Гогда и существует число с, тп < с < М такое, что у(х, у)д(х, у)ахар = с у(х, у)Ихау (теорема о среднем). 4о Ц1.ИхНу = р(Р). и Это утверждение следует из зквивалентиости определения меры Жордана и определения обобщенного двойного интеграла. 5о. Если д(Р) = О, то Цд(х,у)ахар = О для любой ограниченной о на Р функции д(х,у). Д о х а з а щ е л ь с щ в о. Так как д(х,у) ограничена на множестве Р, то найдется число М > О такое, что для всех точек ббт Действительно, имеем Р')Р) Свойство 7б доказано. 5 8.
ПЕРЕХОД ОТ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ Сформулируем теорему о равенстве двойного и повторного интегралов. Т е о р е м а 1. Пусть функция д(х,у) внтегрируема на прямоугольнике Р = 1) х 1м 1) = [аыбь],1» = [ат,«ьт]. Пусть также для любого фиксированного значения х б 1» функиия 1(у) = 1 (у) = д(х, у) от одной переменной у является интегрируемой по у на отрезке 1» и ь, 1)(х) = ] 1(у))1у. Тогда имеет место формула ьч А = О д(х,у))1хс(у = ~ Ь(х))1х = «) ь, ь, ь, ьч = / «~/«(у))(у ах = / )(х ~д(х, у)йу, «) « «) «« т.е. двойяой интеграл равен новторяому интегралу.
Д о и а з а )и е л ь с га в о. Для любого разбиения Т = = Тр прямоугольника Р имеем неравенства нь») < д(х,у) < М»), где (х,у) б Р») и величины пг») и М»), я = 1,...,нь, 1= 1,...,в имеют обычный смысл. При фиксированном х = б» зто неравенство можно проинтегрировать по у в пределах от у) ) до у).
Получим нь»)Ьу) < / д(с»,у)йу < М»)ЬУ). 3»-) бб4 где уь совпадает с функцией у на множестве .0 и уь = О вне Р. Обозначим через Е(х) множество точек у, для которых (х,у) б П, Пусть Е(х) состоит яз конечного числа отрезков' [(а! (х), 6! (х)),, [рь(х), !А!(х)). ь, Тогда если )ь(х) = [ дову, то, как мы видели, ь, А = А(х)6х, где ь, с И*) = ) Г (* и)Ь = ~, / и(*,ГМи.
лр г () Следовательно, имеет место формула ь !ь (») "=Е~~ ) к*.ю)е е=! а1 е„(х) Эта формула обобщает утверждение теоремы 1. т 9, ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ НА ИЗМЕРИМОМ МНОЖЕСТВЕ Имеют место следующие утверждения. Т е о р е м а 1. Пусть функция у(х,у) непрерывна на прямоугольнике Р. Тогда у(х, у) ннтегрнруема на нем. ,7 о к а з а вь е л ь с ьв в о, Прямоугольник Р— компакт. Поэтому функция у(х,у) равномерно непрерывна на нем.
Другими словами, для любого в! > О найдется число 6! — — 6ь(в!) > О такое, что для любого разбиения Т с условием Ьг < 6! имеем ы» ! = М» ! — пь» ! < е!. Следовательно, й(Т) < !~Д ы» (р(Р» !) < е! ) ~ р(Р» !) = вьр(Р). »=»(=! »=! (=! Возьмем любое е > О и положим е! = е(р(Р). Тогда для любого разбяення Т с условием йт < 6,(е)р(Р)) получим, что й(Т) < е.
Это означает, что 1пп й(Т) = О, т.е. функция у(х,у) ннтегряруема на Р. а ° о Т е о р е м а 2. Пусть д(х,у) ограничена и непрерывна на измеримом множестве Р. Тогда у(х, у) ннтегрнруема на Р, Докажем более общую теорему, из которой следует теорема 2. Т е о р е м а 3. Пусть у(х,у) ограничена на замкнутом измеримом множестве Р н непрерывна во всех то тках множества Р, за исключеяием множества Рт, причем р(Рт) = О. Тогда функаия у(х,у) ннтегрируема на Р. Д о к а з а ят е л ь с ят е о. Зафиксируем произвольное число ет ) О, Так как множество Р измеримо, то существует замкнутая простая фигура г С Р такая, что д(Р '1 г") < еь Кроме того, существует открытая простая фигура гт такая, что Рт С гт и р(гт) < ет. Тогда простая фигура гз = .г' '1 Гт замкнута и р(Р '1 Гт) < 2еь Функция у(х,у) непрерывна в каждой точке фигуры гм поэтому из теоремы 1 следует ее ннтегрируемость на Рг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
