Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (940510), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Если а < с < а + Ь, то интеграл 11 оценивается по второй теореме о среднем, Имеем Аналогично, если Ь вЂ” Ь < с < Ь, то ь еб~(с)с(х < 2~/— )2 — '))' Л,' О то (1г! < ппп(4(Р (а)! ',8Лг ~ ), 639 О Р (х) соз Р(х) Р (х) 4 !1з! < —, !Р'(Ь) ! Но так как всегда имеет место оценка 2 г(,) (Р (а)! Рассмотрим интеграл « 1 — е' (и) 4ьр, г'()2) = Ьр — хз(пр. о Имеем В (42) = й — хсозр, Г (42) = хз1п)2, Р' (х) = хсоз42. Определим точку Уо из условия Р (4«о) = О, т.е.
соз(оз = /4/х. Тогда Р ((«о) = )/х2 — йг «/4 3«/4 ~ е1р(«)4(22 = / + / + / О /4 З /4 Оценивая первый и третий интегралы из второй теоремы о среднем, получим 4 4  — (Р'(х/4)! )хз/2/2 — Ц «/4 е( (и)йр «/4 Фр(Ф)( о < —, х где  — некоторая положительная постоянная. Для точек р проме- жутка (я/4, Зя/4) имеем х > (г" (42)) = )хз)п22) > х —, (г (22)) < х. 1/2 Следовательно, из теоремы 2 найдем 3«/4 Е1(«/4+Р(«а)) е,я(Ф) (р = ,/2 ' + В -3/з (г ((зо))1/2 «/4 т.е. / 2 соз (я/4+ й агссоз (й/х) — 1/хз — /42) (х2 /„.2)1/4 З41 Поскольку х 4 +оо, при достаточно больших значениях х имеем я/4 < (рз < Зх/4.
Позтому или 2 соз(я/4+ к!т/2 — х) зз(~)- В заключение заметим, что соединение методов Лапласа и стационарной фазы в теории функций комплексного переменного приводит к методу перевала. Важный вклад в разработку его внесли О. Коши (СапсЬу О. Метпотте зит т)!иетз ро!и!з ~дана!узе //Яеитгея сошр)е)ез. Рана.
1889 — 1911. Т. П.), Риман Б. (О разложении отношения двух гипергеометричеких рядов в бесконечную непрерывную дробь //Сочинения. М., 1948. С. 187 — 194), П. А. Некрасов (Ряд Лагранжа и приближенные выражения функций весьма больших чисел //Мат сб. 1886. Т, 12. С.645 — 724) и П. Дебай (ВеЬуе Р.)таИетипдл/отше!п Ят д!е Еу!тпт)ет/ипА)топеп Я)т дтоззе трет!е дез .4тдитепгз ипт) ипбезсйтаттИ ьетадет))сЛе )4тет!е дез 7пт)ех //Ма)Ь.
Апп. 1909. Вт). 67, Я. 535 — 558). Современное изложение метода перевала можно найти в монографиях (Колтон Э. Т. Асимптотические разложения. М., 1966; Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. М., 1957; Брейн Н. Г. де. Асимптотические методы анализа. М., 1961; Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. М., 1970). История вопроса обсуждается в статье С. С. Петровой и А. Д. Соловьева (Об исптории создания метода перевала.
Историко-математические исследования. 1994. Вып. 35). КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Заключительные главы курса математического анализа касаются разделов математики, общих как для математического анализа, так и для специальных дисциплин, таких, как теория функций действительного и комплексного переменного, дифференциальная геометрия, функциональный анализ. Это обстоятельство обьективно способствует увеличению объема материала, включаемого в вузовские учебники по математическому анализу.
С другой стороны, мы стремились построить данный учебник строго на основе курса лекций, сохраняя разделение материала на фактически прочитанные лекции. Опыт показывает, что это удобно и полезно как для студентов, так и для.преподавателей, поскольку каждая лекция является своеобразной мерой усвоения новых знаний. Поэтому единственным резервом для включения в курс новых элементов мы видим совершенствование его изложения. Эта часть курса, в основном, посвящена теории кратного интеграла Римана, а также криволинейным и поверхностным интегралам в пространстве произвольного числа измерений. Важно отметить, что, на наш взгляд, современная теория интегрирования на поверхностях опирается на понятие интеграла Римана, что предполагает систематическое его изучение в курсе анализа. Здесь мы доказываем классические теоремы Грина, Стокса и Гаусса — Остроградского с их стандартной интерпретацией в виде формул векторного анализа.
Чтобы показать возможности предложенного подхода к построению теории поверхностных интегралов, мы даем доказательство формулы Стокса для кусочно-гладкой ориентированной поверхности произвольной размерности в многомерном пространстве. Попутно строится элементарная теория дифференциальных форм и теория объема многомерной поверхности. Следует отметить, что ряд важных теорем рассмотрен в курсе в "модельной" ситуапии, т.е, в частном случае, принципиально сохраняющем все наиболее трудные аспекты общего случая, но позволяющем несколько упростить изложение. К их числу относятся, в частности, формула замены переменных в кратном интеграле и некоторые формулы и теоремы о криволинейных и поверхностных интегралах. Глава Х1Х КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция 1 ь 1.
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА КАК ПРЕДЕЛ ПО БАЗЕ Двойной интеграл — это интеграл от функции двух переменных, взятый по обеим переменным одновременно. Данная фраза не является определением, она только указывает на то, как мы намерены вводить обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. Для того чтобы получить такое обобщение, вспомним, как выглядит определение интеграла в одномерном случае, то есть в случае функции у = г(х) от одной переменной х, определенной на отрезке У = [а,Ь] и интегрируемой на нем по Риману. Одно иэ эквивалентных определений данного понятия можно сформулировать так. ь Определение 1.
Интегралом [ Г(х)ь(х от ограниченной функции О г'(х) называется число, равное алгебраической сумме плошадей криволинейных трапеций, образованных кривой у = Г(х) при г б [а, 6]. При этом в данную сумму входят площади криволинейных трапеций, расположенных иад осью абсцисс со знаком "+ ", а под ией — со знаком "— ". Если мы обобщим понятие криволинейной трапеции на случай, скажем, функции двух переменных г = у(х,у), заданной на прямоугольнике Р = 1ь х 1э —— [апЬь] х [аэ,Ьт], то и получим одно из возможных определений двойного интеграла от функции у(х,у) по прямоугольнику Р.
Этот интеграл обозначается символом ю аз Допустим сначала, что у(х, у) > О для всех (х, у) б Р. Вместо криволинейной трапеции рассмотрим пространственную фигуру Н, заключенную между поверхностью г = у(х,у) и плоскостью г.= О при (х,у) б Р. Другими словами, фигура Н состоит изо всех тех точек (х,у,х), для которых х б 1п у б 1э, а третья координата г удовлетворяет условию О < х < у(х, у). Определение 2. Фигуру Н будем называть цилиндрической криволинейной фигурой, порожденной поверхностью х = д(х,у).
Если окажется, что эта фигура измерима каким-либо способом (по Жордану, по Лебегу или еще как-нибудь), то ее меру р(Н) можно взять в качестве искомого определения значения двойного интеграла 1 = 0 д(х, у)Ихду = р(Н). я Заметим, что если и есть мера Жордана, то данное выше определение двойного интеграла будет эквивалентным определению двойного интеграла Римана, которое будет сейчас дано. Можно было бы таким же образом разобрать общий случай, когда функция д(х, у) принимает как положительные, так и отрицательные значения, но мы зто сделаем в дальнейшем при доказательстве критерия измеримости по Жордану цилиндрической криволинейной фигуры.
Перейдем теперь к построению теории двойного интеграла Римана по прямоугольнику Р. Сначала определим понятие цилиндрической фигуры в общем случае. Определение 3. Фигура Н С (кз называется цилиндрической криволинейной фигурой, порождеяно» поверхностью х = д(х,у), заданной на Р, если Н состоит язо всех таких точек (х,у, з), для которых (х,у) Е Р, а координата х заключена между числами О н д(х, у), то есть пря д(х, у) > О имеем О < х < д(х, у), а при д(х, у) < О имеем д(х, у) < х < О.
Разобьем прямоугольник Р на меньшие прямоугольники с помощью прямых, параллельных осям Ох и Оу и проходящих через точки а1=хе<х1«. х„,=61 разбиения Тя на оси Ох и аз=уо<у1< < у„= Ьр разбиения Т„на оси Оу. Прямоугольник Рь ~ С Р, точки (х, у) которого удовлетворяют условиям *Е Ь„,= [хаг пхь], уЕ Ь, = [р му~), (') Ы где Ь„ есть й-й отрезок разбиения Те и Ь( — 1-й отрезок раз(*> Ы биения Тю будем называть элементом разбиения Т прямоугольника Р с индексом (lс,(), а множество всех прямоугольников Рь ь к=1,...,гп, 1=1,...,п — разбиением Т прямоугольника Р.
В каждом прямоугольнике Рь ( возьмем точку Ад( с координатами (бдьдд~). Множество прямоугольников Рь ( и точек Ад~ будем называть размеченным разбиением прямоугольника Р и будем обозначать его через К Очевидно, что каждому размеченному разбиению $~ однозначно соответствует неразмеченное разбиение Т прямоугольника Р, получаемое из 1l отбрасыванием точек "разметки" (бь б дь ~). Другими словами, Т является функцией от $~, Т = Т($').
и Зная ао аятечемсс~ая нмоу Отметим, что площадь элемента разбиения Т, т.е, площадь прямоугольника Р» !, равна В»х»йу! =- (х» — х»-!)(у! — у!-!). Определение 4. Сумма ы ь !г(Р') = ~' ~В(~»,!, В»,!)»»х»Ьу! »хн 1=! называется интегральной суммой Римана функции В(х,у), соответствующей (отвечающей) размеченному разбиению $' стандартного прямоугольника Р. д у 'ь*7+»» ~ ь а»у его диаметром. Определение 5.
Диаметром разбиения (размеченного )г и неразмеченного Т) прямоугольника Р будем называть максимальное значение диаметров элементов разбвения (Р» !). Обозначать его будем символом Ьг и, соответственно, Ьт. Определение 6. Число 1 называется (двойньгм) интегралом Римана от ограниченной функции В(х,у) по прямоугольнику Р, если для всякого числа к > О существует число 6 = е(е) > 0 такое, что для любого размеченного разбиения )г прямоугольника Р с условием »»г < б справедливо неравенство 'рг(»г) — 1! < е. Здесь п($:) — интегральная сумма для функции у(х,у), которая соответствует размеченному разбиению К Поэтому последнее неравенство можно записать еще и так: т» ) ~ ~ д((» 1,В» !)Ьх»Ьу! — 1( < с.
»=»!ю! В этом случае будем говорить, что В(х, у) является интегрируемой по Риману на прямоугольнике Р. Далее рассмотрим следующие вопросы: 1) убедимся, что интеграл ! есть предел по некоторой базе; 2) определим верхние и нижние суммы Дарбу и докажем критерий Римана интегрнруемости функции от двух переменных; 3) установим свойства двойного интеграла, аналогичные свойствам однократного интеграла.
Начнем с определения базы множеств В и В . Множество всех неразмеченных разбиений прямоугольника обозначим через Ар, а размеченных — через А),. В качестве окончаний Ья базы В возьмем множество (У)я)яг < 6), т.е. множество разбиений, состоящее из тех Ъ' б А „для которых диаметр яау меньше, чем б > О. Так как ят(У) определена всюду на АР, то, очевидно, тогда определение двойного интеграла, данное выше, эквивалентно определению предела 1ппа(У) по базе В . Проверка справедливости этого утверв' ждения состоит в том, что надо формально выписать определение предела по базе и сравнить его с данным выше определением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
