Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Далее базу В будем обозначать символом я) у -4 О. Совершенно аналогично определяем базу яхт — ) О для всех неразмеченных разбиений АР. Итак, двойной интеграл есть предел по некоторой базе, А потому уже можно говорить о единственности двойного интеграла, применять теорему о переходе к пределу в неравенствах и так далее, получая отсюда различные утверждения о двойном интеграле типа его линейности, монотонности и другие. Позднее мы некоторые такие естественные свойства приведем. Отметим, что неразмеченное разбиение Т прямоугольника Р можно определить и как пару (Т„ Ту), состоящую нз неразмеченного раз- биениЯ Т ; ая — †< хя « ..
х,„ = Ья отРезка [ая,Ья) на оси Ох и неразмеченного разбиения Т„: ая = уэ < уя « . у„ = Ьз отрезка (ая,бя) на оси Оу. Это разбиение Т получается проведением т + 1 вертикальных прямых х = хь, )я = О,...,пя и и+1 горизонтальных прямых у = у), 1 = О,..., и. Снова заметим, что если у размеченного разбиения Ъ' отбросить разметку точками (Сья,))У)) б Рая, то, очевидно, возникает неразмеченное разбиение, которое будем обозначать символом Т = Т(Ъ'). Определение 7.
Множество всех размеченных разбиений (У), которыля отвечает одно и то же неразмеченное разбиение То, будем называть миозкеством разметок Тэ и обозначать символом АР(ТУ). Если У б Ар(Ту), то бУдем говоРить, что Ъ' ЯвлЯетсЯ Разметкой Тс или, что то же самое, Т(Ъ') = Тео 1 2. СУММЫ ДАРБУ И ИХ СВОЙСТВА Переходим теперь к построению теории,7арбу для двойного интеграла Римана по прямоугольнику. Обозначим для некоторого неразмеченного разбиения Т прямоугольника Р через Мья и пяья величины Мя, ) = эпр д(х, у), яяяь я = )п1 у(х, у). 1х у ) еРУ ~ 1х у) е Рк ~ и* Тогда верхней суммой Дарбу функции у(х,у), соответствующей (отвечающей) разбиению Т, называется сумма Я(Т), где и1 и Я(Т) = ~~! ~ Мь,1ЬхьЬу1, Ьи1 1=! а сумма т и в(Т) = ~~ ~~ гпв,1ЬхкЬу! В и! Ьи1 называется нижней суммой Дарбу.
Омега-суммой й(Т), отвечающей разбиению Т, назовем величину и и а(Т) =5(Т) — в(Т) = г Еив,(Дхв!асуп Ь=! Ьи1 где и!в,! = Мв,! — пгв,! Определение 1. Число Р = 1и(' Я(Т) назьгвается верхним инТЕАю тегралом Дарбу от функции у(х, у) по прямоугольнику Р, а чясло У. = впр в(Т) — нижним интегралом Дарбу от функции у(х,у). ТЕАр Нам потребуются следующие свой"тва сумм Дарбу.
Л е м м а 1. Для любого размеченного разбиения У б Ар имеем в(Т(У)) < а(У) < Я(Т(У)). Л е м м а 2. Зафиксируем некоторое разбиение То 6 Ар. Будем иметь следующие соотношения в(То) = 1пГ а(У), Б(То) = впр а(У). !" ЕАр(то! р'ЕА',(То) Л е м м а 3. Для любых неразмеченных разбиений Т1 и То имеем в(Т,) < З(Т ). Л е м м а 4. Для ограниченной на прямоугольнике Р функции верхний Г и нижний 3, интегралы Дарбу существуют, причем для любого разбиения Т б Ар справедливы неравенства в(Т) < У. < Р < Б(Т). 548 Л е м м а 5. Размеченное разбиение Р принадлежит окончанию Ьз~ Е В' тогда я только тогда, когда ТЯ) Е 6г. 7 о к а з а ш е л ь с ш е о лемм аналогично доказательству соответствующих утверждений в одномерном случае и не представляет большого труда. Стоит лишь сказать о лемме 3, поскольку там участвуют два разных разбиения.
Здесь, как и в одномерном случае, введем понятие измельчения разбиения. Определение 2. Неразмеченное разбиение Тз называется измельчением разбиения Ты если разбиение Тз получается из Тз добавлением конечного числа новых точек разбиения на оси Ох и по осн Оу. ГовоРЯт еше, что Тг следУет за Тз и пишУт Тз Э Т1 нлн Тз С Тз.
В частности, любое неразмеченное разбиение Т есть измельчение самого себя. Далее, очевидно, что при измельчении разбиения Т нижняя сумма Дарбу з(Т) не может уменьшиться, а верхняя сумма Дарбу Б(Т) не может увеличиться. Поэтому для доказательства утверждения леммы 3 надо на каждой оси Ох и Оу взять разбиение Тз, объединяющее разбиения Тз и Тз. Тогда получим (Т,) <.(Т,) < В(Тз) < В(тз), Отсюда имеем е(Тг) < о(Тз), что и доказывает утверждение леммы 3.
Отметим также, что утверждение леммы 4 по существу вытекает из леммы 3. Действительно, если образуем числовое множество Мы состоящее изо всех значений величин е(Т), и множество Мз значений величин Я(Т), то утверждение леммы 3 означает, что любой элемент а б Мз есть верхняя грань множества Мы а потому наименьшая верхняя грань множества Мз, т.е.
1, не превосходит этого элемента а Е Мз. Отсюда для любого числа а Е Мз имеем 1, < а. Это значит, что 1, является нижней гранью множества Мз. Но величина 1', по своему определению, есть точная нижняя грань множества Мз, и потому для любого разбиения Т Е Ао имеем е(Т) < 1, < Г < ЯТ). Лемма 4 доказана. Л е м м а 6. Для любого разбиения Т имеем П(Т) > 1" — 1.. Действительно, из леммы 4 получим а(Т) = В(Т) — з(Т) > 1' — е(т) > 1' — 1.. з 3. КРИТЕРИЙ РИМАНА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ Т е о р е м а 1 (критерий Римана интегрируемости функции на прямоугольнике). Для того чтобы ограниченная функция у(х, у) была ннтегряруема на Р = [амб~[ х [амбт), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из эквивалентных условий: 1) 1пп й(Т) =О, ат ~е 2) 1'=1„ 3) 1пбй(Т) = О. т Д о к а з а т е л ь с ш а о.
Докажем сначала эквивалентность условия интегрируемостя функции условию 1. Необяодимосшь. Пусть 1пп и(1Г) = 1. Это значит, что для любого а -+е е~ > О найдется б~ = б~(с~) > 0 такое, что для любого размеченного разбиения У с условием Аг < б~ имеем [а(У) — 1[ < еы т.е. 1 — е1 < е'(У) < 1+ с). Рассмотрим произвольное неразмеченное разбиение Т с условием Ат < бь Для него получим з(Т) = 1п1 а(У), Я(Т) = епр о.(У), ъ'ел р(т) келр(т) Тогда из (1) вытекает, что 1 — е~ < э(Т) < 1+ еы 1 — е~ < Б(Т) < 1+ сы Следовательно, значения з(Т) и Б(Т) лежат на одном отрезке [1— ем 1+ е~) длины 2еы т.е. имеет место неравенство й(Т) = Я(Т) — э(Т) < 2еь Если мы возьмем е~ — — е/3, б(е) = б~(е~), то получим, что для любого е > О сушествует число б = б(с) > 0 такое, что при любом разбиении Т с условием Ат < б имеем й(Т) < е, т.е.
справедливо соотношение 1пп й(Т) = О. Необходимость доказана. ат-~п Досгпаточность. Надо доказать, что из условяя 1пп й(Т) = 0 аг-+О следует сушествование предела 1пп а(У). аъ -~О Сначала убедимся, что 1, = Г. Из леммы 6 для любого разбиения Т 6 Ар имеем О < Е, — 1' < й(Т), и, следовательно, Ь = 1, — 1' -э О при Еьт -+ О. В силу того, что Ь вЂ” постоянное число, то Ь = О и 1 = 1' = 1.
Осталось доказать, что н(И) -+ 1 при Ь~ -+ О. Возьмем произвольное положительное число е~. Из условия существования предела )пп Е)(Т) найдется число б~ —— 6~(е~) > О такое, что для всех разбил м-+о ений Т, Ьт < 3ы выполняется неравенство ()(Т) < еь Но тогда для любой разметки И этого разбиения будем иметь э(Т(!')) < а(Ъ') < 5(Т(г')), э(Т(!')) < Е„= 1 = 1 < Я(Т(Ъ')),. 5(Т($~)) — е(Т(э )) = 0(Т) < е, те. обе точки и(!') и 1 лежат на отрезке (э(Т(!')),Я(Т(\~))), длина которого не превосходит с~. Это значит, что расстояние между этими точками тоже не превосходит еы поэтому для любого размеченного разбиения г' с условием зг < д~ имеем !и(!')-1) < гь Следовательно, )пп о'(Р') = 1.
Достаточность доказана. ад-+О Итак, условие ! теоремы ! эквивалентно условию интегрируемости функции по Риману. Докажем теперь эквивалентность условий Е, 2 и 3. Для этого убедимся в справедливости цепочки утверждений: !) ==Ф 2) =-Ф 3)'=г !). а] б) в) а) Нам надо доказать, что если (цп !Е(Т) = О, то 1, = 1'. Но этот ат -~0 факт уже установлен прн доказательстве достаточности условия !. б) Сначала докажем, что !пЕЙ(Т) = Ь = 1' — Е,. т Число И = à — 1 — нижняя грань !)(Т), поскольку из леммы 6 имеем ()(Т) > 1' — 1, = Л. Докажем, что Л вЂ” точная нижняя грань множества (г!(Т)). Для этого возьмем произвольное е > О.
Тогда в силу определения сумм Дарбу будем иметь, что существуют разбиения Т~ и Тт такие, что Возьмем разбиение Тз = Т! 0 Тт. Получим Б(Т ) < Б(Т,) < 2' + —, 2' з(Тз) > з(Тт) > 2 2 Отсюда следует, что й(Т) < Р— 1. +е = Ь+е, т.е. Л = ш(й(Т). т Таким образом, из доказанного и условия 2 имеем !п1'й(Т) = Р— !. = О. т й(Т,) <й(Т,) «'-,, поскольку Тт есть измельчение разбиения Т!, т.е. Тт Э Т!. Перейдем к оценке сверху величины й(Т). Имеем й(Т) = й(Тз) + а(Т, Т!).
Здесь а(Т,Т!) = а(Т,Тз) > О, поскольку Тт ) Т!. Кроме того, а(Т,Т!) = 1! ~~ (ь!ь )ЬхьЬу! — ыь )Лхассу! — . — ыь !Ьяь Ьу! ) < Р) 1г) 1~ ) рь!) < ~~! ~ь!ыЬяь!1у!, Оь!) причем символ 2,'~; обозначает, что суммирование ведется по тем Оь!) парам (lс,1), для которых прямоугольник Рь ! разбиения Т разлагается на меньшие прямоугольняки с индексами ',...,1') посредством Тем самым утверждение б) доказано.
в) Нам надо доказать, что если !п1й(Т) = О, то!ппй(Т) = О. т ' аг Имеем, что для любого е > О существует разбиение Т, такое, что й(Т!) < е/2. Разбиению Т, соответствует пара разбиений (Т!(я), Т!(у)) по осям Ох я Оу. Количество точек разбиений Т! (х), Т! (у) обозначим через д. Далее, посхольку у(х, у) ограничена на Р, существует М > О такое, что (у(х,у)( < М для всех (х,у) Е Р.
Обозначим через б длину наибольшей стоРоны пРЯмоУгольника Р. Положи)н б = — ~йГ. чч Возьмем теперь любое разбиение Т = (Т(х), Т(у)) с условием Ьт < б. Тогда для разбиения Тт = ТОТ! имеем разбиения Т1 (или Тт). Другими словами, пара (х,() такова, что внутрн отрезков (Ь~ или Ь," лежит по крайней мере одна точка разбиения Т1(х) или разбиения Т1(у). Достаточно оценить сверху величину а(Т, Т1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
