Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Заметим, что бесконечное произведение в правой части данного равенства сходится равномерно по а при )а) < -'. Поэтому, переходя к пределу при а -+ О, находим с11 згп 1га, Г а2 1 = „ЙП~1 )=с, а-го а 0-~0 1», й2) »=1 510 Последняя формула и дает классическое разложение котангенса на простейшие дроби.
Отсюда легко получить представление синуса в виде бесконечного произведения. Для этого заметим, что ряд справа сходится равномерно относительно параметра а при О < )а( < поскольку имеет мажоранту вида 2,'2/)г2, Более того, поэтому он является производной своей первообразной. С другой стороны, имеем Окончательно имеем Таким образом, формула представления синуса в виде бесконечного произведения доказана. 6 9. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА И РЯДЫ БЕССЕЛЯ Пусть планета М движется по эллипсу, в фокусе которого находится неподвижная планета Р. Полуоси эллипса соответственно равны а и 6, а > 6. Пусть Т вЂ” время полного оборота планеты М вокруг планеты Р, а 1 — текущее время, отсчитываемое от положения планеты в точке А, находящейся на' большой полуоси. Обозначим через Яврм плошадь сектора эллипса АРМ.
По закону Кеплера имеем Зярм лаЬв — — — т.е. Б.врм = —. лаЬ Т Т Рассмотрим окружность с центром в точке О, находящейся в центре эллипса, и радиусом, равным ОА = а, и обозначим через М1 точку на окружности, являющуюся образом точки М при проекции на большую ось эллипса параллельно малой его оси. Положим также ОР— — и = х'.АОМь ОА' Иэ геометрических соображений найдем площадь сектора эллипса АРМ.
Поскольку эллипс получается аффинным преобразованием из окружности сжатием по оси Оу в —, раз, то имеем ь Ь К4рм = ~Арм~. а Далее находим 1 1 охрм = охом, — ором, = -а и — -а ев1пи. 2 2 1 $ 2 2 Следовательно, а6 охрм = — 1и — вв1п и). 2 Мы приходим к уравнению Кеплера и — вв1п и = 2л — = ~ = аАОМ. Т 511 Величина ( называется средней аномалией планеты, и — экспентрической аномалией. Если величина ( увеличивается на 2л, то и величина и увеличивается на 2л. Поэтому совпи,яппи являются 2л-периодическими функциями от (, т.е. сов(пи((+ 2гг)) = сов(пгг(()). Ранее было доказано, что и(() — гладкая функция.
Следовательно, ряды Фурье функций совпи(() и в1ппи(() по признаку Липшица сходятся. В силу нечетности функции и(() будем иметь ао сов пи = — + аг сов(+ аз сов 2(+ .. 2 яппи = 6г яп(+ 6зз1п2(+., 2 Г 2 l. а„= — ~ совписови(Я(, 6„= — ~ в1ппияпиЩ. о о Теперь вычислим коэффициенты Фурье этих функций.
Имеем 2 Г 2 Г ао = — / совпиИ( = — / созпи(1 — всови)йи. Здесь мы воспользовались тем, что ( = и — зз)пи, г1( = (1 — всови)йи. Таким образом, — в, если п =1, ао = О, если п>1. При и > 1 получим 2 а„= — Г сов писови(о(( = о 2, 2п = — совпияпи( — — / вгппияпи(г1и = ли г=о о 2п Г = — 1 (сов(пи — и() — сов(пи+ и())г(и = ли/ о 2п Г 2п Г = — / сов((п — и)и+ иввьпи)гги — — / сов((гь+ и)п — иввьпи)ьГп = гги,/ яи,Г о о 2п = — (,Г„„(ив) —,Г„э„(ив)), где х 1 Г ,Гь(в) = — / сов (в выл ~р — Ьр)йр. о Аналогично находятся коэффициенты 6„.
Имеем 2 Г 2п 6„= — / вьп ппвьпиОГ~ = — / совпнсовиГйи = ки,Г 2гь (Ги-э(ие) + Ги ь э(ив)) ° и Следовательно, в сов и( сова = — — +2~~ (У ь(ив) —,Г„+ь(ив)) ~ ж! вш иь, выло =.2~ (Г„ь(ив) + /„+ь(ив)) —. и=1 Значение угла п,0 < и < 2к, однозначно определяется по его синусу и косинусу. Поэтому указанные разложения этих функций решают задачу об определении движения двух планет. Они были найдены В. Бесселем. Эти ряды сходятся при всех значениях и любом значении эксцентриситета эллипса в.
До Бесселя задача двух тел решалась Лапласом с помощью разложения в степенные ряды по малому параметру в, сходимость которых была доказана при в < 0,66274.... Заметим, что функции Гв(я) называются функьхиями Бесселя. 17 Ьаивь ьо иэвэьеввв ввььэ Определение 2. Функция Е„(у), определенная последним равенством, называется ядром Фейера порядка,п.
Установим некоторые свойства функции Р„(х). Справедливы следующие утверждения. Л е м м а 1. При и > 1 справедливо равенство р ( ) 1 еп122*/2 Отсюда, в частности, следует, что Р„(х) > 0 при всех х. 1,~ е(п (гп+ 1/2)х 22гп с-2 зги х/2 и — 1 51П1ГП+ -) Хягн — = 22гп (з(п х/2) -1 2) 2 1 ь- совгпх — соя(т+ 1)х 22гп (я)п х/2) е 2 1 япг ох/2 1 — сов пх 2 .2Г~ *2 2 ( ь*22 Лемма 1 доказана. Л е м м а 2.
При и > 1 имеем я 2„= /2„2*22*= 2/ гль)2*= 2. — г о Д' о к а з а яг е л ь с яг е о. Так как при всех пг справедливо равенство 3Э„,(х)г(х = 1, ь-1 то l„= -" ~" 1 = 1. Лемма 2 доказана. О 515 22 о и а з а гя е л ь с яг в о. Суммируя по гп, с помощью известных тригонометрических формул получим Л е м м а 3.
Для любой функции д(х) б И''з справедлива формула Р„(х) — д(х) = (д(х + у) — д(х))Р„(у)г)у. Это утверждение прямо следует из леммы 2.и из формулы интегрального представления для Р„(х). Т е о р е м а 1 (теорема Фейера). Если функция д(х) непрерывна на отрезке ! = [ — к,я] и д( — в') = д(в), то последовательность ее многочленов Фейера Р„(х) сходится к д(х) равномерно на !. Д о к а з а т е л ь с т е о. Функцию д(х), как 2в-периодическую, продолжим на всю вещественную ось. Она будет непрерывна на И, следовательно, и равномерно непрерывна на !. Это значит, что при любом б > О найдется число е = б(б) > О такое, что при всех у с условием [у[ < б и всех х б ! выполнено неравенство [д(х+ у) — д(х) [ < е/2.
Кроме того, ввиду ограниченности д(х) на отрезке ! при некотором С > О и всех х и у б ! имеем )д(х+ у) — д(х)[ < С. Но тогда справедливы оценки [д(х) — Р„(х)[ < Р„(у)[д(х + у) — д(х)[г!у < б а х < ~Р„(у)-Ну+2 ( Р„(у)Сг(у< — ! Р„(у)г)у+ — ( б(у< в Г в Г С Г (в)п ну/2) -б б 1Г б С 1 < — + — з <в, 2 и (вгп6/2) если т~ль~~ и > пе(в) — —.— — т.
Но это и означает, что Р„(х) =бд(х). В силу 2в'-периодичности Р„(х) г и д(х) отсюда при п -б со также имеем Р„( ) ~д(х). и Теорема 1 доказана. Из этой теоремы немедленно вытекает справедливость следующей аппроксимационной теоремы Вейерштрасса для алгебраических многочленов. век г/т г/2 СЮ о о г/3 где (В( < 1. Поскольку справедливы следующие формулы для ядра Фейера: 12 г г 1 г в1нгУхг 1 / = 2хР/г(2х), / Р/г(х)г)х = —, гУ ~, зги х,/ / 2' а из предыдущего равенства имеем г/т гг дг / хз — з1п х 2В /= — + — //, /х+ —, )Вг~ < 1. 2 Ж / хзегп х хХ' а Функция '-;э=-,ф-;*- интегрируема по Риману на (О, з), следовательно, /= — +О Устремляя гУ к плюс бесконечности, получим, что 1 = к/2, Докажем еще две формулы, дающие представления для функций х/э1пхх н хсских в виде простейших дробей.
Для второй из этих функций такое разложение было получено ранее с помощью разложе- ния функции х)пах в ряд Фурье. Здесь мы используем интегральное представление некоторой тригонометрической суммьг и свойством ко- эффициентов Фурье строго регулярной функции стремиться к нулю с возрастанием их номера к бесконечности. Имеют место следующие две формулы: » 1) х/в1)гих = 1пп 2, ( — 1)"/(х — и), ь + "~ «=-ь 2) хсскхх = 1пп 2', 1/(х — п). ~ +~~'и=-ь Докажем формулу 1. Для этого рассмотрим функцию ч ( — 1)" е1п хх йь(х) = х=-й 5!8 Имеем х! ! г в - и),г1 2,/ «=-и вгп гг(х — и) ув(х) = 2. Так как имеет место соотношение ! ~'2, если п=О, е"г~"й = ~ 10, если пфО, пб Е, — 1 то ! ! в г ~ !й= г """") в=2.
яп гг1/2 -! ! в=-й Отсюда получим .! яп и! ()г+ 1/2) х — ув(х) = — )1 (1 — соек!х), Й = 2 г' яп х1/2 — ! ! =гг яп , ! и!ха!ах! (й+ 1/2) 2 вгп (гг1/2) -! ! = 2х / яп~ — ( с!к — яп (хй) + сов (хИ) М = тлях / х1 ,/ 2 (!, 2 2 хгх ггг 2 гг"х 2 2 = 2хбв(в(п — с!к — ) + 2хав(яп — ). 2 Следовательио, при 1г -+ оо имеем в.— ув(х) -+ О, т.е.
при х ф К получим гг у (-1)" — = 1пп япвх в+ о х — и »ж-в вгв и!х ~ — '~г!» !11— 1! в=-в -! ! / 1п 18+1/2) — — сов вМх — ! или, в другой форме записи, ( 1)«-12, — = — +7 В1П 1ГХ Х ~~  — Х »»! Формула 1 доказана. Заметим, в частности, что при х = — получаем следующее выра- 1 жение для числа к: ( 1)«-1 гг = 2+ 4 ~~! ««1 Докажем теперь формулу 2.
Для етого рассмотрим функцию вп! 2пх й Уй(х) = ~~', х — и «=-й Найдем интегральное представление суммы Гй(х). Имеем ~ "«<*-»>~/ = х — и «=-й ««-й 1 1 ~- )=/ й г -2»!гй 2»!!(й+1) 2«1!» % -2»!!» /! 2«1!» =л е ~ ~е =к/е -1 ж-й -1 ! ! в!в л!(2/г + 1) Г в(п к/(2/г+ 1) е~»гге -.! ' !/1 = 2л! сов 2к/х г/! = в!и к8 / Вгц Лг -1 о 1/2 1 в(пк/(2/г+1) Г в1пк/(2/о+1) 22 сов 2гг/х г//+ 21г у сов2к/х Й= ' в!пк!,/ в!и кг о 1/2 1/2 в!плг(2/г+ 1) = 2к сов 2л!х г/1+ Вгв К1 а в(п ки(2/г + 1) +2!г / сов2лх(и+1) г/и. в!и ли -1/г Кроме того, г/г г/з ~заказ г (~, „о„) вш ят -гуг зы-ь Аналогично выводу формулы 1 получим, что функция уь(х) — я(1 + соз2ях) выражается в виде линейной комбинации коэффициентов Фурье Ьа(зш ятхсЬк зги), Ь|(зш их и з(п ях(и + 2) сЬй яи), Ь|(з(п их и в1п ях(и — 2) сГй яи) и коэффициентов аь от тек же функций, но не содержажик множителей сГйяг и сГйям Зти коэффициенты стремятся к нулю с возрастанием ик номеров к бесконечности.
Следовательно, уь(х) , ~ 1 я(1 + соз2ях) )пп, = 1пп 7 = ясгких, ь-~ з1п 2ях з х — и зш2ях з=-Й Формула 2 доказана. Лекция 29 2 !2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Пусть /(х) является периодической функцией с периодом 2я! и разлагается в сходящийся рид Фурье. Тогда имеем /(х) = ~~ ске та, где а! Обозначим через уь величину !г/1, и пусть Тогда функция /(х) представляется в следующем виде: /(х) = — ~~~ уг(уь)е'"*'-. Последняя сумма представляет собой формальную бесконечную ин- тегральную сумму Рима!ге с шагом Аь = 1/1 для интеграла 1 / г!(х) = — / у!(у)е' «'!и 2!г ! где у! (у) = / /(!) е чп г!!. Если в интеграле Р!(х) формально перейти к пределу при ! -! оо, то получится повторный несобственный интеграл вида 1 ! г'(х) = — ! ег™ /(!)е '"' о! !(у 2!г ! 522 Определение 1.
'Функция г(х) называется интегралом Фурье или интегральной формулой Фурье. Если строго регулярная функция (/(х)( интегрируема по Риману (в несобственном смысле) на всей числовой оси, то интеграл д1(у) сходится равномерно на (-со, +оо) по признаку Вейерштрасса и можно доказать возможность предельного перехода при ! -+ +со. Исходя из этого дадим следукпцее определение. Определение 2. Функция д(у) = ~ /(!)Е-гу1 !! называется преобразованием Фурье функции /(х), причем интеграл д(у) .понимается в смысле главного значения по Коши. Функцию же г(х) называют обратным преобразованием Фурье функция д(х).
Заметим, что,.как правило, имеет место равенство г'(х) = /(х). Кроме того, следует сказать, что часто вместо "весовых" коэффициентов 1 и 1/(2х) в функциях прямого и обратного преобразований Фурье берут коэффициент 1/5/2я. Ясно, что от этого вид интеграла Фурье не меняется. Для примера найдем преобразование Фурье функции (1 > 0) 1/(2!), если — ! < х С 1, /(х) = 1/(41), если х = — 1,х = 1, 0 — в остальных случаях. Имеем д(у) = /(!)г '" 1!1 = ~ е '" Й = — 11 1, 1 эн1!У !у Для обратного преобразования Фурье отсюда получим 1 У ып1у, Е(х) = — / — е'" 1!у = /(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
